陕西省西安中学2019届高三上学期第四次质量检测数学（理）试题（试验班）Word版含答案

陕西省西安中学2019届高三上学期第四次质量检测

数学（理）试题（试验班）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A??y|y?lgx?，B?x|y?1?x，则AB等于

A.?0,1? B．?0,1?

??C．?1,??? D．???,1?

2．已知命题p:“?x?0,3x?1”的否定是“?x?0,3x?1”，命题q:“a??2”是“函数f(x)?ax?3在区间??1,2?上存在零点”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是

A．p?q

B．p??q

C．?p?q

D．?p??q

3．由曲线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。

34?4．若z?sin???(cos??)i是纯虚数，则tan(??)的值为（ ）

55411 A. ?7 B.? C.7 D.?7或?

771（x）5. 若函数f(x)的反函数为f?，则函数f(x?1)与f?1(x?1)的图像可能是（ ）

y2 1 2 1 y2 1 y2 1 yO 1 2 x O 1 2 x

O 1 2 x O 1 2 x

A B C D

6．若向量a，b满足|a|?1，|b|?2，且a?(a?b)，则a与b的夹角为（ ）

?2?3?5? B． C． D． 23467．在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3?A．

?a7，则k?（ ）

A．22 B．23 C．24 D．25

8．已知P是△ABC所在平面内一点，PB?PC?2PA?0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）

1A．

41B．

3C．

1 2D．

2 39．若函数f?x??kx?Inx在区间?1,???单调递增，则k的取值范围是（ ）

A．???,?2? B. ???,?1? C . ?2,??? D .?1,???

10．已知两点A(1,0),B(1,3),O为坐标原点，点C在第二象限，且?AOC?120?，设

OC??2OA??OB,(??R),则?等于 （ ）

A．?1 B．2 C．1 D．?2

311．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(?x)?f(x)，f(?2)??3，数列?an?满足

2a1??1，且Sn?2an?n，（其中Sn为?an?的前n项和）。则f(a5)?f(a6)?（ ）

A．3 B．?2 C．?3

D．2

?2x?1(x?0)12 .已知函数f(x)? ?，把函数g(x)?f(x)?x?1的零点按从小到大的顺序排

f(x?1)?1(x?0)?列成一个数列，记该数列的前n项和为Sn，则S10=（ ）

A.45 B.55 C.29?1 D.210?1

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上． 13. 设数列?an?的前n项的和为sn，且a1?1,an?1?3Sn?n?1,2,????，则log2S4等于________． 14. f?x??x?x?c?在x?2处有极大值，则常数c的值为_________．

15．函数f(x)?sinx?cosx(x?R)的图像向右平移了m个单位后，得到函数y?f?(x)的图像，其中：m??0,2??则m的值是________．

16．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）求证：

（Ⅰ）已知a,b,c?R，求证：a2?b2?c2≥ab?bc?ca

2（Ⅱ）若a?0，b?0，且a?b?1，求证：?≥4．

?x＝－4＋cos t，?x＝8cos θ，

18．（本题10分）已知曲线C1：?(t为参数)，C2：?

?y＝3＋sin t?y＝3sin θ

(θ为参数)．

（Ⅰ）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

π

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t＝2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：?x＝3＋2t，?(t为参数)距离的最小值． ?y＝－2＋t

19. （本题1 2 分）

在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，点(a,b)在直线x(sinA?sinB)?ysinB?csinC上. （Ⅰ）求角C的值； （Ⅱ）若

20. （本题12 分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的

3概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行

51a1b

，求ΔABC的面积.

测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； ．．．．（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

?nTT?2?2a(n?N). 21. （本题12 分）设数列?an?的前项积为，且 nnn．．．

?1?（Ⅰ）求证数列??是等差数列；

?Tn?（Ⅱ）设bn?(1?an)(1?an?1)，求数列?bn?的前n项和Sn．

22．（本题14分）已知函数f(x)?ax2?ln(x?1)． （Ⅰ）当a??时，求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当x?[0,??)时，函数y?f(x)图像上的点都在?的取值范围．

248)(1?)(1?)?（Ⅲ）求证：(1?2?33?55?92n?[1?n?1]?e（其中n?N*，e是自然对数的底n(2?1)(2?1)?x?0,所表示的平面区域内，求实数a

y?x?0?14数）．

陕西省西安中学2019届高三上学期第四次质量检测

数学（理）试题（试验班）参考答案

一．选择题：

DCDAA CACDC AA

二．填空题： 13．6 14. 6

15.

