2020年上海市高考数学试卷(秋季)(全网最专业解析 )

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2020年上海市秋季高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．

2．计算：1

lim

31

n n n →∞+=- ．

3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．

4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足20

2300x y x y y +-??

+-???

，则2z y x =-的最大值为 ．

6．已知行列式126300

a b

c d =，则

a b

c d

= ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．

8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129

10a a a a ++?+= ．

9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．

10．已知椭圆22

:143

x y C +=的右焦点为F ，

直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程

是 ．

11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：

（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；

（2）关于x 的方程()f x a =无实数解， 则a 的取值范围是 ．

12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，?，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，?，)k ，则k 的最大值是 ． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是( ) A ．222a b ab + B ．222a b ab +- C ．2||a b ab + D ．222a b ab +-

14．已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是( )

A ．1314x t y t =+??=--?

B ．1413x t

y t =-??=-+?

C ．1314x t y t =-??=-+?

D ．1413x t y t =+??=-?

15．在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是( )

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A ．面11AA

B B B ．面11BB

C C C ．面11CC

D D D ．面ABCD

16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；

命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，

则下列说法正确的是( )

A ．只有1q 是p 的充分条件

B ．只有2q 是p 的充分条件

C ．1q ，2q 都是p 的充分条件

D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2

π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角． 18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．

（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2

f x =的解集； （2）已知1ω=，2()()3()()2

g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4

π，求()g x 的值域． 19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量

为q v x

=，x 为道路密度，q 为车辆密度． 1100135(),040()3(40)85,4080

x x v f x k x x ?-<，求道路密度x 的取值范围；

（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．

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20．（16分）已知双曲线22

12:14x y b

Γ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第

一象限），曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．

（1

）若A x =b 的值；

（2）

当b 2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；

（3）过点2(0,2)2b D +斜率为2

b

-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示

OM ON ，并求OM ON 的取值范围．

21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --?-，

则称{}n a 满足性质P ．

（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由； （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围； （3）若{}n a 是1，2，3，?，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，?，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．

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2020年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A

B = {2，4} ．

【思路分析】由交集的定义可得出结论．

【解析】：因为{1A =，2，4}，{2B =，4，5}，

则{2A B =，4}． 故答案为：{2，4}．

【总结与归纳】本题考查交集的定义，属于基础题．

2．计算：1lim 31n n n →∞+=- 13

． 【思路分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．

【解析】：1111lim 1101lim lim 113130333lim n n n n n n n n n

n →∞→∞→∞→∞++++====----， 故答案为：13

． 【总结与归纳】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．

3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z

【思路分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．

【解析】

：由12z i

=-，得||

z ．

．

【总结与归纳】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．

4．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= 13

x ，x R ∈ ． 【思路分析】由已知求解x ，然后把x 与y 互换即可求得原函数的反函数．

【解析】：由3

()y f x x ==，得x =，

把x 与y

互换，可得3()f x x =的反函数为1()

f x -=

【总结与归纳】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．

5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-??+-???

，则2z y x =-的最大值为 1- ． 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

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【解析】：由约束条件202300x y x y y +-??+-???

作出可行域如图阴影部分，

化目标函数2z y x =-为2y x z =+， 由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，

联立20230x y x y +-=??+-=?，解得11x y =??=?

，即(1,1)A ． z 有最大值为1211-?=-．

故答案为：1-．

【总结与归纳】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．已知行列式126300

a b c d =，则a b c d = 2 ． 【思路分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．

【解析】：行列式126300

a b

c d =，

可得36a b c d =，解得2a b c d

=． 故答案为：2．

【总结与归纳】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．

7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = 36 ．

【思路分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得13a b +=，232

a +=，解得a ，

b ，再算出答案即可．

【解析】：因为四个数的平均数为4，所以441213a b +=?--=，

因为中位数是3，所以232

a +=，解得4a =，代入上式得1349

b =-=， 所以36ab =，

故答案为：36．

【总结与归纳】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题． 8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++?+= 278

．

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【思路分析】根据等差数列的通项公式可由1109a

a a +=，得1a d =-，在利用等差数列前n 项

和公式化简129

10a a a a ++?+即可得出结论．

【解析】：根据题意，等差数列{}n a 满足1109a a a +=，即11198a a d a d ++=+，变形可得1a d =-，

所以

1129

110119899369362729998

d

a a a a a d d d a a d a d d d ?+

++?++-+=

===++-+． 故答案为：27

8

．

【总结与归纳】本题考查等差数列的前n 项和与等差数列通项公式的应用，注意分析1a 与d

的关系，属于基础题．

9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 180 种安排情况．

【思路分析】根据题意，由组合公式得共有112

6

54C C C 排法，计算即可得出答案． 【解析】：根据题意，可得排法共有112

6

54180C C C =种． 故答案为：180．

【总结与归纳】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．

10．已知椭圆22

:143

x y C +=的右焦点为F ，

直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是

10x y +-= ．

【思路分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．

【解析】：椭圆22:143

x y C +=的右焦点为(1,0)F ，

直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），

若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，

可知直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程是：(1)y x =--， 即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=．

