安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

2016年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（理科）

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．

=（ ）

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i

2．命题“?a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ ）

A．“?a∈R，函数y=π”是减函数 B．“?a∈R，函数y=π”不是增函数 C．“?a∈R，函数y=π”不是增函数

D．“?a∈R，函数y=π”是减函数

3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+

C．y=﹣x|x| D．y=

4．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（ ）

A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a

5．已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（ ） A．

B．

C．

D．6

6．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A．45

B．90

C．120 D．360

7．已知x，y满足时，z=x﹣y的最大值为（ ） A．4

B．﹣4 C．0

D．2

8．已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t

+（1﹣t），若∠ACD=60°，则t的值为（A．

B．

﹣

C．

﹣1

D．

9．执行如图的程序框图，则输出的s=（ ）

1

）

A． B．﹣ C． D．﹣

10．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ） A．π

B．

C．

D．

11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．8 C． D．16

12．已知f（x）=m?2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则m+n的取值范围为（ ）

A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． 14．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例： 年份 年份代号t 2030 1 2035 2 2040 3 2045 4 2050 5 2

所占比例y 68 65 62 62 61 根据上表，y关于t的线性回归方程为

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =，

=﹣．

15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ．

16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

18．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D． （1）求证：BD⊥平面AA1C1C；

3

（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，设F1，F2是椭

圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

21．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m； （Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（

），Q=

，R=

，试

比较P，Q，R的大小，并说明理由．

四、选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲

22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．

4

（1）求BD长；

（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C1的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0，曲线C1的参数方程为（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C2与C1有两个不同的公共点，求m的取值范围．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证aabb＞abba．

（t是参数，m是常数）

5

2016年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．

=（ ）

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题；规律型；方程思想；数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解：故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

2．命题“?a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ ）

A．“?a∈R，函数y=π”是减函数 B．“?a∈R，函数y=π”不是增函数 C．“?a∈R，函数y=π”不是增函数 【考点】命题的否定．

【专题】计算题；规律型；简易逻辑．

【分析】通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“?a∈R，函数y=π”不是增函数． 故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+

D．“?a∈R，函数y=π”是减函数

=

=

=i．

6

C．y=﹣x|x| D．y=

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及奇函数的定义，分段函数单调性的判断方法便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；

；

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02； ∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．

4．若a=ln2，b=5

，c=

xdx，则a，b，c的大小关系（ ）

；

A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【考点】不等式比较大小．

【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式．

【分析】由对数不等式求出a的范围，由根式不等式求出b的范围，由定积分求出c的值，然后再比较即可得答案．

7

【解答】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即， ，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a． 故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．

5．已知2a=3b=m，ab≠0且a，ab，b成等差数列，则m=（ ） A．

B．

C．

D．6

【考点】等差数列的通项公式．

【专题】计算题；转化思想；构造法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 【分析】易知a=log2m，b=log3m，2ab=a+b，从而可得logm2+logm3=logm6=2，从而解得． 【解答】解：∵2a=3b=m， ∴a=log2m，b=log3m， ∵a，ab，b成等差数列， ∴2ab=a+b， ∵ab≠0， ∴+=2，

∴=logm2， =logm3， ∴logm2+logm3=logm6=2， 解得m=故选 C

【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．

6．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A．45

B．90

C．120 D．360 ．

【考点】计数原理的应用．

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．

8

【分析】问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，由分步计数原理可以解得．

【解答】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3， 所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数， 故选：B．

【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．

7．已知x，y满足A．4

B．﹣4 C．0

时，z=x﹣y的最大值为（ ） D．2

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件

作出可行域如图，

联立，得A（6，2），

化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，

由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4． 故选：A．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

8．已知AC⊥BC，AC=BC，D满足

=t

+（1﹣t）

，若∠ACD=60°，则t的值为（ ）

9

A． B．﹣ C．﹣1 D．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．

【分析】根据条件可知点D在线段AB上，从而可作出图形，并过D分别作AC，BC的垂线DE，DF，可设AC=BC=a，从而可根据条件得到CE=ta，CF=（1﹣t）a，这样在Rt△CDE和Rt△CDF中，由余弦函数的定义即可得到

