江苏省扬大附中东部分校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年江苏省扬大附中东部分校高一（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={﹣1，1}，则A∪B=．

2．（5分）已知U=[0，1]，A=[0，1），则 UA=．

3．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为．

4．（5分）已知函数f（x）=x，定义域为[﹣2，1]，值域为．

5．（5分）若xlog23=1，则3的值为．

6．（5分）已知f（x）=

7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x﹣2x，则f（x）的单调递增区间是．

8．（5分）幂函数f（x）的图象过点（，3），若函数g（x）=f（x）+1在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是．

9．（5分）已知a=log1.10.9，b=1.1，c=log0.70.9，则这三个数从小到大排列为．

10．（5分）设x0是方程9﹣x=2的解，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则k=．

11．（5分）函数f（x）=lg（x+ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是．

12．（5分）已知函数f（x）=x+2014，则不等式f＜f（a）的解集是．

13．（5分）已知函数是．

14．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）

2

在区间[m，n]上的最大值为2，则n+m=．

22x0.9

2

x2

，则f（0）=．

为增函数，则实数a的取值范围

二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

15．（14分）已知集合A={a+2，2a+a}，若3∈A，求实数a的值． 16．（14分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}． （1）分别求：A∩B，A∪（ RB）；

（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围． 17．（14分）计算： （1）（2）

18．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为

，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2

．

；

如图所示．

（1）求函数y1、y2的解析式；

（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

19．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），当x∈（0，1）时，

．

（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式；

（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之． 20．（16分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a （）+（），

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

x

x

2014-2015学年江苏省扬大附中东部分校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={﹣1，1}，则A∪．

考点： 并集及其运算． 专题： 集合．

分析： 根据两集合并集的感念进行求解即可．

解答： 解：集合A={1，2，3}，B={﹣1，1}，则A∪B={﹣1，1，2，3} 故答案为：{﹣1，1，2，3}

点评： 本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．

2．（5分）已知U=[0，1]，A=[0，1），则 U

考点： 补集及其运算． 专题： 计算题．

分析： 找出全集U中不属于A的部分，即可求出A的补集． 解答： 解：∵U=[0，1]，A=[0，1）， ∴ UA={1}． 故答案为：{1}

点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

3．（5分）函数f（x）=+lg（x+1

考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由对数函数y=logax的定义域为（0，+∞）与分式有意义的条件是分母不为零可列不等式组解之．

解答： 解：数

y=+lg（x+1）有意义需满足x+1＞0且x≠0， ∴函数

y=+lg（x+1）的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．

故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．

点评： 本题主要考查对数函数的定义域，同时考查了分式有意义的条件．

4．（5分）已知函数f（x）=x，定义域为[﹣2，1]，值域为[0，4]．

考点： 函数的值域．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 先根据二次的对称轴及开口方向及对称轴，观察函数在给定区间上的单调性及最值点即可求得原函数的值域．

2

解答： 解：∵函数f（x）=x﹣x+1的对称轴是：x=0，且开口向上，

2

∴函数f（x）=x在定义域[﹣2，1]上的最大值为：yx=﹣2=4， 最小值为：yx=0=0， 故答案为：[0，4]．

点评： 本题考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基本题．

5．（5分）若xlog23=1，则3的值为2．

考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题．

x

分析： 利用对数性质，求出x的值，然后求解3的值． 解答： 解：xlog23=1，所以x=log32，

2

x

所以3=

x

=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查指数与对数的基本性质的应用，考查计算能力．

6．（5分）已知f（x）=

，则f（0）

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由分段函数的性质得f（0）=f（4）=f（8）=f（12）=12﹣3=9．

解答： 解：∵f（x）=，

∴f（0）=f（4）=f（8）=f（12）=12﹣3=9． 故答案为：9．

点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．

7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x﹣2x，则f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

2

分析： 当x＜0时，﹣x＞0，结合当x≥0时，f（x）=x﹣2x，可求出当x＜0时f（x）的解析式，进而得到f（x）在R上的解析式，结合二次函数的图象和性质，分别求出当x≥0时和当x＜0时f（x）的单调递增区间，最后综合讨论结果可得f（x）的单调递增区间． 解答： 解：当x＜0时，﹣x＞0，

2

由当x≥0时，f（x）=x﹣2x，

22

∴f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x， 又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣2x， ∴