【总结与归纳】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．

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11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：

（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；

（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，

则a 的取值范围是 (-∞，0)(0?，1)(1?，)+∞ ．

【思路分析】根据条件（1）可知00x =或1，进而结合条件（2）可得a 的范围

【解析】：根据条件（1）可得00x =或1，

又因为关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠或1，

故(a ∈-∞，0)(0?，1)(1?，)+∞，

故答案为：(-∞，0)(0?，1)(1?，)+∞．

【总结与归纳】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．

12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，?，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，?，)k ，则k 的最大值是 6 ．

【思路分析】设11OA a =，22OA a =，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数

即可求得k 的最大值．

【解析】：如图，设11OA a =，22OA a =，

由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}，

分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．

故满足条件的k 的最大值为6．

故答案为：6． 【总结与归纳】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．下列等式恒成立的是( )

A ．222a b ab +

B ．222a b ab +-

C ．2||a b ab +

D ．222a b ab +- 【思路分析】利用2()0a b +恒成立，可直接得到222a b ab +-成立，通过举反例可排除

ACD ． 【解析】：A ．显然当0a<，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；

B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；

C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；

D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．

故选：B ．

【总结与归纳】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．

14．已知直线方程3410

x y

++=的一个参数方程可以是()

A．13

14

x t

y t

=+

?

?

=--

?

B．14

13

x t

y t

=-

?

?

=-+

?

C．13

14

x t

y t

=-

?

?

=-+

?

D．14

13

x t

y t

=+

?

?

=-

?

【思路分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．

【解析】：13

14

x t

y t

=+

?

?

=--

?

的普通方程为：13

14

x

y

-

=-

+

，即4310

x y

+-=，不正确；

14

13

x t

y t

=-

?

?

=-+

?

的普通方程为：14

13

x

y

-

=-

+

，即3410

x y

++=，正确；

13

14

x t

y t

=-

?

?

=-+

?

的普通方程为：13

14

x

y

-

=-

+

，即4310

x y

+-=，不正确；

14

13

x t

y t

=+

?

?

=-

?

的普通方程为：14

13

x

y

-

=-

-

，即3470

x y

+-=，不正确；

故选：B．

【总结与归纳】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．

15．在棱长为10的正方体

1111

ABCD A B C D

-中，P为左侧面

11

ADD A上一点，已知点P到

11

A D 的距离为3，P到

1

AA的距离为2，则过点P且与

1

A C平行的直线相交的面是()

A．面

11

AA B B B．面

11

BB C C C．面

11

CC D D D．面ABCD

【思路分析】由图可知点P在△

1

AA D内，过P作

1

//

EF A D，且

1

EF AA于E，EF AD于F，在平面ABCD中，过F作//

FG CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面//

EFG平面

1

A DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得

1

//

EM AC，在EFM

?中，过P作//

PN EM，且PN FM于N，可得

1

//

PN AC，由此说

明过点P且与

1

A C平行的直线相交的面是ABCD．

【解析】：如图，

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由点P 到11A D 的距离为3，P 到1AA 的距离为2， 可得P 在△1AA D 内，过P 作1//EF A D ，且1EF AA 于E ，EF

AD 于F ，

在平面ABCD 中，过F 作//FG CD ，交BC 于G ，则平面//EFG 平面1A DC ．

连接AC ，交FG 于M ，连接EM ，

平面//EFG 平面1A DC ，平面1A AC ?平面11A DC AC =，平面1A AC ?平面EFM EM =， 1

//EM AC ∴． 在EFM ?中，过P 作//PN EM ，且PN

FM 于N ，则1

//PN AC ． 线段FM 在四边形ABCD 内，N 在线段FM 上，N ∴在四边形ABCD 内．

∴过点P 且与1A C 平行的直线相交的面是ABCD ．

故选：D ．

【总结与归纳】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

16．命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）； 命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；

