2011高考数学知识点易错梳理

高中数学知识易错点梳理

一、集合、简易逻辑、函数

1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已

知集合A={x,xy,lgxy},集合 B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=

2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集

合M={y｜y=x2 ,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2 ,x∈R},N={(x,y)｜y=x2+1,x∈R}求M∩N的区别。 3． 集合 A、B，A?B??时，你是否注意到“极端”情况：AA?B??或B??；

求集合的子集

?a?2?x2时是否忘记

?. 例如：

?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，求a的取植范围，你讨

论了a＝2的情况了吗？

4． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、

非空真子集的个数依次为2{1}?M?{1,2,3,4}的集合

n，2n?1， 2n?1， 2n?2.如满足条件

M共有多少个

5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,

每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}

- 1 -

7． (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；

A?B?B?B?A；

8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p、q形式的复合命题的真值表:

p 真 真 假 假 9、

命题的四种形式及其相互关系 原命题 若p则q 逆命题 若q则p q 真 假 真 假 P且q 真 假 假 假 P或q 真 真 真 假 互 逆

否命题 若﹃ｐ则﹃q 互 逆否命题互 若﹃ｑ则﹃ｐ 互 为 互

否 逆 逆 否

否 否 否 否 否 互 逆

- 2 -

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数

y?f?x?对于一切

x?R，都有f?a?x??f?a?x?或f

对称.

（2a-x）=f（x），那么函数y ②函数y 函数y 函数y?f?x?的图象关于直线x?a?f?x?与函数y?f??x?的图象关于直线x?0对称；

?f?x?与函数y??f?x?的图象关于直线y?0对称；

?f?x?与函数y??f??x?的图象关于坐标原点对称.

?f?x?在区间?0,?? ③若奇函数y???上是递增函数，则y?f?x?在区间

?,0?上也是递增函数．

?f?x?在区间?0,?? ④若偶函数y???上是递增函数，则y?f?x?在区间

?,0?上是递减函数．

?f?x?a?(a?0) ⑤函数y的图象是把函数y?f?x?a??f?x?的图象沿x轴向左

平移a个单位得到的；函数yy?f?x?的图象沿

((a?0)的图象是把函数

x轴向右平移

a个单位得到的；

?f?x?助图象沿

函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数yy轴向上平

?f?x?助

移a个单位得到的;函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y图象沿y轴向下平移a个单位得到的.

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

- 3 -

13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=是 ；

x(4?x)lg(x?3)2的定义域

复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是[0,1],求f(log定义域. 函数f(x)的定义域是[a,b],b??a?0, 求函数F(x)?义域

0.5x)的

f(x)?f(?x)的定

14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数

y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值为m, 求m的表达

15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则

①若a∈A,则a=f-1 [f(a)]; 若b∈C,则b=f[f-1 (b)]; ②若p∈C,求f-1 (p)就是令p=f(x),求x.(x∈A) 即f?a???1b?f?b??a.互为

反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,

16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数y??a,a?上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y?f?1?f?x?在区间

?x?也单调递增；

但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．

17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;

18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 19、 你知道函数y和?a,???x?ax?a?0?的单调区间吗？（该函数在??,?a,0?a??上单调递增；在???和?0,a?上单调递减）这可是一个

- 4 -

应用广泛的函数！

20、 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 21、 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（logab?loglogccba,loganbn?logab）

loga22、 你还记得对数恒等式吗？（a23、 “实系数一元二次方程“??b2b?b）

有实数解”转化为

ax2?bx?c?0，你是否注意到必须a?0?4ac?0”

?b2；当a=0时，“方程有解”

不能转化为??4ac?0．若原题中没有指出是“二次”方程、函

数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 二、三角、不等式

24、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使

用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？

26、 在三角中，你知道1等于什么吗？（1?sin ?tanx?cotx?tan2x?cos2x?sec2x?tan2x

?4?sin?2?cos0???这些统称为1的代换) 常数

“1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，

- 5 -

倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 27、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如

??(???)??,??(???)??,

???2????????????????2??2??等）

28、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 29、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次

）；

你

还

记

得

降

幂

公

式

吗

？

cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （sin15??cos75??6?42,sin75??cos15??6?42,sin18??5?14）

31、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l??r,S扇形?12lr)

x?bcosx?a232、 辅助角公式：asin?b2sin?x???ba?(其中?角所在的象

限由a, b 的符号确定，?角的值由tan?时起着重要作用.

确定)在求最值、化简

33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？（别忘了k?Z）

三角函数性质要记牢。函数y=Asin(?振幅|A|，周期T=

2??x??)?k的图象及性质：

?, 若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取到

- 6 -

最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为——————————， 当

??0,A?0时函数的增区间为时要利用诱导公式将?变

————— ，减区间为—————；当?为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令?x??依次为0?2,?,3?2,2??0 求出x与y，依点?x,y?作图

34、 三角函数图像变换还记得吗？ 平移公式 （1）如果点 P（x，y）按向量ay

'???h,k? 平移至P′（x′，

′），则

??x?x?h, ?'??y?y?k.（2） 曲线f（x，y）=0沿向量ay-k）=0

???h,k?平移后的方程为f（x-h，

35、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式

36、 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是??0,????2?,[0,?2],[0,?].