3? 2216. (?2,)

3三．解答题：本大题共6小题，共75分

17．（Ⅰ）已知a,b,c?R，求证：a2?b2?c2≥ab?bc?ca （Ⅱ）若a?0，b?0，且a?b?1，求证：?≥4．

证明：（I）由(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?0，展开，化简，可得。 （II）18．

1111baab??(?)(a?b)?2???2?2?＝4 abababba1a1b

19.解：（I）由题得

a?sinA?sinB??bsinB?csinC

，

22abc22a?b?c2?ab. ??由正弦定理得a?a?b??b?c，即sinAsinBsinCa2?b2?c21?， 由余弦定理得cosC?2ab2结合0?C??,得C??3 （II）由a2?b2?6(a?b)?18得(a?3)2?(b?3)2?0，从而a?b?3. 1?93所以?ABC的面积S??32?sin? 234

20. 解：设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为?15,0,15,30．

21C3C5C155 P(X??15)?3?； P(X?0)?35?；

C1012C10122C1C3515C5P(X?15)?3?； P(X?30)?35?．

C1012C1012乙得分的分布列如下：

X P ?15 1 120 5 1215 5 1230 1 12 EX?155115?(?15?)??0??15??30． 121212122（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B.

3812322则 P(A)?C3， ()()?()3?555125P(B)?511??． 12122441103． ??1252125故甲乙两人至少有一人入选的概率P?1?P(A?B)?1?21. 解:（Ⅰ）

13

? T12

T111? 由题意可得：Tn?2?2n?Tn?Tn?1?2Tn?1?2Tn(n?2)，所以?Tn?1TnTn?12?1?11n?2n?1（Ⅱ）数列??为等差数列，?，an?，（8分）bn?，

T2(n?2)(n?3)n?2Tn?n?111111111Sn?????(?)?(?)??(?)

3?44?5(n?2)?(n?3)3445n?2n?311n ?? ?3n?33n?9

22． （Ⅱ）

因函数f(x)图象上的点都在??x?0,所表示的平面区域内，则当x?[0,??)时，不等式f(x)?x恒

y?x?0?成立，即ax2?ln(x?1)?x?0恒成立，设g(x)?ax2?ln(x?1)?x（x?0），只需g(x)max?0即可．

1x[2ax?(2a?1)]， ?1?x?1x?1?x（ⅰ）当a?0时，g?(x)?，当x?0时，g?(x)?0，函数g(x)在(0,??)上单调递减，故

x?1

g(x)?g(0)?0成立．

1x[2ax?(2a?1)]（ⅱ）当a?0时，由g?(x)??1， ?0，因x?[0,??)，所以x?2ax?111①若?1?0，即a?时，在区间(0,??)上，g?(x)?0，则函数g(x)在(0,??)上单调递增，

2a2g(x)在[0,??)上无最大值（或：当x???时，g(x)???），此时不满足条件；

1111②若?1?0，即0?a?时，函数g(x)在(0,?1)上单调递减，在区间(?1,??)上单调

2a22a2a递增，同样g(x)在[0,??)上无最大值，不满足条件．

x[2ax?(2a?1)]（ⅲ）当a?0时，由g?(x)?，∵x?[0,??)，∴2ax?(2a?1)?0，

x?1∴g?(x)?0，故函数g(x)在[0,??)上单调递减，故g(x)?g(0)?0成立．

由g?(x)?2ax?综上所述，实数a的取值范围是(??,0]．

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a?0时，ln(x?1)?x在[0,??)上恒成立（或另证ln(x?1)?x在区间(?1,??)上恒成立），

2n11又n?1?2(?)， (2?1)(2n?1)2n?1?12n?1248∵ln{(1?)(1?)(1?)?2?33?55?92n?[1?n?1]}

(2?1)(2n?1)2n?ln[1?n?1]

(2?1)(2n?1)248?ln(1?)?ln(1?)?ln(1?)?2?33?55?92482n ?????n?12?33?55?9(2?1)(2n?1)11111111?2[(?)?(?)?(?)??(n?1?n)]

2335592?12?111?2[(?n)]?1，

22?12482n∴(1?)(1?)(1?)??[1?n?1]?e．

2?33?55?9(2?1)(2n?1)

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