概率论与数理统计试题A卷及答案

成绩 郑州轻工业学院

概率论与数理统计试题 A卷

2007-2008学年 第二学期 2008.06

注：本试卷参考数据 ?(1)?0.8413 ?(0.1)?0.5398 ?(0.5)?0.6915 z0.01?2.326 t0.01(8)?2.8965 t0.01(9)?2.8213 一、填空题（每空3分，共18分）

1. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.6，事件A，B至少有一个发生的概率为0.9，则事件A，B同时发生的概率为____________

2. 设随机向量（X，Y）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为取其余数组的概率均为0，则c=__________

3. 设随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则关于y的方程y?Xy?1?0无实根的概率为_______________.

4. 若X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则Z?X?Y服从______________

21115,,,,2cc4c4c?(??1)x?,0?x?1,5. 设总体X的概率密度为f(x;?)??，X1,X2?,Xn为来自总体X

0,其他?的一个样本，则待估参数?（??-1）的最大似然估计量为_____________.

6. 当?已知，正态总体均值?的置信度为1??的置信区间为（样本容量为n）___________

2二、选择题（每题3分，共18分）

1. 对任意事件A与B，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A）P(A|B)?P(A),(P(B)?0) （B）P(A?B)?P(A)?P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B|A),(P(A)?0) （D）P(AB)?P(A)P(B) 2. 设随机变量X~B(n,p)且期望和方差分别为E(X)?2.4,D(X)?0.48，则----（ ）

1

(A) n?8,p?0.3 (B) n?6,p?0.4 (C) n?3,p?0.4 （D） n?3,p?0.8 3. 设随机变量X的分布函数为FX（x），则Y?X?4的分布函数FY（y）为-------------( ) 211(A) FX(y)?2 (B) FX(y?2)

22(C) FX(2y)?4 （D）FX(2y?4)

4. 若随机变量X和Y的相关系数?XY?0，则下列错误的是---------------------------------（ ） (A) X,Y必相互独立 (B) 必有E(XY)?E(X)E(Y) (C) X,Y必不相关 （D） 必有D(X?Y)?D(X)?D(Y) 5. 总体X~N(0,1)，X1,X2?,Xn为来自总体X的一个样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（ ） (A) nX~N(0,n) (B)

nX~t(n?1) S(C)

122X~N(0,) （D） X~?(n)?ini?126. 设随机变量Xk(k?1,2?)相互独立,具有同一分布, EXk?0,DXK??,k?1,2,? ，

n则当n很大时，

?Xk?1k的近似分布是--------------------------------------------------------（ ）

(A) N(0,n?) (B) N(0,?) (C) N(0,?/n)

222

(D) N(0,?/n)

22三、解答题（共64分）

1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的

发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？

2. （本题10分）设随机变量X具有概率密度

?Ke?3x,x?0 f(x)??0,x?0?

2

(1) 试确定常数K；

(2) 求X的概率分布函数F（x）；

(3) 求P{?1?X?1}.

3. （本题10分）随机变量X的分布律如下表 X pk 0 1 2 3 1111 8824求E(X),E(4X?1),E(X2),D(X),D(4X?1) 4.（本题10分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0f(x,y)??2

?0,其他?求X和Y的边缘概率密度并判断X和Y是否独立？

?5. （本题8分）某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X~N(?,?),?未知，

22?100，

现随机取100只这种灯管，以X记这一样本的均值，求均值X与?的偏差小于1的概率. 6. （本题10分）设X~U(0,b),b?0未知. X1,X2?,Xn为来自总体X的一个样本，求b的矩估计量.今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估

计值.

7. （本题6分）自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值. 算得样本均值为8.3 ，标准差为0.025 .设样本来自正态总体X~N(?,?),?,?均未知.试依据这一样本取显著性水平??0.01检验假设H0:??8.42,22??8.42.

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概率论与数理统计试题 A卷参考答案

2007-2008学年 第二学期 2008.06

一、填空题（每空3分，共18分）

1. 0 2. 3 3. 1/5 4. N(0,2) 5. ?1?n?lnxi?1n

i6. (X??nz?/2)

二、选择题（每题3分，共18分）

1~6 C D D A B A

三、解答题（共64分）

1. 解：B?{能发芽, ,} Ai?{取的是第i等品}i?1,2,3易见A1,A2,A3,A4是?的一个划分----------------------------------------------------------------2分

P(A1)?0.2,P(A2)?0.7，P(A3)?0.1

P(B|A1)?0.9,P(B|A2)?0.7，P(B|A3)?0.3-----------------------------------------------5分

由全概率公式，得

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.2?0.9?0.7?0.7?0.1?0.3?0.7 ------------------------8分

i?14P(A2|B)?P(B|A2)P(A2)0.49??0.7------------------------------------10分

P(B)0.74

2. (1) 由于即

?????f(x)dx?1，-------------------------------------------------------------------------1分

???????f(x)dx??Ke?3xdx?01???3xK?3x??KKed(?3x)?e|0??1 ?0?3?33得K?3.--------------------------------------------------------------------------------------------------4分

于是X的概率密度

?3e?3x,x?0；--------------------------------------------------------------------5分 f(x)??x?0?0, (2) F(x)??x???0,x?0------------------------------------------8分 f(x)dx???3x1?e,x?0??3 (3) P{?1?X?1}=F(1)?F(?1)?1?e. --------------------------------------------10分

11117?1??2??3?? 248889 E(4X?1)?

212111152222 E(X)?0??1??2??3??

24888154971??D(X)?E(X2)?[E(X)]2? 8646471D(4X?1)?16?D(X)?．---------------------------------------------------------------10分

4?1?x?x?e,x?0,-----------------------------------------------------------------------4分

4. fX(x)??2?0,x?0??1?y?y?e,y?0,-----------------------------------------------------------------------8分

fY(y)??2?0,y?0?3. E(X)?0?显然fX(x)fY(y)?f(x,y)，故X和Y不相互独立---------------------------------------------10分 5. P{|X??|?1}-

?1X??1??}?/n?/n?/n ?2?(1)?1?0.6826?P{ ---------------------------------------------------------7分

?1?,x?(0,b)，b?06. f(x)??b--------------------------------------------------------------------1分

?0,其他?

5

b19?1?E(x)?, A1??Xi--------------------------------------------------------------------5分

29i?1??由?1?A1，可得b2X------------------------------------------------------------------------------8分 9??2x?2?7.6?1.689---------------------------------------------------------------------------10分 b997. 要检验假设H0:??8.42,??8.42.

??x??0???t0.01(8)??2.8965?,------------3分

s/n?这是个左边检验问题，其拒绝域为?t?现在t?x??0s/n??14.4??2.8965,----------------------------------------------------------5分

所以在显著性水平??0.01下拒绝H0，即认为含铜量的百分比小于8.42.-----------7分

6

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