，从而可解出t的值．

D在线段AB上，【解答】解：如图，根据题意知，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由

根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°； ∴

；

得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；

即；

解得故选：A．

．

【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法

的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．

9．执行如图的程序框图，则输出的s=（ ）

10

A． B．﹣ C． D．﹣

【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；函数思想；试验法；算法和程序框图．

【分析】解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是α＞180°就终止循环，可得s=cos12°cos24°cos48°cos96°，给原式的分子分母都乘以24cos6°，然后分子连续利用四次二倍角的正弦函数公式后再利用诱导公式把正弦化为余弦，约分即可得解．

【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得 α=12°，s=1 s=cos12°，α=24°

不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°，α=48°， 不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°cos48°，α=96°， 不满足条件α＞180°，s=cos12°cos24°cos48°cos96°，α=192°，

满足条件α＞180°，退出循环，输出s=cos12°cos24°cos48°cos96°，α=192°， 由于s=cos12°cos24°cos48°cos96° =﹣sin6°cos12°cos24°cos48° =﹣

=﹣

=﹣

11

=﹣=﹣=﹣=﹣

．

故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用，考查诱导公式及二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，此题的突破点是分子变形后给分子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的连锁反应，属于中档题．

10．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ） A．π

B．

C．

D．

【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．

=sin2【解答】解：由函数f（x）（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为故f（x）=﹣cos2x．

若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；

再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+则实数a的最小值为故选：D

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．

12

=π， 可得ω=1，

，a=+，k∈Z．

．

11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．8 C． D．16

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】几何体是三棱柱，再判断三棱柱的高及底面三角形的形状，把数据代入棱柱的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴几何体的体积V=×2×2×4=8． 故选：B．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．

12．已知f（x）=m?2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则m+n的取值范围为（ ）

A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5] 【考点】根的存在性及根的个数判断．

【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．

【分析】由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，从而讨论求得． 【解答】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0，

13

即f（0）=m=0， 故m=0； 故f（x）=x2+nx，

f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立；

当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根， 故△=n2﹣4n＜0， 故0＜n＜4；

综上所述，0≤n+m＜4； 故选B．

【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 180 （结果用数值表示）． 【考点】二项式系数的性质．

【专题】对应思想；综合法；二项式定理．

【分析】本题是求系数问题，故可以利用通项公式Tr+1=Cnran﹣r br来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．

【解答】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cnran﹣r br可设含x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r 可知r=2，所以系数为C102×4=180， 故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

14．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣64岁劳动人口所占比例： 年份 年份代号t 2030 1 2035 2 2040 3 2045 4 2050 5 14

所占比例y 68 65 62 62 61 根据上表，y关于t的线性回归方程为 y=﹣1.7t+68.7

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =，

=﹣．

【考点】线性回归方程．

【专题】对应思想；综合法；概率与统计．

【分析】根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程． 【解答】解： =

， =

=63.6．

=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．

=4+1+0+1+2=10．

∴=﹣=﹣1.7. =63.6+1.7×3=68.7．

∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．

【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．

15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是

．

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．

【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1），

15

由，消去x得．

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4， 消去y2得k2=3，解之得k=±故答案为：

．

．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 4+【考点】球的体积和表面积．

【专题】综合题；对应思想；数形结合法；立体几何．

【分析】由题意画出正四棱柱的对角面，然后通过求解直角三角形得答案． 【解答】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=

，

．

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 则

，

，

=

．

，

在Rt△OMO1中，OO1=4，∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

．

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

16

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++

）=9，从而解得；

（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3?（﹣）2n=3?（）2n，从而可得bn=log2法求和．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 则3（1++

）=9，

=2n，利用裂项求和

解得，q=1或q=﹣； 故an=3，或an=3?（﹣）n﹣3；

（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符； 故a2n+3=3?（﹣）2n=3?（）2n， 故bn=log2故cn=

