电磁场与电磁波习题答案4

第四章 静电场

重点和难点

主要介绍电流的种类，理想导体和理想介质，电动势，电流连续性原理以及能量损耗等。

关于恒定电流场与静电场的比拟可以略去。

重要公式

在无外源的导电媒质中，恒定电流场方程：

积分形式： 微分形式：

? l J??dl?0

? J?dS S?0

?J??? ???0?????J?0

在均匀导电媒质中，恒定电流场方程：

积分形式： 微分形式：

? J?dl?0

l

J2t? J?dS S?0

?? J?0

???J?0

恒定电流场边界条件： 恒定电场边界条件：

J1t?1?

J1n?J2n

2E1t?E2t ?1E1n??2E2n

恒定电流场的能量损耗：

pl?E?J题 解

4-1 已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压6V时，线中产生的电流为

16A，试求：

① 导线的电导率；② 导线中的电场强度；③ 导线中的损耗功率。

1

解 （1） 由V?IR，求得 R?由 R????61/6?36???

?S?RS，求得导线的电导率为

?103?3236????0.5?10??3.54?107?Sm?

（2） 导线中的电场强度为

E?V??6103?6?10?3?Vm?

（3） 单位体积中的损耗功率 Pl??E2，那么，导线

的损耗功率为

P??E?rL?1?W?

224-2 设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b，填充媒质的电导率为?。根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。

解 设r?a时,??V;r?b时，??0。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为

???21d?d???r??0 rdr?dr?求得同轴线中的电位?及电场强度E分别为

???Vln??r??b??a?ln?? ?b? E??????1rV?a?ln???b?er

则 J??E??1r?V?a?ln???b?er

单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为

I??J?ds?s2??V?a?ln???b?

2

那么，单位长度内同轴线的漏电导为

G?1R?IV?2???a?ln???b??Sm?

4-3 设双导线的半径a，轴线间距为D，导线之间的媒质电导率为?，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。

解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+?和??，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为

E?1???? 2???rD?r???1那么，两导线之间的电位差为

V??d?aaE?dr????lnD?aa

单位长度内两导线之间的电流大小为

I??J?ds?s??E?ds?s??D??D?a?

则单位长度内两导线之间的漏电导为

G?1R?IV???D?D?a??D?a?ln??a?? ?Sm?

若D??a则单位长度内双导线之间的漏电导为

G????D?ln???a? ?Sm?

4-4 已知圆柱电容器的长度为L，内外电极半径分别为a及b，填充的介质分为两层，界面半径为c。在a?r?c区域中，填充媒质的参数为

?1?1；在c?r?b区域中，媒

质参数为?2?2。若接上电动势为e的电源，试求：① 各区域中的电流密度；② 内外导体表面上以及介质表面上

3

的驻立电荷密度。

解 (1) 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为

???21d?d???r??0 rdr?dr?忽略边缘效应，设媒质①和媒质②内的电位分别为?和

?2，那么

d?dr?rd?1?r??0??1?C1lnr?C2 ?d?d?ddr?r?2?r??0??2?C3lnr?C4 ?d?根据边界条件，得知

?1?a??e?C1lna?C2；?2?b??0?C3lnb?C4

C1lnc?C2?C3lnc?C4 ?d?1d?21dr??2r?cdr

r?c联立上式，求得

C1??e；

Clna2?e?e

lnca??1?lnblnc2ca??1?lnb2cCelnb3??；

C4?e?lnb2c???lnclnb?2ce

1ac??ln1a代入上式，得

?1??lnre?e?lnalnc?1be

a??lnblnc?12ca??ln2c?lnrlnb2??lnb?2ce?b?2ce

c??ln1alnc??ln1a 14

J1?J2??1E1??1?2ecb????2ln??1ln?rLac??er

(2) r = a表面上面电荷密度为

?sa??1E1n??1?2ecb????2ln??1ln?aLac??

r = b表面上面电荷密度为

?sb??2E2n??2?1ecb????2ln??1ln?bLac??

r = c表面上面电荷密度为

????1?2??2?1?e?1???sc??????E? 12??1ncb???2????2ln??1ln?cL?ac?4-5 已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。 试求r?a与r?b两个表面之间的电阻。

解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为

???2Y d 0 (r,?r ) ? a b 习题图4-5

X

1d?d???r??0 rdr?dr?该方程的解为 令

??r??C1lnr?C2

??a??V0, ??b??0,

5

求得常数 C1??V0lnba。那么，电场强度为

E?r???d?dr?V0rlnbaer

电流密度为

J??E??V0rlnbaer

电流强度为

?I??J?dS???20d?V0?b?aln???a?0ad?dz??d?V0?b?2ln???a?

由此求得两个表面之间的电阻为

R?V0I??b?2ln???a??d?

4-6 若两个同心的球形金属壳的半径为壳之间填充媒质的电导率???0?1???k??r?，球rr1及r2(1?r2)，试求两球壳之间

的电阻。

解 对于恒定电流场，因???代入??J?0，得

????????0

J?J???????0，可令????。将其

建立球坐标系，上式展开为

1r2d?2?k?d??r?1???0???0dr?rdr???rr?k?C2

该方程的解为

??C1ln那么，求得电流密度为J????????C1kr?r?k????0C1kr2er

6

两球壳之间的电流为

I??J?ds?4??s0C1k

er

两球壳之间的恒定电场为 两球壳之间的电位差为

E?J???C1kr?r?k?U??E?dl??r2C1kr?r?k?r1dr?C1lnr2?r1?k?r1?r2?k?

求得两球壳之间的电阻为

R?UI?14??0klnr2?r1?k?r1?r2?k?

