时间序列分析讲义(3)

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第四次作业

第1题已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA (3) 模型（单位：万人）

Yt?100??t?0.8?t?1?0.6?t?2?0.2?t?3，?t~iidN?0,25?。

2002—2004 年的常驻人口数量及1步预测数量下表。年份 2002 2003 2004 常驻人口数量 104 108 105 预测的常驻人口数量 110 100 109 （1）计算此模型的均值函数E?Yt?和自相关函数??k?。（2）预测未来5年该地区常驻人口数量的95％的置信区间。

第2题一个销售序列的拟合ARIMA (1, 1, 0)模型为

(1?0.43B)(1?B)Zt?at,at~IIDN(0,2)。

已知观测值Z49?33.4,Z50?33.9。计算Z51,Z52,Z53的预报值，以及它们的90%置信的预报区间。

第3题基于样本y1,y2,?,y100估计模型(c2)，得到

Y?13.26?0.188t?0.9013Y?utt?1t. (7.214)(0.1543)(0.0698)在通常的检验水平上（

??10%，5%，1%）检验该模型是否存在单位根。

◆ 自回归求和移动平均（ARIMA）过程的预测

（实际问题中常用到的补充内容，教材没有。期末必考一题）

回忆在教材的第二章第二节我们学习过ARIMA(p,d,q)过程。定义设d?1为整数。对时间序列X,t?Z，如果它的d次向后差分序列Y:?(1?L)dX是因果平稳的ARMA(p,q)过程，则称X是

?t?tt?t?ARIMA(p,d,q)过程，即满足模型

??(L)X??(L)(1?L)dX????(L)uu~WN(0,?2)。

tt0ttp其中?(x)?1??x????x?0的p个根都在单位圆|z|?1以外，并且

1pq?(x)?0与?(x)?1??1x????qx?0没有公共根。

由于方程??(x)??(x)(1?x)d?0有d重单位根x?1位于单位圆

|z|?1上，称Xt是单位根过程，它必然不能是平稳的（既不是因果平

稳的，也不是非因果平稳的）。而ARIMA(p,d,q)过程存在是否可逆的问题。回忆时间序列可逆性的定义。

??定义称（可以是平稳的或非平稳的）时间序列X,t?Z是可逆

?的，如果存在数列?,j?0满足?|?|??以及常数?，使得

jjj?0?u?????X(m.s) tjt?jj?0是白噪声WN(0,?2)。

可逆性是与因果平稳性没有关联的性质。由于以上ARIMA(p,d,q)

???t?过程可以看作是ARMA(p+d,q)过程

??(L)X????(L)ut0t程的可逆性。

u~WN(0,?2)，

t因此可以通过ARMA过程可逆性的判定定理去判别ARIMA(p,d,q)过

补充推论以上ARIMA(p,d,q)过程X是可逆的，当且仅当方程

?t?q?(x)?1??x????x?0的q个根都在单位圆|z|?1以外。此时X1qt有唯一的逆转形式

????u????(L)X?????X(m.s.)，

ttjt?jj?0??j?0?0?其中???，?(x)???x满足???1和??j0q?(1)j?01???jj?1?(x)?(x)(1?x)d????唯一确定。 ??|?j|??，由?(x)??(x)?(x)j?0d??(1)(1?1)还注意到由于??(1)??????0，且???1，因此有

0j?(1)j?0?????1。

?????j0j?1注解设f(t)是至多d?1次确定性的（非随机的）多项式。则对以上ARIMA(p,d,q)过程X，有

?t??(L)(1?L)d[X?f(t)]??(L)[(1?L)dX?(1?L)df(t)]tt，

??(L)(1?L)dX????(L)ut0t因为(1?L)df(t)?0。例如，(1?L)3[???t??t2]?0。所以，

012ARIMA(p,d,q)过程可以表示带有确定性多项式趋势的序列，X不能

t被?(L)(1?L)dX????(L)u唯一确定。

t0t注解对ARIMA(p,d,q)过程X的建模可以先对它进行d次差分，

t然后对差分序列Y:?(1?L)dX建立因果平稳的ARMA(p,q)过程，经

tt????过初步识别、参数估计、用信息准则定阶、诊断式检验的完整步骤。

现在我们开始讨论ARIMA(p,d,q)过程的预测问题。设有ARIMA(p,d,q)过程X满足模型

?t?u~IID(0,?2)

