阶段测试卷第六章

第六章 不 等 式 (时间：120分钟 满分：150分)

一、 选择题(每小题5分，共60分)

1. 已知集合M＝{y|y＝2x，x>0}，N＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则M∩N等于(A)

A. (1，2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)

集合M为函数y＝2x，x>0的值域，故M＝(1，＋∞)；集合N为函

数y＝lg(2x－x2)的定义域，由不等式2x－x2>0，解得0

2. 在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，11

能推出<成立的有(C)

ab

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11b－a <成立，即<0成立，逐个验证可得①②④满足题意． abab3. (2013·济南调研)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(B)

A. n>m>p B. m>p>n C. m>n>p D. p>m>n

∵a>1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，∴由

对数函数的单调性可知loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>p>n.

4. 已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(D) A. a<－或a>1 5B. －

5

C. －

5D. －

5

a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，3333

由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－

35

5

3

x≥1，??

5. (2013·北京海淀测试)不等式组?x＋y－4≤0， 表示面积为1的直角三角

??kx－y≤0形区域，则k的值为(D)

A. －2 B. －1 C. 0 D. 1

注意到直线kx－y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表

示的平面区域，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，选D.

6. 已知圆x2＋y2＋4x－8y＋1＝0关于直线2ax－by＋8＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(D)

ab

A. 4 B. 6 C. 8 D. 9

由圆的对称性可得，直线2ax－by＋8＝0必过圆心(－2，4)，∴a＋b

824（a＋b）a＋b4ba＝2.∴＋＝＋＝＋＋5≥2

abababa2＝4b2，又由

4

2

4ba4ba

·＋5＝9，由＝，得abab

8

2

a＋b＝2，故当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D.

33

2－x－1，x≤0，??

7. 设函数f(x)＝?1 若f(x0)>1，则x0的取值范围是

??x2，x>0，A. (－1，1) B. (－1，＋∞)

C. (－∞，－1)∪(1，＋∞) D. (－∞，－2)∪(0，＋∞)

(C)

x0 >0，????x0≤0，

由f(x0)>1，可得? 或?1解得x0<－1或x0>1，故

??2－x0－1>1?x0>1，

?2

选C.

8. 已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(A)

mn

1

4

aman

A. B. 2325

C. D. 不存在

6

由题意可知，a5q2＝a5q＋2a5，化简得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍

去)或q＝2，又由已知条件

m＋n－2aman＝4a1，得 a1qm－1·a1qn－1＝16a21，q

35

?14?m＋n1??4＝16＝2，∴m＋n＝6.∴＋＝?＋?·＝

mnmn66??

1

4

1??

≥·?5＋ 26?

?4mn???＋?·?5＋

nm??

4mn4mn??3

＝，即n＝2m时取“＝”． ×＝，当且仅当2nmnm??

x＋2y≥2，??

9. (2013·河北质检)已知变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4，则目标函数

??4x－y≥－1，z＝3|x|＋|y－3|的取值范围是(A)

?3??3?

????

A. ?，9? B. ?－，6? ?2??2?C. [－2，3] D. [1，6]

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点

?1?

??

分别为(0，1)，(2，0)，?，3?，且x≥0, y≤3.则z＝3|x|＋|y－3|＝3x－(y－3)

?2??1?33??

＝3x－y＋3，它在点(2，0)处有最大值9，在点?，3?处有最小值，即≤z≤9.

22?2?

x－y＋2≥0，??

10. (2013·临沂质检)已知实数x，y满足不等式组?x＋y－4≥0，若目标函

??2x－y－5≤0，数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为(D)

A. (－∞，－1) B. (0，1) C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)

本题考查线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域△BCD，由z＝

y－ax得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知a＞kBD，∵kBD＝1，∴a＞1，即a的取值范围为(1，＋∞)，故选D.

11. 已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab＝1，a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为(A)

A. 1＋2

2 B.

3 C. 3 D. 4

2，因此ab＋bc＋ac＝1＋c(a＋b)≤1＋2y2

2

依题意，4－c2＝a2＋b2≥2ab＝2，0＜c2≤2，c2(a＋b)2＝c2(6－c2)

＝－(c2－3)2＋9≤8，c(a＋b)≤2(当且仅当a＝b＝1，c＝

2时等号成立)，故选A.

的最小值为(C) xz

?11??x9z?

＝?＋＋6?≥4?zx?4

12. 设x，y，z为正实数，且满足x－2y＋3z＝0，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

由已知条件得y＝

?

?×?2?

x＋3z2

，∴

y2xz＝

x2＋9z2＋6xz

4xz

?y2x9z?

×＋6?＝3，当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.

xzzx?

二、 填空题(每小题5分，共20分)

13. 若a1

＋a2b2>a1b2＋a2b1__．

作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a1

b10，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

x≥－1，??

14. (2013·湖北八校联考)已知变量x，y满足约束条件?x－y≤1，则z＝x

??|x＋y|≤1，＋2y的最小值为__－2__．

作出可行域，如图阴影部分所示，由图可知，z＝x＋2y在(0，－1)处

取得最小值－2.

15. 设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1，则x－y的最大值是__2__．

设t＝x－y，则y＝x－t，代入x2＋y2＋xy＝1中，得3x2－3tx＋t2－

1＝0，由于x为实数，故Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，即t2≤4，解得－2≤t≤2，故t的最大值，即x－y的最大值为2.

16. 已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数??

?23?

x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，则不等式f?x－x?＜0的解集

2??

?1???为__?－∞，－?∪(2，＋∞)__．

2??

∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，???23?

则f(1)＝0.又(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上单调递减，∵f?x－x?＜0

2??