4-7 已知截断的球形圆锥尺寸范围为r1?r?r2，0????0，电导率为?，试求r?r1及r?r2两个球形端面之间的电阻。 解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由上例获知

???0

2那么

C1d?2d???C2； ?r??0???dr?dr?r求得 电流密度 J?那么，电流

I?C1r2er；电场强度

E?C1?r2er

?J?ds?s??02??0C1r120?r1sinθd?d??2??1?cos?0?C1

2电位差

U??UE?dl??r2C1r1?r12dr?C1?11???? ???r1r2??因此电阻

?11??? R?????I2???1?cos?0??r1r2??7

4-8 若上题中电导率???0r1r，再求两球面之间的电阻。

解 由于媒质是非均匀的，那么由

????????0?d?2?0r1d????r???0，

dr?rdr?求得

??C1lnr?C2

J????????C1?err??电流密度

?0C1rr2er

电场强度 电流

I?E?J???C1rer

?J?ds?s??02??0?0C1r1r120?r1sinθd?d??2??1?cos?0??0C1r1

2电位差

U??UIE?dl?C1lnr2r1

r2r1因此电阻

R??12??1?cos?0??0r1ln

4-9 若两个半径为a1及a2的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为?及?，两个球心间距为且d??a1，d??a2，试求两导体球之间的电阻。 解 设两球携带的电荷分别为Q和-Q，考虑到两球相距很远，d??a1,d??a2，两球表面电荷分布可视为均匀。因此，两球的电位分别为

?1?1?QQ???， ??4???a1d?a1??d，

?2?1??QQ??? ??4???a2d?a2??则两球之间的电位差为

U??1??2?Q?1111??? ????4???a1a2d?a1d?a2??那么，两球之间的电容

8

C?QU?4???112??? ???ad??1a2?根据静电比拟，两球之间的电阻应为

?112?? R??????C?4???a1a2d???14-10 知半径为25mm的半球形导体球埋入地中，如习题图4-10所示。若土壤的电导率??10?6(S/m)，试求导体球的接地电阻（即导体球与无限远处之间的电阻）。

解 已知半径为a的孤立导体球与无限远处之间的电容为 C?4?? a，那么根据静电比拟，埋地导体球的电阻R为

RC??0 习题图4-10

2a ? =10-6S/m ???R??C??14?? a

对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻加倍，即

R?12?? a?6.36?106?

4-11 恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为

??E????????????????????

解 已知恒定电流场是无散的，即 ??J?0，那么

????E?????E?E????0

又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即

??D???????E???????E?E?????

9

由上两式求得

??E????????????????????

a?b，四

4-12 若一张矩形导电纸的电导率为?，面积为

周电位如习题图4-12所示。试求：①导电纸中电位分布； ②导电纸中电流密度。

???n?0

? n

Y

???n?0 ? = V0 ? = 0 ? a X b 习题图4-12

解 (1) 建立直角坐标，根据给定的边界条件，得

???yy?0?0, ???yy?b?0

?0?x?a?

??0,y??0, ??a,y??V0 ?0?y?b?

导电纸区域中电位的通解为

??x,y???A0x?B0??C0y?D0????Ansh?knx??Bnch?knx???Cnsin?kny??Dncos?kny??n?1?

由边界条件

???y??0及 y?0???yy?b?0得

?A0x??A0x?B0?C0???An?1?nsh?knx??Bnch?knx??Cnkn?0

B0?C0??k?Ann?1nsh?knx??Bnch?knx???Cncos?knb??Dnsin?knb???0由此求得常数： Cn?0，其中n?0,1,2,?

kn?n?b，其中n?1,2,?

代入上式，得

10

?x?B0????x,y??A0??n?1??n???n????n????Ashx?Bchxcosy??????n?n??b??b???b??

由边界条件??0,y??0,??a,y??V0，得

??a?B0??A0??A?sh?n?1???n?n??n????n???ch?a??Bna??cos?y??V0?b??b???b?

???B0?n?1?n???cos?Bny??0

?b???0, 其中n?0,1,2,3,? 由此求得常数： Bn??A0V0a??0, 其中n?1,2,3,? , An那么，导电纸中的电位分布为

??x,y??V0aV0ax

(2) 由E??????ex，求得导电纸中电流密度为

J?x,y???E???V0aex

4-13 已知电导率为?的无限大 的导电媒质中均匀电流密度

J?exJ0。若沿

Y ? Z ? a J习题图4-13

J0rcos?）

Z轴方向挖出半

X 径为a的无限长圆柱孔，如习 题图4-13所示。试求导电媒质 中的电位分布。

（提示：当r??时，电位????解 由于所讨论的空间是无源的，故电位应满足拉普拉斯方程 ?2??0。取圆柱坐标系，则其通解可表示为

11

??r,?,z??C0lnr?D0???rn?1?n?Ansinn??Bncosn???r?n?An?sinn??Bn?cosn???

(1) 在r??区域中，圆柱孔的影响可以忽略，则J0??E0，又E0??????exJ0??????x???x，得

J0x????J0rcos?

??????可见，当r??时，电位函数为cos?的函数，因此??r,?,z??均应为零，且n?1。那么 表达式中系数C0,D0,An,An??r,?,z??rB1cos??11??B1?cos???rB1?B1??cos?rr??

当r??时，即 rB1cos???J0?rcos?，得 B1??J0?

(2) 由于圆柱孔内不可能有电流，所以其表面不可能存在法向电场，因而表面不可能存在电荷。因此，当r?a时，

???r?0。由此获知，

???r1a2r?a1????B1?2B1??cos??0

a??可见，B1?B1?，即B1??aB1??2J0?2a。

2综上可知B1??J0?及B1???J0?a，其余常数均为零。

那么，导电媒质中的电位分布函数为

2J0?a??r??cos? ??r,?,z??????r?? 12

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