备战2019中考初中数学六大题型专项突破(二)分类讨论型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破

专题二:分类讨论型问题

【方法指导】

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

分类讨论型问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解。对于因为存在一些不确定因素而无法解答或者结论不能统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或者若干个局部问题来解决。问题类型主要有：由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论；由特殊的三角形形状不确定性引起的讨论，由直线与圆的位置不确定性引起的讨论。 【典例解析】

类型一： 因计算化简运用法则、定理和原理的限制引起的讨论 【例1】

类型二： 由特殊三角形的形状不确定性引起的讨论

【例2】（2018东营）（9.00分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角． （1）求sinA的值；

（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sinA﹣16=0，解得sinA=

2

；

（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；

当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三

角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长． 【解答】解：（1）根据题意得△=25sinA﹣16=0， ∴sin2A=∴sinA=

， 或

，

2

∵∠A为锐角， ∴sinA=

；

（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根， 则△≥0，

∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0， ∴﹣（k﹣2）2≥0， ∴（k﹣2）2≤0， 又∵（k﹣2）2≥0， ∴k=2，

把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0， 解得y1=y2=5，

∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况：

当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5 ∵sinA=

，

∴AD=3，BD=4∴DC=2， ∴BC=

．

；

∴△ABC的周长为

当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5， ∵sinA=

，

∴A D=DC=3， ∴AC=6．

∴△ABC的周长为16，

综合以上讨论可知：△ABC的周长为

或16．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形． 类型三： 由直线与圆的位置不确定性引起的讨论

【例3】（2018上海）（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）

A．5＜OB＜9

B．4＜OB＜9

C．3＜OB＜7

D．2＜OB＜7

【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．

【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD， ∴AD⊥OP，

∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4，

当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1， ∵BC=3，

∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；

当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9，

∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，

故选：A．

类型四： 由方程或函数的不确定而引起的讨论

【例4】（2018?内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：

（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}= ﹣6}=3，则x的取值范围为

；

，如果max{3，5﹣3x，2x

（2）如果2?M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值； （3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．

【分析】（1）根据定义写出sin45°，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，可得不等式组：则

，可得结论；

（2）根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，x+4≤2时，②2是中间的数时，x+2≤2≤x+4，③2最小时，x+2≥2，分别解出即可；

（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，根据M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论． 【解答】解：（1）∵sin45°=

，cos60°=

，tan60°=

，

∴M{sin45°，cos60°，tan60°}=∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3， 则

，

， ；

，

∴x的取值范围为：故答案为：

，

（2）2?M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}， 分三种情况：①当x+4≤2时，即x≤﹣2， 原等式变为：2（x+4）=2，x=﹣3， ②x+2≤2≤x+4时，即﹣2≤x≤0， 原等式变为：2×2=x+4，x=0， ③当x+2≥2时，即x≥0， 原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0， 综上所述，x的值为﹣3或0；

（3）不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x﹣2，画出图象，如图所示：

结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}=yA=yB， 此时x2=9，解得x=3或﹣3．

【真题热身】

1. （2018哈尔滨）（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ．

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