2012届高三数学一轮复习：立体几何练习题2

第9章 第2节

一、选择题

1．(文)(2010·枣庄三中)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )

A．80cm3 C．64cm3 [答案] C

1[解析] 该几何体是一个正四棱锥，其高为h＝3cm，所以其体积为V＝×64×3＝64(cm3)．

3(理)(2010·黑龙江哈三中)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，则四棱锥P－ABCD的全面积为( )

B．81cm3 D．48cm3 A．3＋5 C．5 [答案] A

[解析] 画出直观图如图．其中PD＝2，底面正方形边长为1，

B．2＋5 D．4

∵BA⊥AD，PD⊥平面ABCD，∴BA⊥PA， 在Rt△PAD中，PA＝5，

11

∴四棱锥的全面积S＝1×1＋?×2×1?×2＋×5×1×2＝3＋5. ?2?2

2．(2010·全国Ⅱ理)已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A．1 C．2 [答案] C

[解析] 如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则

B.3 D．3

2a＝12－h2， 2

即a2＝2(12－h2)， 122∴V＝×a2×h＝h(12－h2)＝－(h3－12h)， 333令f(h)＝h3－12h，则f ′(h)＝3h2－12(0

21

C. 6A.[答案] D

114π

[解析] 由条件知，点P所在区域是以A为球心，1为半径的球的，故体积V＝×π×13＝，

8836π

又正方体体积为1，∴所求概率P＝. 6

4．(文)(2010·陕西文，8)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

2π 21D.π 6B.

A．2 2C. 3

B．1 1D. 3

[答案] B

[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为 1

V＝×2×1×2＝1. 2

(理)(2010·辽宁锦州)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是(单位：cm3)( )

A．9 C．18 [答案] C

[解析] 观察三视图可知，该几何体是由下、下两个长方体构成直观图如图，上层长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm，下层长方体长、宽、高分别为1cm,3cm,3cm，故其体积为3×3×1＋1×3×3＝18.

B．12 D．24

5．(2010·河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这32π个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是( ) 3A．963 C．243 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆．设底面正三角432π3形的边长为a，球的半径为R，则a＝23R，又πR3＝，∴R＝2，a＝43，于是V＝

334a2·2R＝483. 6．(文)(2010·北京西城区抽检)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( ) A.2∶2 C.5∶2 [答案] C r14rr

[解析] 设圆锥底半径为r，高为h，则球半径R＝，由条件知，πr2h＝π??3，∴h＝，

233?2?2∴圆锥侧面积S1＝πrh2＋r2＝πrr25＋r2＝πr2， 42

B.3∶2 D．3∶2 B．483 D．163 rS15球面面积S2＝4πR2＝4π×??2＝πr2，∴＝.

?2?S22

(理)(2010·吉林省调研)如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是( )

A.C.

3

πa3 63πa3 4

B.3πa3 D．23πa3

[答案] A

[解析] 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，

由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a， 故高h＝2a2－a2＝3a， 113体积V＝×?×πa2×3a?＝πa3. 2?3?67．(文)已知某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：dm)，可得这个几何体的表面积是( ) A.C.

25π

dm2 2

B．9πdm2 D．11πdm2 19

πdm2 2

[答案] A

[解析] 由三视图可知该几何体左、右各是半球和两个圆柱，半球的直径为2，圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，故几何体的表面积由一个球的面积，中间圆柱的侧面积，左右两个圆柱的侧面积和左右两个圆柱与中间圆柱形成的两个圆环面积．

2

∵S球＝4π×??2＝4π，中间圆柱侧面积S1＝π×1×3＝3π，左右两个圆柱的侧面积S2＝

?2?

213π

2×(π×2×1)＝4π，圆环面积S3＝2×?π×??2－π×??2?＝，??2??2??2∴几何体的表面积S＝4π＋3π＋4π3π25π

＋＝dm2. 22

[点评] 解决这类问题的关键是由三视图探求该几何体的形状．本题中的几何体两端是相同大小的半球，还有两个大小相同的圆柱，中间有一个圆柱．值得注意的是：通过观察三视图知道，三个圆柱的底面是和半球的圆面重合或平行的，并且中间圆柱的底面与两端圆柱的底面有一部分重合．只有了解了几何体的结构形状才能保证运算准确．

(理)(2010·北京东城区)如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为( )

A．29cm C．32cm [答案] A

[解析] 如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20－H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h＋20－H，故上面圆柱液面高度为28－(h＋20－H)＝H＋8－h，由两圆柱内液体体积相等得

B．30cm D．48cm

9πH＋π(20－H)＝π(h＋20－H)＋9π(H＋8－h)， ∴h＝9，几何体总高度为20＋9＝29cm.