命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件 C ．1q ，2q 都是p 的充分条件

D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件

【思路分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减，可推出()()()f x a f x f x f +<<+（a ），命题1q 是命题p 的充分条件．对于命题2q ：当00a x =<时，f （a ）0()0f x ==，结合()f x 单调递增，推出()()f x a f x +<，进而()()f x a f x f +<+（a ），命题2q 也是p 的充分条件．

【解析】：对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时， 当0a >时，此时x a x +>， 又因为()f x 单调递减， 所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时， 所以()()f x f x f <+（a ）， 所以()()f x a f x f +<+（a ），

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所以命题1q ?命题p ，

对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，

当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==，

又因为()f x 单调递增，

所以()()f x a f x +<，

所以()()f x a f x f +<+（a ），

所以命题2p ?命题p ，

所以1q ，2q 都是p 的充分条件，

故选：C ．

【总结与归纳】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（14分）已知ABCD 是边长为1的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2

π至11ABC D ，求线段1CD 与平面ABCD 所成的角． 【思路分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形

组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；

（2）先利用线面垂直的判定定理证明1AD ⊥平面ADB ，连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，再利用三角函数的知识求出1cos D CA ∠即可．

【解析】：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，

221214S πππ∴=??+?=．

故该圆柱的表面积为4π．

（2）正方形11ABC D ，1AD AB ∴⊥，

又12DAD π

∠=

，1AD AD ∴⊥， AD AB A =，且AD 、AB ?平面ADB ， 1AD ∴⊥平面ADB ，即1D 在面ADB 上的投影为A ，

连接1CD ，则1D CA ∠即为线段1CD 与平面ABCD 所成的角，

而1126cos 3

AC D CA CD ∠===，

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∴线段1CD 与平面ABCD

所成的角为 【总结与归纳】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．

18．（14分）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．

（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2

f x =的解集； （2）已知1ω=

，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4

π，求()g x 的值域． 【思路分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．

【解析】：（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2

f x x =． 令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543

x k ππ=+． 故解集为{|43x x k ππ=+或543

x k ππ=+，}k Z ∈． （2）由于1

ω=，所以()sin f x x =．所

以21cos2111()sin )sin()22cos2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=--==-+=-+．

由于[0x ∈，]4

π， 所以22663x πππ+． 1sin(2)126

x π+， 故11sin(2)62

x π--+-， 故1()02

g x -． 所以函数()g x 的值域为1[,0]2

-． 【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量

为q v x

=，x 为道路密度，q 为车辆密度． 1100135(),040()3(40)85,4080

x x v f x k x x ?-<，求道路密度x 的取值范围；

（2）已知道路密度80x =，交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．

【思路分析】（1）易知v 越大，x 越小，所以()v f x =是单调递减函数，0k >，于是只需令

第12页（共15页） 1100135()953

x ->，解不等式即可； （2）把80x =，50v =代入()v f x =的解析式中，求出k 的值，利用q vx =可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可． 【解析】：（1）q v x

=，v ∴越大，x 越小， ()v f x ∴=是单调递减函数，0k >，

当4080x 时，v 最大为85，

于是只需令1100135()953

x ->，解得3x >， 故道路密度x 的取值范围为(3,40)．

（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中， 得504085k =-+，解得78

k =． 1100135(),04037(40)85,40808

x x x x q vx x x x x ?-<

q

x =， 此时q 有最大值，为2748048028800()12040008777

-?+?=>． 故车辆密度q 的最大值为288007

． 【总结与归纳】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．

20．（16分）已知双曲线2212:14x y b

Γ-=与圆2222:4(0)x y b

b Γ+=+>交于点(A A x ，)A y （第一象限）

，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足||A x x >的部分．

（1）若A x =b 的值；

（2）当b 2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，

且在第一象限，且1||8PF =，求12F PF ∠；

（3）过点2(0,2)2b D +

斜率为2

b -的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ，并求OM ON 的取值范围．

【思路分析】（1）联立曲线1Γ与曲线2Γ的方程，以及A x =，解方程可得b ；

（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；

（3）设直线24:22

b b l y x +=-+，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交

点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ON ，进而得到所求范围．

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【解析】：（1

）由A x =A 为曲线1Γ与曲线2Γ的交点，联立22

2222144A A A A x y b

x y b ?-=?

??+=+?

