银川一中2020届高三第二次模拟考试数学(文科)试卷(含答案)

文科数学 第1页(共4页) 绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

( 银川一中第二次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的元素个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知实数a ，b 满足(a ＋bi )(2＋i )＝3－5i (其中i 为虚数单位)，则复数z ＝b +ai 的共轭复数为

A ．－135＋15i

B ．－135－15i

C ．135＋15i

D ．135－15i

3．已知平面α，直线m ，n ，若n α?，则“m n ⊥”是“m α⊥”的

A ．充分不必要条件

B ．充分必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道

两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日

各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相

逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结

果n =

A ．4

B ．5

C ．2

D ．3

5．若?

??<>-=0),(0

,12)(x x g x x f x 是奇函数,则))2((-g f 的值为

A ．87

B.87

- C.7 D.7-

6．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”则以下推论可能正确的是

A ．乙、丙两个人去了

B ．甲一个人去了

C ．甲、丙、丁三个人去了

D ．四个人都去了

文科数学 第2页(共4页) 7．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，

66a b = ，则11S =

A ．44

B ．44-

C ．88

D ．88-

8．不等式组??

???≥≤≤≥2100x y y x 所表示的平面区域为 Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先

产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，

由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，...，100)，再数出其中满足2i i x y <(i ＝1,2， (100)

的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域 Ω面积的近似值为

A ．0.33

B ．0.76

C ．0.67

D ．0.57

9．将函数)32sin(2)(π

+=x x f 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，

纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12

个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为

A ．x ＝－π24

B ．x ＝π4

C ．x ＝5π24

D ．x ＝π12

10．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的

中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为 A.1010 B. 15 C. 35 D.31010 11．已知点P 为双曲线)0(122

22>>=-b a b

y a x 右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有21213

1F IF IPF IPF S S S ???≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是

A ．(1,2]

B ．(1,2)

C ．(0,3]

D ．(1,3]

12．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()()

x f x e f x -=，当0，若2(ln 2)a f =，(1)f b e -=，11(ln )44

c f =，则a ，b ，c 的大小关系是

A ．b c a >>

B ．c b a >>

C ．a b c >>

D ．b a c >>

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知)2,1(=→a ，)0,1(=→b ，则=-→

→|2|b a __________.

文科数学 第3页(共4页) 14．若倾斜角为α的直线l 与曲线3

y x =相切于点（1，1），则24cos sin 2αα-的值为_____. 153l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆 22:(2)4M x y -+=相切，则p =______.

16．已知数列{}n a 满足12n n a a +=（*∈N n ），且21=a ， n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263 (127)

n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分

17．(12分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知7cos cos a B b A +=，sin2sin A A =.

（1）求A 及a ；

（2）若2b c -=，求BC 边上的高.

18．(12分)

银川市某商店销售某海鲜，经理统计了春节

前后50天该海鲜的日需求量x （1020x ≤≤，

单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海

鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若

供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海

鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商

店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假

设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销

售该海鲜的日利润为y 元.

（1）求商店日利润y 关于日需求量x 的函数表达式.

（2）根据频率分布直方图，

①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.

②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.

19．(12分)

如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．

文科数学 第4页(共4页)

(1)证明：PCD ⊥平面PAB ；

(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13

PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求点Q 到平面EBC 的距离．

20．(12分)

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2

，A 为椭圆C 上一点.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 是定值．

21．(12分)

已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2.

(1)讨论函数f (x )的单调区间；

(2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线22

1:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+??=?

（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；

文科数学 第5页(共4页)

（2）在极坐标系中，射线．．

6

π

θ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ），

定点(3,0)M ，求MAB ?的面积 23．[选修4-5：不等式选讲]

设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：????13a ＋16b <1

4；

(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，请说明理由．

银川一中2020届高三年级第二次模拟考试（文科）参考答案

一．选择题

13.

14 1

5

- 15. 12 16 . 5

三、解答题

17.解析（1）cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B

B A

C +

=

∴+=Q .....2分

sin sin C C a ∴=

∴=分 1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23A A A A A A A A π

π=∴=∴=∈∴=Q Q ...........6分；

（2）由余弦定理得

222

2222cos 7,7(),74,3a b c bc A b c bc b c bc bc bc =+-∴=+-=-+∴=+=, (8)

分

设BC 边上的高为h .