=2n， =﹣

，

故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣

＜1．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．

17

18．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20

根据平均数值公式求解即可．

（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=列出分布列，求解数学期望即可．

【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；

又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3；

，P（X=3），

18

P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=

×（）3=×（）2×=

； ；

；

×（）×（）2=×（）3=

，

∴X的分布列为： X P 即E（X）=0×

0 1 =．

2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D． （1）求证：BD⊥平面AA1C1C； （2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

19

【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1， ∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形， 同理△ABC1是等边三角形， ∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1， ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD?平面ABC1， ∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC1的一个法向量为

，设平面ABC的法向量为

，

由题意可得，

，1，1），

，则，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

．

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

20．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，设F1，F2是椭

圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

20

（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的短轴长为2出椭圆C的方程．

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣

），代入椭圆

，得（3t2+4）

，且离心率e=，列出方程组求出a，b，由此能求

y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性，结合已知能求出△F2PQ面积的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

∴

，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为=1．

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），

代入椭圆

，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，

∴，，

设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），

21

则直线F1M：

，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），

∴=||=15×||=180×||，

令μ=∈[1，），则=180×，

∵y==在[1，）上是增函数，

∴当μ=1时，即t=0时，（

）min=

．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．

21．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m； （Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（

），Q=

，R=

，试

比较P，Q，R的大小，并说明理由．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；反函数． 【专题】作差法；函数的性质及应用；导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立切线斜率关系进行求解即可． （Ⅱ）利用作差法进行求解证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）． ∴g（x）=ex．，f（﹣x）=ln（﹣x），

则函数的导数g′（x）=ex，f′（x）=，（x＜0）， 设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=

=

），

，则x1=1，k2=e，

22

设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=﹣e，k1=﹣，

故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（

）﹣

=

﹣

=﹣

=

，则x2=

＜0，∴P＜R，

∵P﹣Q=g（）﹣=﹣=

=，

令φ（x）=2x﹣ex+e﹣x，则φ′（x）=2﹣ex﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数， 故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=

，则a﹣b﹣

+

＜0，∴P＜Q，

?==1﹣

令t（x）=﹣1+，

则t′（x）=﹣=≥0，

则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，

【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．

﹣1+

＞0，

23

四、选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲

22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点． （1）求BD长；

（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．

【考点】相似三角形的判定． 【专题】推理和证明．

【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可． （2）通过三角形的两角和，求解角即可．

【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴∵OC=OD=6，AC=4，∴

，∴BD=9．…

，

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO …

【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C1的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0，曲线C1的参数方程为（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C2与C1有两个不同的公共点，求m的取值范围． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

24

（t是参数，m是常数）

【专题】计算题；方程思想；参数法；坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）由题意知ρ2﹣2ρcosθ=0，从而求得x2+y2﹣2x=0，消参可得2x﹣y﹣2m﹣1=0；（Ⅱ）由直线与圆的位置关系判断求m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由ρ﹣2cosθ=0得C1：ρ2﹣2ρcosθ=0， 故x2+y2﹣2x=0，

消去参数得C2：2x﹣y﹣2m﹣1=0； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C1是圆，C2是直线； x2+y2﹣2x=0可化为（x﹣1）2+y2=1， 由题意知圆心到直线的距离小于圆的半径， 故d=解得，

＜1， ＜m＜

．

【点评】本题考查了极坐标方程与参数方程的应用，同时考查了参数法的应用．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证aabb＞abba． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法． 【专题】证明题；函数的性质及应用；不等式．

【分析】（1）根据绝对值三角不等式得|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，求得最小值；

（2）运用指数函数的性质，不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，则立．

【解答】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10， 即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；

25

＞1恒成

（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，

则＞1恒成立，即＞1，

所以，aa﹣b＞ba﹣b，

将该不等式两边同时乘以abbb得， aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

26

（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，

则＞1恒成立，即＞1，

所以，aa﹣b＞ba﹣b，

将该不等式两边同时乘以abbb得， aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

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