tp（加强为独立同分布的白噪声）。其中?(x)?1??x????x?0与

1pq?(x)?1??x????x?0的根都在单位圆|z|?1以外，且没有公共根。

1q则以上补充推论说X是可逆的，并且有唯一的逆转形式（见推论中形式）。由逆转形式可以看出：对1?t??，如果给定了X,X??(L)X??(L)(1?L)dX????(L)utt0t?t?t,?（到t?1无穷远过去）的值，则也给定了u,u,?（到无穷远过去）的值。tt?1但是反之不然，因为序列

?Xt?不

能被模型

?(L)(1?L)dX????(L)u唯一确定。当时间原点在t时，记条件期

t0t望

?。 E(?):?E??X,X,?(到无穷远过去）tt?1??t?? 我们首先介绍ARIMA(p,d,q)过程的递推预测方法。记

??(x)??(x)(1?x)d?(1??x????xp)(1?x)d1p

?1???x?????xp?d1p?d为p?d次多项式。将原模型

??(L)X??(L)(1?L)dX????(L)u

tt0t改写为

X?????X????X?u??u????ut01t?1p?dt?p?dt1t?1qt?q。

设时间原点在1?t??。对任何l?1，在

?????X????Xt?l01t?l?1p?dt?l?p?d

?u??u????ut?l1t?l?1qt?l?q式中各项取条件期望E(?)，并利用u的独立性而得到提前l期的最小

ttX均方误差“近似预测”的递推公式

y?y,y,?,y~N(?y,?2)2?t?T，

01t?1tt?1且 yy?0~N(0,?2)10

所以得到条件的似然函数

L(?,?2;y,?,yy?0)?f(yy,?,y;?,?2)T?11T0T1?f(yy,y,?,y;?,?2)?f(yy?0;?,?2)，

T?112T?210?T2??1T??22????2???exp???(yt??yt?1)?2????2?t?1???lnL(?,?2)?lnL(?,?2)2?0，其中y?0。解，得到?,?的条件?00????2最大似然估计

T?yt?1ytT2?1?y)2（其中y?0）??T?(y????t?2 ?， ?。

tt?10T2t?1y?t?1t?2-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2?,?我们以Y?0为条件，使用最小二乘法估计。那就是要最小

0化条件的误差平方和函数

T2TS(?)??u??(y??y)2。

ttt?1t?2t?2dS(?)?0，得到?的最小二乘估计解

d?T?yt?1yt?相等）??t?2 ? （与条件的最大似然估计?。

T2?yt?1t?2然后取?2的最小二乘估计

S(?)1T2。 2???(y??y)?tt?1自由度T?2t?2

◆ 复习线性统计模型及其最小二乘估计

设有线性模型Y?Xβ?e，其中

?y??1?Y????为观察值向量，已知的非随机的设计矩阵 n?1??y?n?????1?????为未知参数向量，（n?m）列满秩， βX??x???m?1?n?m?ij??????m??e??1?2?为随机误差向量。则β的最小二乘估计使

e????~IID?0,???n?1????e?n?得误差平方和

e2?Y?Xβ2?(Y?Xβ)T(Y?Xβ)

最小化，它由

??(XTX)?1XTY β给出，它具有性质：

?)?β；（1）无偏性E(β?,β?)??2(XTX)?1；（2）协方差阵cov(β2SSE2???（3）?，SSE?Y?Xβ为残差平方和；

n?m?~N(β,?2(XTX)?1)，（4）若进一步有e~N(0,?2I)，则βn?1n?与SSE相互独立。 SSE?2~?2(n?m)，并且β想要检验H0:?:?αTβ??0对双边备择假设H1:αβ??0，其中