?3?31??2＝f(1)，∴x2－x＞1，解得x＜－或x＞2，∴不等式 f?x－x?＜0的解集为

2?22?

?1???－∞，－??∪(2，＋∞)． 2??

三、 解答题(共70分)

17. (10分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(1)如图，设矩形的另一边长为a m．则

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，(2分)

360

由题意得xa＝360，得a＝.(3分)

x3602

∴y＝225x＋－360(x>0)．(5分)

x3602

(2)∵x>0，∴225x＋≥2

x

225×3602＝10 800，(7分)

36023602

∴y＝225x＋－360≥10 440，当且仅当225x＝时，等号成立，(9

xx分)

即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(10分)

18. (10分)已知函数f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx. (1)若k＝2，求方程f(x)＝0的解；

(2)若关于x的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明＋<4.

x1x2

(1)当k＝2时，f(x)＝|x2－1|＋x2＋2x， ①当x2－1≥0，即x≥1或x≤－1时， 方程化为2x2＋2x－1＝0， 解得x＝

－1±

2

3，

3

.(2分)

1

1

－1＋∵0<

2

1

3－1－<1，故舍去，∴x＝

2

②当x2－1<0，即－1

2

由①②可知，当k＝2时，方程f(x)＝0的解为x＝(2)不妨设0

－1－

2

3

1

或x＝－.(4分)

2

2??2x＋kx－1，|x|>1，

∵f(x)＝? ∴f(x)在(0，1]上是单调函数，

??kx＋1，|x|≤1，

故f(x)＝0在(0，1]上至多有一个解．(6分)

1

若1

2因此0

由f(x1)＝0得k＝－，∴k≤－1；

x1

由f(x2)＝0得k＝－2x2，∴－

x22

故当－

2当0

x1消去k得

2x1x22－x1－x2＝0，即1

1

＋＝2x2，

x1x21

1

1

7

1

7

1

∵x2<2，∴＋<4.(10分)

x1x2

19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：

研制成本与搭载费用之和(万元/件) 产品重量(千克/件) 预计收益(万元/件) 最大收益是多少？

设搭载x件产品A，y件产品B，预计总收益z＝80x＋60y，

产品A(件) 20 10 80 产品B(件) 30 5 60 计划最大资金额300万元 最大搭载重量110千克 试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，20x＋30y≤300，??

则?10x＋5y≤110， 作出可行域，如图．(6分) ??x∈N，y∈N，

作出直线l0：4x＋3y＝0并平移，由图像得，当直线经过M点时z能取得???2x＋3y＝30，?x＝9，

最大值，由?解得?即M(9，4)．

???2x＋y＝22，?y＝4，

∴zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．(10分)

即应搭载9件产品A，4件产品B，可使得总预计收益最大，为 960万元．(12分)

20. (12分)已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．

若a＝0，原不等式为一次不等式可化为－x－1<0，显然它对于任意

的x不都成立．∴a＝0不符合题目要求．(3分)

若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，∴对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式Δ<0，

??a<0， ①即? (6分)

2??（a－1）－4a（a－1）<0. ②

1

2整理②，得3a－2a－1>0，解得a<－或a>1.(8分)

3a<0，??1∴?1 ∴a<－.(10分)

3a<－或a>1.?3?

?1???∴a的取值范围是?－∞，－?.(12分)

3??

21. (12分)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．

(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆

5

2

沙棘树苗用时小时，应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？

2

(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用22

时仍为小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽

53调 6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．

(1)设A组人数为x，且0

150×

560

则A组活动所需时间f(x)＝＝；(1分)

xx

1200×252－x

100

1

B组活动所需时间g(x)＝＝

.(2分) 52－x

6010039

令f(x)＝g(x)，即＝，解得x＝. x52－x2∴两组同时开始的植树活动所需时间

??x，x≤19，x∈N，

F(x)＝?(4分)

100

，x≥20，x∈N，?52－x?

*

*

60

6025

而F(19)＝，F(20)＝，故F(19)>F(20)．

198

∴当A，B两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短． (6分) 2

150×－20×1527

(2)A组所需时间为1＋＝(h)，(8分)

20－672

200×－32×1

311

B组所需时间为1＋＝(h)，(10分)

32＋63112727

∵<，∴植树活动所持续的时间为 h．(12分) 377

22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：

①对于任意x∈(0，1)，总有f(x)>0； ②f(1)＝1；

③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数；

(2)若对于任意x∈[0，1]，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a的取值范围；

?12n???(3)比较f?2＋3＋…＋n＋1?与1的大小，并给予证明．

2??22

(1)设0≤x10，

即f(x2)>f(x1)．故f(x)在[0，1]上是增函数．(4分)

(2)由(1)知f(x)在x∈[0，1]上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，∴1－f(x)≥0， 当f(x)＝1时，容易验证不等式成立；当f(x)<1时，则 4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0?a≤成立，(6分)

4f2（x）－8f（x）＋51

设y＝＝1－f(x)＋≥1，从而则 a≤1，

4－4f（x）4[1－f（x）]综上，a的取值范围为(－∞，1]．(8分) (3)令Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，则 222212

Sn＝3＋4＋5＋…＋n＋2，(10分) 2222

1

2

3

n

1

2

3

n

4f2（x）－8f（x）＋5

4－4f（x）

对 x∈[0，1]恒

11111n

∴Sn＝2＋3＋4＋…＋n＋1－n＋2， 222222

∴Sn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝1－n－n＋1<1.

2222222?12n???∴f?2＋3＋…＋n＋1?<1.(14分)

2??22

1

1

1

1

n

1

n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zy0g.html