2014年 高三数学高考总复习：函数的基本性质 配套相应练习与解析

函数的基本性质（基础）

【考纲要求】

1. 会求一些简单函数的定义域和值域；

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】

函数的基本性质 奇 偶 性

单 调 性

周 期 性

【考点梳理】

1．单调性

（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值

x1,x2，当x1?x2时，若都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递增，若都有f(x1)?f(x2)，

那么就说函数在区间D上单调递减。

（2）如果函数y?f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y?f(x)在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做y?f(x)的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x1,x2?D，且x1?x2；②作差f(x1)?f(x2)；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x1)?f(x2)的正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法

设y?f(u)，则y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

u?g(x)

增 增

y?f(u)

增 减

y?f[g(x)]

增 减

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减 减

导数证明法

增 减 减 增

设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f'(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f'(x)?0(f'(x)?0)，则；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数（减函数），则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）。 f'(x)?0(f'(x)?0)图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:

①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ?f(?x)=-1 (f(x)≠0) f(x)f(?x)=1 (f(x)≠0) f(x)②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? (2)奇(偶)函数图像的特征

(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称. 【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间 例1.证明函数f(x)?x?解：设a?x1?x2，

a(a?0)在区间(a,??)是增函数。 x22aaxx?ax1?x1x2?ax2f(x2)?f(x1)?x2??x1??21

x2x1x1x2第2页 共5页

?x1x2(x2?x1)?a(x2?x1)(x2?x1)(x1x2?a)?

x1x2x1x2?a?x1?x2 ?x2?x1?0

x1x2?a ?f(x2)?f(x1)?0

?函数f(x)?x?a(a?0)在区间(a,??)是增函数。

x举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)y?解：(1)?y??11 (3)y?2. ；2x?1x?x?1(x??1)画出函数图象，

??x?1(x??1)∴函数的减区间为???,?1?，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为???,???,???，设u?2x?1,y???1?2??1?2??11，其中u=2x-1为增函数，y?在(-∞，0)uu与(0，+∞)为减函数，则y?11??1??在???,?,?,???上为减函数； 2x?1?2??2?(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，y?1单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). x22

类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a-a+1)与f()的大小. 解：?a-a+1=(a-)+23412233?>0 442又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则f(a-a?1)?f().

例3. 已知二次函数f(x)=x-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.

解：(1)∵对称轴x?只需

2

3412a-1是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 2a-11? ?a?2； 222

(2)∵f(2)=2-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

?f(2)??7,+??.

举一反三：

?2?,x?2【变式】已知函数f(x)??x，若关于x的方程f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的

?(x?1)3,x?2?取值范围是________.

第3页 共5页

2(x?2)单调递减且值域(0,1]，f(x)?(x?1)3(x?2)单调递增且值域为(??,1)，由图x象知，若f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

解：f(x)?类型三、判断函数的奇偶性 例4. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)?(x?1)2

1-x (2)f(x)?x-1 1?x1-x2(3)f(x)=x-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)f(x)? |x?2|-22?1?-x?x(x?0)(6)f(x)??2 (7)f(x)?[g(x)-g(?x)](x?R)

2??x?x(x?0)解析：(1)∵f(x)的定义域为?-1,1?，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

+??不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域?1，(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x-4|x|+3为偶函数 ；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

2

2

?1-x2?0?-1?x?1 ?? ?x??-1,0???0,1? (5)??x?0且x?-4??x+2??21-x21-x2?f(x)??

(x?2)-2x1-(-x)21-x2?f(-x)??-?-f(x)，∴f(x)为奇函数；

-xx(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (7)?f(-x)?举一反三：

【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶

函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

2

例5. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.

2

解析：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)-(-x)

2??-x-x x?0即y=-x-x又f(0)=0，?f(x)=?2，如图

??x-x x<02

11{g(-x)-g[-(-x)]}?[g(-x)-g(x)]?-f(x)，∴f(x)为奇函数. 22第4页 共5页

举一反三：

【变式】定义在[－1，1]上的函数y＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a－a－1)＋f(4a－5)＞0，求实数a的取值范围.

解析：

2

由题得f(a2?a?1)??f(4a?5)?函数f(x)是奇函数 ?f(a2?a?1)?f(?4a?5)??1?a2?a?1?1?3?33????1?4a?5?1解之得1?a?2?a2?a?1??4a?5??a的取值范围为1?a?

?3?33。2第5页 共5页

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