广东省2011年高考全真模拟考试文科数学试题（一）

2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（一）

本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．

n(ad?bc)参考公式： K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)22P(K2?k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

21．设集合M?xx?9,N?x?1?x?4，则M?N等于( )

???? A. ?x?3?x??1? B.?x3?x?4? C. ?x?1?x?3? D. ?x?3?x?4? 2．函数f(x)?cos4x?sin4x是（ ）

?的奇函数 C. 周期为?的偶函数 D.非奇非偶函数 23. 如果函数f(x)?x2?ax?3在区间(??,4]上单调递减，则实数a满足的条件是（ ）

A.周期为?的奇函数 B.周期为

A. a?8 B．a?8 C．a?4 D．a??4

4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3?7a1，则数列{an}的公比q的值为( )

?????5. 已知平面向量a??1,2?, b???2,m?, 且a//b, 则b?( ) 3 B. 5 C. 25 D. 22 5136. 曲线y?x?2在点（(1,?)处切线的倾斜角为（ ）

333?5???A. B. C. D.

4664A.

7. 给出如下三个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若x?2且y?3，则x?y?5”的否命题为“若x?2且y?3，则x?y?5”； ③在?ABC中，“A?45”是“sinA?22?D1C1B1PDCBA. 2 B. 3 C. 2或-3 D. 2或3

2”的充要条件。 其中不正确的命题的个数是( ) 2A1A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

8. 若圆x?y?6x?6y?14?0关于直线l:ax?4y?6?0对称，则直线l的斜率是( )

223 A．6 B． C．? D．?

332P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持 9. 如图,正方体ABCD?A1BC11D1中，点

AP?BD1，则动点P的轨迹是（ ）

A．线段B1C B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段

10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生 成”函数。给出下列函数：

①f(x)?sinx?cosx；

②f(x)?A2(sinx?cosx)；

③f(x)?sinx； ④f(x)?2sinx?2。

其中“互为生成”函数的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11?13题） 11. 一个公司共有1000名员工，现正下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .

- 1 -

12.在?ABC中，B?3?33313．右面是计算1?2???10的程序框图，图中的①、②分别是 和_____________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）

如图，已知Rt?ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.

?x?cos?,15.（坐标系与参数方程选做题）直线3x?4y?7?0截曲线?（?为参数）

????????,且BA?BC?43,则?ABC的面积是_____________

?y?1?sin?的弦长为___________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题共12分）已知函数f(x)?4sin(??x)cosx （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若??(0,?),f(???4)?2求sin?的值 , 3

17.（本题满分14分）

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀 非优秀 总计

10 甲班

30 乙班

105 合计 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为

2 7(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

18.（本题12分）如图所示,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中, DB?AC,点M是棱BB1上一点. （1）求证：B1D1//面A1BD；

（2）求证：MD?AC；

19. （本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：万元，0?x?30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

- 2 -

y220. （本小题满分14分）已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C

b三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．(1) 若FC是?P的直径，求椭圆的离心率；（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．

2

?x?0?21．（本小题满分14分）设不等式组?y?0所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵

?y??nx?3n?坐标均为整数的点）个数为f(n)(n?N*)

（1）求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式；（2）记Tn?的正整数n，总有Tn?m成立，求实数m的取值范围；

（3）设Sn为数列?bn?的前n项的和，其中bn?2f(n)，问是否存在正整数n,t，使存在，求出正整数n,t；若不存在，说明理由。

f(n)?f(n?1)，试比较Tn与Tn?1的大小；若对于一切n2Sn?tbn1?成立？若

Sn?1?tbn?116

- 3 -

2011年广东高考全真模拟试卷文科数学（一）答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分

2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1

C A C C B B D A D 答案 B

选择题参考答案：

1.M?(??,?3)?(3,??),N?(?1,4),M?N?(3,4)选B 2. f(x)?cos4x?sin4x?cos2x，选C

3. f(x)?x2?ax?3在区间(??,4]上递减，对称轴为x?a?4，故a?8 选A 故 24. 由S3?7a1 ，则a1?a2?a3?7a1,故1+q+q2=7，选C

?????5. 由 a//b，m??2?2??4，则b?6. y???2????4?22?25，选C

13?x?2，则y'?x2,则k?1，故倾斜角为，选B 347. ①②正确，③错误，选B

?3），故8. 圆x2?y2?6x?6y?14?0关于直线l:ax?4y?6?0对称，则直线通过圆心（3，3?，选?D 29. 正方体中，恒有BD1?面ACB1，则本题选A 3a?12?6?a0,?斜率6,k10. ，函数图像在平移的过程中，大小不会发生变化，观察四个表达式只有①④的振幅相同，故选D

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是

选做题，考生只能选做一题．

311．10 12. 6 13. s?s?i,i?i?1（顺序不能颠倒） 14．

816 15．

55填空题参考答案： 11．假定抽取人数为x，则

50x?，则x?10 1000200?????????1?13?6 12. 由BA?BC?43，则ac?cos?43，则ac?83，故S?ABC?acsin??83?3232213.略

16 50?4?7382215.曲线可化为x?(y?1)?1，圆心到直线的距离d??，则弦长l?2r2?d2?

59?165214.由切割线定理，BC?BD?BA,则16?BD?3?4,BD?22

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本题满分12分）本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．

已知函数f(x)?4sin(??x)cosx（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； 解（Ⅰ）∵f(x)?4sin(??x)cosx， ?4sinxcosx?2sin2x………3分

2???…………………5分 2∴函数f(x)的最小正周期为?.…………………6

?2（Ⅱ）若??(0,?),f(??)?, 求sin?的值

43?2?2解：由f(??)?，∴2sin2(??)?,…………………7分

4343T?