2

2

2

∵f（x）=x﹣2x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线， 故当x≥0时，f（x）在（1，+∞）为增函数．

2

又∵f（x）=﹣x﹣2x的图象是开口朝下，且以直线x=﹣1为对称轴的抛物线， 故当x＜0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）为增函数． ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）

点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，利用函数奇偶性的性质求函数的解析式，熟练掌握函数奇偶性的定义及性质，是解答的关键． 8．（5分）幂函数f（x）的图象过点（，3），若函数g（x）=f（x）+1在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是[﹣2，0]．

考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用幂函数的定义可得f（x）=x，函数g（x）=f（x）+1=x+1．再利用二次函数的单调性与值域即可得出．

α

解答： 解：设幂函数f（x）=x（α为常数）． ∵幂函数f（x）的图象过点（，3）， ∴

2

22

，解得α=2．

∴f（x）=x．

2

∴函数g（x）=f（x）+1=x+1．

∴g（x）在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增． 而f（0）=1，f（2）=f（﹣2）=5．

又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]， ∴﹣2≤m≤0．

∴实数m的取值范围是﹣2≤m≤0． 故答案为：[﹣2，0]．

点评： 本题考查了幂函数的定义、二次函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．（5分）已知a=log1.10.9，b=1.1，c=log0.70.9，则这三个数从小到大排列为．

0.9

考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

0.9

解答： 解：∵a=log1.10.9＜0，b=1.1＞1，c=log0.70.9＜log0.70.7=1， ∴a＜c＜b．

故答案为：a＜c＜b．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

10．（5分）设x0是方程9﹣x=2的解，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则．

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

x

分析： 由题意可得2x0+x0﹣9=0．令f（x）=2+x﹣9=0，由f（2）＜0， f（3）＞0，可得x0∈（2，3）．可得k的值．

x

解答： 解：∵x0为方程9﹣x=2的解，∴2x0+x0﹣9=0．

x

令f（x）=2+x﹣9=0，∵f（2）=﹣3＜0，f（3）=2＞0，∴x0∈（2，3）． 再根据x0∈（k，k+1）（k∈Z），可得k=2， 故答案为：2．

点评： 本题主要考查函数零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，属于中档题．

11．（5分）函数f（x）=lg（x+ax+1）的值域为R，则实数a

考点： 对数函数的值域与最值． 专题： 函数的性质及应用．

x

2

分析： 由题意可以令g（x）=x+ax+1，由题意函数的值域为R，则可得g（x）可以取所有的正数可得，△≥0，解不等式即可求解．

2

解答： 解：∵函数f（x）=lg（x+ax+1）的值域为R，

2

∴真数部分g（x）=x+ax+1可以取所有的正数，

2

∴△≥0，可得a﹣4≥0， 解得a≥2或a≤﹣2，

实数a的取值范围是a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）； 故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

点评： 本题主要考查了由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，解题时容易误认为△＜0，要注意区别与函数的定义域为R的限制条件；

12．（5分）已知函数f（x）=x+2014，则不等式f＜f（a）的解集是

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 利用已知解析式将不等式f＜f（a）用a表示，解之．

2222

解答： 解：因为函数f（x）=x+2014，则不等式f＜f（a）为2015+2014＜a+2014，即20152

＜a，解得a＞2015或a＜﹣2015； 故答案为：{a|a＞2015或a＜﹣2015}．

2

2

点评： 本题考查了一元二次不等式的解法；也可以利用函数是偶函数的性质解答．

13．（5分）已知函数

为增函数，则实数a的取值范围

是﹣1≤a＜3．

考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据分段函数单调性的定义可知，必须保证每个函数单调递增，且当x=1时，f（1）≥0，解不等式即可．

解答： 解：∵当x＜1时，函数f（x）=﹣（x﹣1）为增函数，且此时f（x）＜0． ∴要使f（x）在R上是增函数，则当x≥1时，f（x）=（3﹣a）x+4a，为增函数， 且此时函数f（x）的最小值f（1）≥0，（如图） 即