②直线的倾斜角、l到l的角、l与l的夹角的取值范围依次是

1212[0,?),[0,?),(0,?2]．

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

[??2,?2],[0,?],(??2,?2)．

- 7 -

37、 同向不等式能相减，相除吗？

38、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 39、 分式不等式

f?x?g?x??a?a?0?的一般解题思路是什么？（移项通分，

分子分母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）

40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）

41、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)

42、 利用重要不等式a?b?2?a?b?ab 以及变式ab????2??2等求函数的最

值时，你是否注意到a，b?R（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等) 43、

a2?b22?a?b2?ab?2aba?b2 , (a , b?R )?(当且仅当a?b?c时，取等（当且仅当a?b?c时，

号）； a、b、c?R，a取等号）；

?b2?c2?ab?bc?ca44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0?a?1或a?1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式

的解集是??．

45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

- 8 -

三、数列

47、 等差数列中的重要性质：（1）若m?n（2）数列{a2n?1}, {a2n?p?q，则am?an?ap?aq；

}, {kan?b}仍成等差数列；Sn , S2n?Sn , S3n?S2n仍成等差数列（3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为

3113d、a-d、a+d、a+d； a-2222（4）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 >0,d<0,解不等式组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值时的n的值;（5）．若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则abanmm?S2m?1T2m?1。.（6）.

n若{a}是等差数列，则{a}是等比数列，若{a}是等比数列且ann?0，

则{logaan}是等差数列.

?p?q48、 等比数列中的重要性质：（1）若m?n（2）S，Sk2k，则am?an?ap?aq；

?Sk，S3k?S2k成等比数列

49、 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（q?1时，Sn?na1；q?1时，Sn?a1(1?q)1?qn）

50、 等比数列的一个求和公式：设等比数列?a?的前n项和为S，公

nn比为q, 则

Sm?n?Sm?qmSn．

nnn51、 等差数列的一个性质：设S是数列?a?的前n项和，?a?为等差数列的充要条件是

- 9 -

Sn?an2?bn （a, b为常数）其公差是2a.

n52、 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cnnn?anbn，

其中?a?是等差数列，?b?是等比数列，求?c?的前n项的和） 53、 用an?Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到a1n(n?1)?1n?1n?11?S1了吗？

54、 你还记得裂项求和吗？（如四、排列组合、二项式定理

.）

55、 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

56、 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？

57、 排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：

Pnm?m！?Cmn

m组合数性质：C=Cnn?mn C+Cmnm?1n=Cmn?1 ?r?0nCnr=2

nCrr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cnrr?1n?1

n二项式定理： (a?b)?Cna0?Cnar1n?1b?Cnabr2n?2b2???Cnarn?rbr???Cnbnn

二项展开式的通项公式：T五、立体几何

r?1?Cnan?r(r?0，1，2?，n)

58、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?面⊥面，垂直常用向量来证。

- 10 -

??2cos?a,b??a1b1?a2b2?a3b3a1?a2?a322

2b1?b2?b322?a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,???R?

???a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

设A=?x则AB

?1,y1,z1?, B=?x2,y2,z2??,

?x1,y2?y1,z2?z1?

2??OB?OA????x2,y2,z2?- ?x1,y1,z1?=?x2?AB?AB?AB??x2?x1??2?y2?y1???z2?z1?2

八、导数

93、 导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。

94、 几个重要函数的导数：①C导数的四运算法则????'?0',（C为常数）②?x?n'?nxn?1?n?Q?

?'????'

95、 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带上等号。 96、

f(x)f?(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的非充分非必要条件，

在x0处取得极值的充分要条件是什么？ 97、 利用导数求最值的步骤：（1）求导数的根x1f'?x?（2）求方程

f'?x?=0

,x2,?,xn

（3）计算极值及端点函数值的大小

（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值.

98、 求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。告诉函数的极值这一条件，相当于给出

- 16 -

了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值。 九、概率统计

99、 有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。 1）若事件A、B为互斥事件,则

P（A+B）=P（A）+P（B） （2）若事件A、B为相互独立事件,则

P（A·B）=P（A）·P（B） （3）若事件A、B为对立事件,则

P（A）+P（B）=1 一般地,p?A??1?P?A?

（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率 P?K??Cnknpk?1?p?n?k

100、 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率

- 17 -

相等。

101、 用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。 十、解题方法和技巧

102、 总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。

103、 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等) 104、 解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形） 105、 解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、答）

106、 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系． 107、 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．

108、 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．

109、 学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一

- 18 -

问就直接用第一问的结论即可，要学会用“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。

- 19 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zxn2.html