初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型

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专题复习（六）——图形操作问题

题型概述

操作题是当今中考命题的热点，在今后仍是大趋势，是数形结合的拓展和深化，它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养，对于这类问题的解答，首先要求大家积极的参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效提高解答操作试题的能力。 题型例析

类型1：网格与画图

结合图形找准关键性格点，需要对网格有深刻理解，同时结合相关几何知识画出图形。 【例题】（2015?浙江丽水，第19题6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.

【答案】解：（1）作图如下：

（2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°. ∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37°

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∴∠CAD=∠BAC?∠BAD=16°.

【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质. 【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段

AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.

（2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出∠

BAD，从而作差求得∠CAD的度数.

【变式练习】

（2015·山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N； 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F； 第三步，连接DE、DF．

若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.

分析：根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出

=

，代入求出即可．

解答：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线， ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD，

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∴DE∥AC， 同理DF∥AE，

∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4，

∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴

=

，

∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴=

，

∴BE=8， 故选D．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.

类型2：折叠与翻转问题

折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换，把握住这些常识性的知识点再来解题就很容易了。 【例题】（2015?江苏泰州,第16题3分）如图， 矩形

中，AB=8，BC=6，P为AD上

一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.

【答案】4.8. 【解析】

试题分析：由折叠的性质得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，

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得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可. 试题解析：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8 根据题意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中

∴△ODP≌△OEG ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP

设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x， ∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x 根据勾股定理得：BC+CG=BG 即：6+（8-x）=（x+2） 解得：x=4.8 ∴AP=4.8.

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.

【变式练习】

（2015?四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E

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2

2

2

2

2

2

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为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．【来源：21cnj*y.co*m】

考点：翻折变换（折叠问题）

分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2

，所以EF=

．

解答：∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，

∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3， ∴DC=2EF，AB=5， 作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴四边形ADCH为矩形，

∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1， 在Rt△ABH中，AH=∴EF=

．

．

=2

，

故答案为：

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

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类型3：分割与拼接

解决此类问题时要关注分割和拼接过程中所产生的结果，再灵活运用相关的几何知识解决问题。

【例题】（2015?江苏镇江，第23题，6分）图①是我们常见的地砖上的图案，

其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．21世纪教育网版权所有

（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；21·世纪*教育网

（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于

考点： 正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．

分析： （1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；21cnjy.com

（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD==

3=135°得到

的长

．

，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．

解答： （1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，

（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOD=∵OA=5，

3=135°，

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∴的长=，

设这个圆锥底面圆的半径为R， ∴2πR=∴R=

，

．

，即这个圆锥底面圆的半径为

．

故答案为：

点评： 本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．

【变式练习】

（2015?浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则

CD=_______________________________

【答案】2?3或4?23. 【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用. 【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°. 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形： 如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H， 易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.

1xx2设BN=DN=，则NH=.

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1x?x?2?x?2根据题意，得2，∴BN=DN=2， NH=1.

易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在Rt?BCN中，CN=3. ∴CD=2?3.

如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H， 易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°.

1xx2设BC=CE =，则BH=.

1x?x?2?x?2根据题意，得2，∴BC=CE =2， BH=1.

在Rt?BCH中，CH=3，∴EH=2?3.

CD2CDBC??2?3. ?BCD∽?EHBHBEH，即1易证，∴

CD?∴

22?3?2?3??2?3????4?23.

综上所述，CD=2?3或4?23.

类型4：“学具”操作型

这属于实际学习用具操作问题，解题的重要方式是实际操作，即在解题的时候用三角板或其它学具进行了实际操作。这种试题考查了学生的实际动手能力。2-1-c-n-j-y

【例题】（2015?宜昌，第11题3分）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠

在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ） 21*cnjy*com

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A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形 C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm

考点：切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算 专题：应用题

分析：由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．【版权所有：21教育】

解答：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点， ∴OA⊥CA，OB⊥BC， 又∵∠C=90°，OA=OB， ∴四边形AOBC是正方形， ∴OA=AC=4，故A，B正确； ∴

的长度为：

=2π，故C错误；

=4π，故D正确．

2

S扇形OAB=故选C．

点评：本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．

【变式练习】

（2015?浙江省绍兴市，第13题，5分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是

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考点：等边三角形的判定与性质．. 专题：应用题．

分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 解答：解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 故答案为：18

点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．

跟踪检测：

1. （2015?怀化，第19题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2

（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，求出劣弧

的长l．

2. （2015?昆明第17题，6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），

B（1，1），C（4，3）．21教育网

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

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（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；

（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．

3. （2015·湖北省随州市，第22题8分）如图，射线PA切⊙O于点A，连接

PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；21*cnjy*com

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求

的长．

4. （2015?广东东莞21，7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD

的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．

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（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；

（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．

3. （2015·湖北省随州市，第22题8分）如图，射线PA切⊙O于点A，连接

PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；21*cnjy*com

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求

的长．

4. （2015?广东东莞21，7分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD

的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zy3.html