，解得A y =，2b =；

（2）由题意可得1F ，2F 为曲线1Γ的两个焦点，

由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，又1||8PF =，24a =， 所以2||844PF =-=

，因为b =

3c =， 所以12||6F F =，

在△12PF F 中，由余弦定理可得222

12121212||||||cos 2||||

PF PF F F F PF PF PF +-∠=

6416361128416

+-==??，

由120F PF π<∠<，可得1211

arccos 16

F PF ∠=；

（3）设直线

24:22b b l y x +=-+，可得原点O 到直线l 的距离24||

b d +== 所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，

所以2OM k b =，并设2:OM y x b =与圆2224x y b +=+联立，可得22224

4x x b b

+=+，

可得x b =，2y =，即(,2)M b ，

注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点， 由22

2222

144A A A A

x y b x y b ?-=???+

=+?，可得42

2

4A b y b =

+， 所以有42

44b b

<+，解得22b >+22b

<-（舍去）， 因为OM 为ON 在OM 上的投影可得，24OM ON b =

+，

所以246OM ON b =+>+， 则(6OM ON ∈+)+∞．

【总结与归纳】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 21．（18分）已知数列{}n a 为有限数列，满足12131||||||m a a a a a a --?-，

则称{}n a 满足性质P ．

（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P ，请说明理由； （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围； （3）若{}n a 是1，2，3，?，m 的一个排列(4)m ，{}n b 符合1(1k k b a k +==，2，?，1)m -，{}n a 、{}n b 都具有性质P ，求所有满足条件的数列{}n a ．

【思路分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；

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（2）假设公比q 的等比数列满足性质p ，可得：11111||||n n a a q a a q ---，推出

11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，通过1q ，01q <时，10q -<时：1q <-时，四种情况讨论求解即可．

（3）设1a p =，分1p =时，当p m =时，当2p =时，当1p m =-时，以及{3P ∈，4，?，3m -，2}m -，五种情况讨论，判断数列{}n a 的可能情况，分别推出{}n b 判断是否满足性

质P 即可．

【解析】：（1）对于数列3，2，5，1，有|23|1-=，|53|2-=，|13|2-=，满足题意，该数列满足性质P ；

对于第二个数列4、3、2、5、1，|34|1-=，|24|2-=，|54|1-=．不满足题意，该数列不满足性质P ． （2）由题意：11111||

||n n a a q a a q ---，可得：1|1|

|1|n n q q ---，{2n ∈，3，?，9}，

两边平方可得：22212121n n n n q q q q ---+-+，

整理可得：11(1)[(1)2]0n n q q q q ---+-，当1q 时，得1(1)20n q q -+-此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时，(1)20q q +-，

所以，(2)(1)0q q +-，所以2q -，或1q ，所以取1q ，

当01q <时，得1(1)20n q q -+-，此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时，(1)20q q +-， 所以(2)(1)0q q +-，所以21q -，所以取01q <． 当10q -<时：11[(1)2]0n n q q q --+-，

当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立，当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，不恒成立； 故当10q -<时，矛盾，舍去．

当1q <-时，得11[(1)2]0n n q q q --+-，当n 为奇数时，得1(1)20n q q -+-，恒成立， 当n 为偶数时，1(1)20n q q -+-，恒成立；故等价于2n =时，(1)20q q +-， 所以(2)(1)0q q +-，所以2q -或1q ，所以取2q -， 综上(q ∈-∞，2]

(0,)-+∞．

（3）设1a p =，{3p ∈，4，?，3m -，2}m -，

因为1a p =，2a 可以取1p -，或1p +，3a 可以取2p -，或2p +，

如果2a 或3a 取了3p -或3p +，将使{}n a 不满足性质P ；所以{}n a 的前5项有以下组合： ①1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =-；52a p =+； ②1a p =，21a p =-；31a p =+；42a p =+；52a p =-； ③1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =-；52a p =+； ④1a p =，21a p =+；31a p =-；42a p =+；52a p =-；

对于①，11b p =-，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去；

对于②，11b p =-，21||2b b -=，31||3b b -=，41||2b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 对于③，11b p =+，21||2b b -=，31||3b b -=，41||1b b -=与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 对于④11b p =+，21||2b b -=，31||1b b -=，与{}n b 满足性质P 矛盾，舍去； 所以{3P ∈，4，?，3m -，2}m -，均不能同时使{}n a 、{}n b 都具有性质P ． 当1p =时，有数列{}:1n a ，2，3，?，1m -，m 满足题意． 当p m =时，有数列{}:n a m ，m -1，?，3，2，1满足题意．

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当2p =时，有数列{}:2n a ，1，3，?，1m -，m 满足题意．

当1p m =-时，有数列{}:1n a m -，m ，2m -，3m -，?，3，2，1满足题意． 所以满足题意的数列{}n a 只有以上四种．

【总结与归纳】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须要有较高的数学思维逻辑修养才能解答．

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