Tα?(?1,?,?m)T和实数?已知。构造T统计量 0T?????0????????SSE?20?0?n?mSSE22d2??d， n?m?2d2????0?)?ar(?V??:?αTβ?，其中??)??2αT(XTX)?1α:??2d2， Var(??):???ar(??2d2。 V当H0为真时，T~t(n?m)。如果|T|?t?2(n?m)，则在检验水平?上拒

绝H0，而接受H1。

我们现在继续讨论AR(1)过程的单位根检验。回忆前面得出了?的（条件的）最小二乘估计。现在用线性模型的架构表述估计过程。我们的线性模型为

Y??Y?u

TT?1T?y??y?2???1?其中Y????为观察值向量，Y????为随机向量的设计矩

T??T?1??yy?T??T?1??u??2?阵，?为单个未知参数，u????为随机误差向量。?的最小二乘估

T???u??T?计使得误差平方和

uT2T?Y??Y??(y??y)2:?S(?)

TT?1tt?1t?22最小化，它等于

T?yt?1yt??(YTY。 ?)?1YTY?t?2T?1T?1T?1TT2?yt?1t?2根据一般线性统计模型的理论，检验H0:??1 的T比值统计量定义为

?????1??ar(??)V???1??2d2?，

其中

?T2?2T?1d?(YY)???y?T?1T?1t?1???t?2??1，

TSSE2?1?y)2。 ????(T?2)?(y??tt?1(T?1)?1t?21?1（教材第90页最后一行中的写错了，原著中为(T?2)）。

T?1?y??1?但是，由于现在的设计矩阵Y????是随机向量的，不是确定

T?1??y?T?1?性的，所以当H0:??1为真时，统计量??并不精确地服从t(T?2)分布，

它的渐近分布由以下定理给出。

补充定理1 当对模型(a)的H0:??1为真时，则有

1?2?W(1)?1?d??T??。 ??1)?2?（1）T(?1W2(r)dr?01?2d?W(1)?1?????2?（2）?1W2(r)dr?0T??。

（教材第91页（3.11b）式中极限分布写错了）。

W(r),r?0,W(0)?0?是标准的布朗运动（或称维纳过程）其中?。

??1)和??的分布、以及它们的渐近分布都定理1（1）-（2）中T(???1)和??的是非标准分布。Dickey用Monte-Carlo 模拟方法计算了T(?

Y?0.164?0.9247Y?u,t?1,2,?tt?1t， (0.037)?ar(???0.9247的标准差，即V?)?0.037。目（0.037）表示估计???的是检验

H:??1同时??0 对 H:??1。

001?统计量进行检验，其样本值为????0.9247?1??2.035。对我们用??0.037?的累积分布的临样本数T?100，在下尾概率0.1，0.05，0.01上，??????2.035界值分别是-2.58，-2.89，-3.51，见教材附表2情况二。由于?比这三个临界值都大，所以在检验水平??10%，5%，1%上都不能拒绝零假设H:??1同时??0。从而强烈地认为Y是不带漂移的随机游

00t走。

第三种情况。考虑有线性趋势的模型 Y?(???t)?X,t01t其中Y?0，而X是AR(1)过程

0tt?1,2,?，（模型(c1)）

X??X?u,t?1,2,?，u~IIDN(0,?2)。

ttt?1t为了便于估计模型参数，我们把单位根分离出来作为一个系数，把模

型改写为

Y????t??Yt0?u,t?1t（模型(c2)） t?1,2,?。

事实上，

Y????t??X?ut01t?1t????t??[Y????(t?1)]?u01t?101t。 ?[?(1??)???]??(1??)t??Y?u011t?1t:????t??Y?u0t?1t给定样本y,y,?,y。我们对模型(c2) 检验

12T零假设 H:??1同时??0

0对备择假设H:??1同时??0

1,1或对备择假设H1,2:??1。