- 4 -

化简可得cos2??则1?2sin??21,…………9分 3112,化简∴sin??…………………10分 333由??(0,?),∴sin??0,故sin??…………………12分

317. （本题满分14分）

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀 非优秀 总计

10 甲班

30 乙班

105 合计 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为

2 7(Ⅰ)请完成上面的列联表； 解：(Ⅰ)表格如下 优秀 非优秀 总计

10 45 55 甲班

20 30 50 乙班

30 75 105 合计

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” . 解：根据列联表中的数据，得到

105?(1?03?0?20245)?6.109?3.…………………841 k?5分

55?5?03?075因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。 ………………7分

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

解：设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）…………………8分 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、?、（6，6）， 共36个。…………………10分 事件A包含的基本事件有： （1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个…………………12分

?P(A)?82?…………………14分 369

18. （本题满分12分）如图所示,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中, DB?AC,点M是棱BB1上一点.， （1）求证：B1D1//面A1BD；

证明：由直四棱柱,得BB1//DD1,且BB1?DD1,所以BB1D1D是平行四边形, 所以B1D1//BD

…………………（3分）

而BD?平面A1BD ------------------6分 1BD,B1D1?平面A1BD,所以B1D1//面A

（2）求证：MD?AC；

证明：因为BB1?面ABCD,AC?面ABCD, 则BB1?AC 又因为BD?AC,且BD?BB1?B，故AC?面BB1D 而MD?面BB1D，所以MD?AC

----------------9分）

……………………（12分）

- 5 -

19. （本题满分14分）

为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：万元，0?x?30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

解：（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期的获利为f(x)，………………1分 则依题意有f(x)?(30?x?9)(432?kx2)?(21?x)(432?kx2)，…4分

2·22，于是有k?6，……5分 又由已知条件，24?k所以f(x)??6x3?126x2?432x?9072，x?[0，30]．…………7分

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

解：根据（1），我们有f?(x)??18x2?252x?432．??18(x?2)(x?12)………………9分 作出以下表格： x f?(x) f(x) 2? ?0，? ? 2 0 极小 (2，12) 12 0 极大 30? ?12，? ? ? ? ………………12分 故x?12时，f(x)达到极大值．因为f(0)?9072，f(12)?11264，则定价为30?12?18万元能使一个星期的商品销售利润最大．……14分

20．（本小题共14分）

y2已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作?P，其中圆心P

b的坐标为(m,n)．

(1) 若FC是?P的直径，求椭圆的离心率； 解：（1）由椭圆的方程知a?1，∴点B(0,b)，C(1,0)，F的坐标为(?c,0)，………………1分

bb∵FC是?P的直径，∴FB?BC∵kBC??b,kBF? ∴?b???1 --------------------2分

cc222∴b?c?1?c，c?c?1?0----------------------------------------3分

5?1解得c? --------------------------------------5分

2c5?1∴椭圆--------------------6分 e??a2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．

解：∵?P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

1?cFC的垂直平分线方程为x?--------①

22-----------7分

∵BC的中点为(,)，kBC??b∴BC的垂直平分线方程为y?---------9分

1b22b11?(x?)-----② 2b21?cb2?c1?cb2?c,y?,n?由①②得x?，即m? -----11分 22b22b1?cb2?c??0?(1?b)(b?c)?0 ∵P(m,n)在直线x?y?0上，∴ 22b∵1?b?0 ∴b?c -----------------13分

- 6 -

1∴椭圆的方程为x2?2y2?1 ---------------------14分 2?x?0?21．（本小题满分14分）设不等式组?y?0所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵

?y??nx?3n?坐标均为整数的点）个数为f(n)(n?N*)

（1）求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式；

解：⑴ f(1)?3,f(2)?6 ------------------2分

当x?1时，y取值为1，2，3，?，2n共有2n个格点

当x?2时，y取值为1，2，3，?，n共有n个格点 ∴f(n)?n?2n?3n- ------------------4分

22由b?1?c得b?2

（2）记Tn?的取值范围；

解：由Tn?f(n)?f(n?1)，试比较Tn与Tn?1的大小；若对于一切的正整数n，总有Tn?m成立，求实数m2nf(n)f(n?1)9n(n?1)? nn229(n?1)(n?2)n?1f(n?1)f(n?2)9(n?1)(n?2)Tn?1n?22?则Tn?1? ???n?1n?19n(n?1)22Tn2nn2-------------------5分

当n?1,2时，Tn?1?Tn

当n?3时，n?2?2n?Tn?1?Tn-------------------6分 ∴n?1时，T1?9

n?2,3时，T2?T3?n?4时，Tn?T3

27 227-------------------8分 2要使Tn?m对于一切的正整数n恒成立，

27?m 只需227∴m?-------------------9分

2∴?Tn?中的最大值为T2?T3?

（3）设Sn为数列?bn?的前n项的和，其中bn?2f(n)，问是否存在正整数n,t，使存在，求出正整数n,t；若不存在，说明理由。

Sn?tbn1?成立？若

Sn?1?tbn?1168(1?8n)8n?2?8?Sn??(8?1)--------------10分 解：bn?21?87?8?n8??t?8?Sn?tbn17?71?（﹡）-------------------11分 将Sn代入?，化简得，??8?n12Sn?1?tbn?116??t?8?7?7?f(n)3nn

- 7 -

8n8?18n1577若t?1时n?,即?，显然n?1-------------------12分

81277?771?8?若t?1时??t?8n??0 （﹡）式

7?7?15?8?化简为??t?8n?不可能成立-------------------13分

7?7?Sn?tbn1综上，存在正整数n?1,t?1使?成立. - --------------14分

Sn?1?tbn?116

- 8 -

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