，

2

即，

∴，解得﹣1≤a＜3．

故答案为：﹣1≤a＜3．

点评： 本题主要考查分段函数的单调性的性质的应用，分段函数递增要求每个函数都必须满足单调递增，且在端点处数值大小也存在相应的大小关系．

14．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n]上的最大值为2，则

n+m=．

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题．

2

分析： 先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关

2

系，再由“若f（x）在区间[m，n]上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．

解答： 解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n）， ∴mn=1

∵若f（x）在区间[m，n]上的最大值为2

2

∴|log2m|=2 ∵m＜n， ∴

m= ∴n=2 ∴n+m= 故答案为：

点评： 本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

15．（14分）已知集合A={a+2，2a+a}，若3∈A，求实数a的值．

考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题．

2

分析： 通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．直接

2

解答： 解：因为3∈A，所以a+2=3或2a+a=3…（2分） 当a+2=3时，a=1，…（5分）

此时A={3，3}，不合条件舍去，…（7分）

2

当2a+a=3时，a=1（舍去）或由故

，得…（14分）

2

，…（10分）

，成立 …（12分）

点评： 本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力． 16．（14分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}． （1）分别求：A∩B，A∪（ RB）；

（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．

考点： 交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题．

分析： （1）由A与B求出A与B的交集，由全集U求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；

（2）根据C为B的子集，由C与B列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

解答： 解：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R， ∴A∩B=（2，6）， RB=（﹣∞，2]∪[9，+∞）， 则A∪（ RB）=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；

（2）∵C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B， ∴列得

，

解得：2≤a≤8，

则实数a的取值范围是[2，8]．

点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合关系中的参数取值问题，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 17．（14分）计算： （1）（2）

．

；

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 专题： 计算题．

分析： （1）化带分数为假分数，化小数为分数，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值； （2）首先对以5为底数的对数进行运算，把以2为底数的对数的真数化为分数指数幂，然后利用对数的运算性质化简求值．

解答： 解：（1）

===； （2）

====3+1 =4．

点评： 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．

18．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为如图所示．

（1）求函数y1、y2的解析式；

（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2

考点： 根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的

方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式； （2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4﹣x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值． 解答： 解：（1）由题意分） 又由题意

得

，

（x≥0）…（7分） ，解得

，

…（4

（不写定义域扣一分）

（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元 由（1）得令

，则有

，（0≤x≤4）…（10分）

=

，

，

当t=2即x=3时，y取最大值1．

答：该商场所获利润的最大值为1万元．…（14分） （不答扣一分）

点评： 本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．

19．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），当x∈（0，1）时，

．

（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式；

（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，利用已知表达式求出f（﹣x），再由奇函数的性质可求f（x），f（0）=0，从而可得f（x）的解析式；

（2）任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，比较f（x2）与f（x1）的大小，若f（x2）＞f（x1），则为增函数，若f（x2）＜f（x1），则为减函数． 解答： 解：（1）设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1， 故

又f（x）为奇函数，所以

，

，

由于奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），所以f（0）=0，

所以，f（x）=．

（2）解：f（x）在（0，1）上单调递增． 证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2， 则

因为y=2在x∈R上递增，且0＜x1＜x2， 所以

，

x

，

因此f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， 故f（x）在（0，1）上单调递增．

点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，定义是解决有关问题的基本方法． 20．（16分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a （）+（），

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；

x

x

（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数的值域． 专题： 新定义；函数的性质及应用．

分析： （1）当a=1时，

，则

．再根据g（t）的值域为（3，+∞），故不存在常

数M＞0，使|f（x）|≤M成立，从而得出结论．

（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，即﹣4 2﹣[0，+∞）上恒成立．再利用单调性求出﹣4 2﹣值，从而得到a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1+则f（x）=g（t）=t+t+1=

2

x

x

≤a≤2 2﹣

x

x

在的最小

的最大值和2 2﹣

+，，

+．

∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），

即f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（3，+∞）， 故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上不是有界函数． （2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立． ∴﹣3≤f（x）≤3，﹣4﹣∴﹣4 2﹣∴﹣4 2﹣

x

xx

≤a

x

≤2﹣，

≤a≤2 2﹣在[0，+∞）上恒成立，

x

的最大值小于或等于a，且a小于或等于2 2﹣的最小值．

设 2=t，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，由x∈[0，+∞） 得 t≥1．

设1≤t1＜t2，∵h（t1）﹣h（t2）=

＞0，

p（t1）﹣p（t2）=

＜0，

所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，

h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1， ∴﹣5≤a≤1，

所以，实数a的取值范围为[﹣5，1]．

点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zx01.html