1111sin 3222214

ABC ABC S bc A S ah h ∴==?==∴==

V V Q ...10分.

即BC 边上的高为

14

.....................................12分 18.【解析】（1）当1014x ≤<时

文科数学 第6页(共4页) ()401014=50140y x x x =-?--..................................................2分

当1420x ≤≤时

()40143014=30140y x x =?+?-+........................................4分

所求函数表达式为：()()301401420501401014x x y x x ?+≤≤?=?-≤

． ........................6分 （2）①由频率分布直方图得：

海鲜需求量在区间[)10,12的频率是120.050.1f =?=；

海鲜需求量在区间[)12,14的频率是220.10.2f =?=

海鲜需求量在区间[)14,16的频率是320.150.30f =?=；

海鲜需求量在区间[)16,18的频率是420.120.24f =?=；

海鲜需求量在区间[]18,20的频率是520.080.16f =?=； ............................8分 这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：

1122334455x x f x f x f x f x f =?+?+?++?+?

110.1130.2150.30170.24190.16=?+?+?+?+?

15.32=（公斤）.........................10分

②当14x =时，560y =，

由此可令30140620x +≥，得16x ≥

所以估计日利润不少于620元的概率为()0.120.0820.4+?=.......................12分 19解析 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O .

由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，

∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，....................2分

∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，

∴AB ⊥平面P AD ， ....................4分

∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3， 又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2，

∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，

∴PD ⊥平面P AB

又因为?PD 平面PCD

所以平面PCD ⊥平面P AB .................................................................... 6分

(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，所以点Q 到平面EBC 的距离为d

则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23

，..........8分 ∴h PO ＝23

，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3，

文科数学 第7页(共4页) ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322

＝2，. ..............................10分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922

， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3=13

EBC s d ?. 所以点Q

到平面EBC 的距离为d = .........................................12分

20解析

(1)由题意可知22

1344019a b =?+=??得229,8a b == 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2

8

＝1........................................4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3，

直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，................6分

所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )．

所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2.

联立????? x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，

得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0....................................8分 因为直线l 与椭圆C 相切，

所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. ................ 10分

所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0，所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2

...........12分 ???

?注：可以先通过k ＝0计算出此时∠MF 1N ＝π2，再验证一般性 21．(1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)，

f ′(x )＝1－2ax 2

x

， 当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；....2分 当a ＞0时，x ∈?

???0， 12a ，f ′(x )＞0，x ∈???? 12a ，＋∞，f ′(x )＜0， ∴函数f (x )的单调递增区间为???

?0， 12a ， 单调递减区间为???

?

12a ，＋∞..............................................4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e x x －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e x

x －ln x (x ＞0)，φ′(x )

文科数学 第8页(共4页)

＝2(x －1)e x －e 2x e 2x

2

，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，.....................6分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，

故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，.............................8分

∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0；....................10分 ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证....................................12分

证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3

，即证2e 2·e x x 2＞ln x x ，

令φ(x )＝2e 2·e x

x 2(x ＞0)，φ′(x )＝2(x －2)e x e 2x 3

，7分

∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

∴φ(x )≥φ(2)＝1

2.

令r (x )＝ln x

x ，则r ′(x )＝1－ln x x 2

，

当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1

e ，

∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e x x 2>ln x

x ，得证.12分

22．（1）曲线1C 的极坐标方程为：2

2

22cos

sin 2ρθρθ-=， ………2分

因为曲线2C 的普通方程为：()2224x y -+=，2

2

40.x y x ∴+-= ………3分

∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． (5)

分

（2）由（1）得：点A 的极坐标为2,6π?? ???，点B

的极坐标为6π?

? ??

?

∴22AB =-=- ………6分

()3,0M 点到射线()06

π

θρ=

≥的距离为3

3sin

6

2

d π

==

………8分 ∴MAB ?

的面积为(

)

1132222AB d ?=??=. ………10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zygq.html