[点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得空闲部分的体积相等， ∴π×32×(H－28)＝π×12×(H－20)，∴H＝29(cm)，解题过程就简捷多了．

8．(文)(2010·北京文，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积．( )

A．与x，y都有关 B．与x，y都无关 C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关 [答案] C

1[解析] 设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴3点Q到直线EF的距离为定值2，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关、与y无关，故选C. (理)(2010·北京理，8)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD、CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积( )

A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 [答案] D

[解析] 这道题目延续了北京近年高考的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，1

△EFQ的面积永远不变，为矩形A1B1CD面积的(与x，y的值无关)，而当P点变化(即z变

4

化)时，它到平面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化． 二、填空题

9．(2010·广州市)有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为______． [答案]

2

3

142π

[解析] 到点O的距离小于等于1的点组成以O为球心的半球，V半球＝×π×12＝，V

233

2π－圆柱＝π×12×2＝2π，故所求概率p＝2π2π

32＝. 310．(文)(2010·金华十校)球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1各面都相切，则球O的体积为________． [答案]

4π 3[解析] 球O的直径等于正方体的棱长2， ∴R＝1，∴V＝4π4πR3＝. 33(理)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________． [答案]

53π 271

[解析] 阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V＝π×12×33＝3π， 3

4π?3?43π×??3＝， 3?3?273π43π53π

－＝. 32727

球体积V1＝

故所求体积为

11．(2010·北京崇文区)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．

[答案] 24＋23 [解析] 由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高为4，故其表面积S＝2×

3

×22＋2×3×4＝24＋23. 4

12．(文)(2010·皖南八校联考)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积为________． [答案] 4cm3 [解析] 由三视图可知，此几何体为底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD，其中侧棱PA与底面ABCD垂直，其直观图如图，底面的面积为6cm2，此四棱锥的高为h＝2cm，所以此四棱1锥的体积为×6×2＝4cm3. 3

(理)(09·辽宁)某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)． 则该几何体的体积为________m3.

[答案] 4

[解析] 由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如图所示．

∴PF＝2，CE＝3，AB＝4， 11∴V＝×2××3×4＝4(m3)． 32三、解答题 13．(文)(2010·江苏盐城)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点． 求三棱锥C－ADE的体积．

[解析]

PA⊥平面ABCD??

??CD⊥PA

CD?平面ABCD??

CD⊥AD AD∩PA＝A

?

??CD⊥平面PAD. ?

∴CD为三棱锥C－ADE的高，在Rt△PAD中，

111

S△AED＝S△PAD＝××2×4＝2.

222114

VC－ADE＝S△AED·CD＝×2×2＝.

333

(理)(2010·山东文，20)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA， ∴PD⊥平面ABCD，

又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC， ∵ABCD为正方形，∴BC⊥DC. ∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点， ∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.

(2)不妨设MA＝1，∵ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2， 又∵PD⊥平面ABCD，

18

所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. 33由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 112

三棱锥VP－MAB＝×?×1×2?×2＝.

3?2?3所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.

14．(文)(2010·北京顺义一中月考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，AD＝2，SA＝AB＝1.

(1)求证：PD⊥平面SAP； (2)求三棱锥S－APD的体积．

[解析] (1)∵SA⊥平面ABCD，PD?平面ABCD，

∴SA⊥PD，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，P为BC中点， ∴AP⊥PD，∵SA∩AP＝A，∴PD⊥平面SAP. 1111(2)易求AP＝2，PD＝2，∴VS－APD＝S△APD·SA＝××2×2×1＝. 3323(理)(2010·山东曲阜一中)如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求三棱锥C－BGF的体积． [解析] (1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC， 又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF， 又∵BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.

(2)由题意可得，G是AC的中点，连接FG， ∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF，又∵BC＝BE， ∴F是EC的中点，

1

∴在△AEC中，FG∥AE，FG＝AE＝1，

2∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF 1

在Rt△BEC中，BF＝CE＝CF＝2，

21

∴S△BCF＝×2×2＝1，

2

11

∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△BCF·FG＝.

33

15．(文)(2010·合肥市质检)已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.

(1)求证：D′F⊥AP； (2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积． [解析] (1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E， ∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F. (2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形， ∴D′E＝DE＝EF＝2， 2∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP， ∴D′E⊥平面ABCP， 13∵S梯形ABCP＝×(1＋2)×1＝，

2212∴VD′－ABCP＝×D′E×S梯形ABCP＝.

34

(理)如图(1)，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如(2)．

(1)求四棱锥D－ABCE的体积； (2)求证：AD⊥平面BDE.

[解析] (1)取AE的中点O，由题意知，

AB＝2AD＝2a，ED＝EC， ∴AD＝DE，∴DO⊥AE， 又∵平面ADE⊥平面ABCE， ∴DO⊥平面ABCE. 在等腰Rt△ADE中，AD＝DE＝a，DO＝13又S梯形ABCE＝(a＋2a)a＝a2， 2211322∴VD－ABCE＝S梯形ABCE·DO＝·a2·a＝a3. 33224(2)连结BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a， 2a， 2 ∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB， 由(1)知，DO⊥平面ABCE， ∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O ∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD， 又∵AD⊥DE，∴AD⊥平面BDE.

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