高中数学必修第一册课后限时训练24 第三章章末检测卷

高中数学第一册课后限时训练+单元检测卷。

高中数学必修第一册课后限时训练24 第三章章末检测卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若幂函数f (x )的图象经过点(14，4)，则f (－2)=( )

A ．12

B ．2

C ．－12

D ．－2 解析：设f (x )=x α(α∈R)，则有(14)α=4，解得α=－1，即f (x )=1x ，于是f (－2)=－12

. 答案：C

2.已知[t ]表示不超过t 的最大整数，例如[1.05]=1，[3]=3，[－2.5]=－3等，则函数f (x )=√1－[x ]的定义域

为( )

A ．(－∞，1]

B ．[0，1]

C ．(－∞，2]

D ．(－∞，2)

解析：依题意应有1－[x ]≥0，所以[x ]≤1，因此x<2，即定义域为(－∞，2).

答案：D

3.若函数f (√2x +1)=x 2－2x ，则f (3)等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解析：因为f (√2x +1)=x 2－2x ，

所以f (√2·2+1)=22－2·2，即f (3)=0.

答案：A

4.函数f (x )=1x －2x 在区间[－2，－12]上的最小值为

( ) A ．1 B ．72

C ．－72

D ．－1 解析：因为f (x )在区间[－2，－12]上单调递减，所以f (x )min =f (－12

)=1－12－2×(－12)=－1. 答案：D

5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

A ．y=x+1

B ．y=－x 2

C ．y=1x

D ．y=x|x|

解析：y=x+1和y=－x 2不是奇函数，y=1x 是奇函数但不是增函数，只有y=x|x|是奇函数且在R 上是增函数.

答案：D

6.已知函数f (x )=(m －1)x 2+2mx+3为偶函数，则f (x )在区间(2，5)内是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．有增有减

D ．增减性不确定

解析：因为f (x )为偶函数，所以m=0，故f (x )=－x 2+3，其图象开口向下，对称轴为y 轴，于是f (x )在区间(2，5)内是减函数.

答案：B

7.函数f (x )=|x －2|·(x －4)的单调递减区间是( )

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A ．[2，+∞)

B ．[3，+∞)

C ．[2，4]

D ．[2，3]

解析：由于f (x )=|x －2|·(x －4)={x 2－6x +8，x ≥2，－x 2+6x －8，x <2，

在坐标系中画出函数f (x )的图象(如图)，则可得函数f (x )的单调递减区间是[2，3].

答案：D

8.若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )=f (x )+g (x )+2在区间(0，+∞)内有最大值8，则在区间(－∞，0)内F (x )有

( )

A ．最小值－8

B ．最大值－8

C ．最小值－6

D ．最小值－4

解析：设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，+∞)，F (－x )=f (－x )+g (－x )+2≤8，且存在x 0∈(0，+∞)使F (x 0)=8. 因为f (x )，g (x )都是奇函数，所以f (－x )+g (－x )=－[f (x )+g (x )]≤6，f (x )+g (x )≥－6，则F (x )=f (x )+g (x )+2≥－4，且存在x 0∈(－∞，0)使F (x 0)=－4.故F (x )在区间(－∞，0)内有最小值－4.

答案：D

9.已知实数a ≠0，函数f (x )={2x +a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，

若f (1－2a )=f (1+a )，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3

解析：当a>0时，1－2a<1，1+a>1，所以由f (1－2a )=f (1+a )，得2(1－2a )+a=－(1+a )－2a ，得a 无解； 当a<0时，1－2a>1，1+a<1，所以由f (1－2a )=f (1+a )，得－(1－2a )－2a=2(1+a )+a ，解得a=－1. 综上可得，a=－1.

答案：A

10.已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意两个实数x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2>0恒成立，则

不等式f (x+3)<0的解集为( )

A ．(－∞，－3)

B ．(4，+∞)

C ．(－∞，1)

D ．(－∞，－4)

解析：函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，由函数f (x －1)的图象向左平移一个单位长度得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象关于点(－1，0)对称；又对于任意的x 1≠x 2，且x 1，x 2∈R 满足不等式f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2>0，则函数f (x )在R 上单调递增，结合图象(图略)可知f (x+3)<0?x+3<－1，则x<－4.

答案：D

11.已知f (x )为R 上的奇函数，g (x )=xf (x )，g (x )在区间(－∞，0)内单调递减.若a=g (0.51.3)，b=g (0.61.3)，c=g (0.71.3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a<b<c

B ．c<b<a

C ．b<a<c

D ．b<c<a

解析：因为f (x )为奇函数，所以g (x )为偶函数.

又因为g (x )在区间(－∞，0)内单调递减，所以在区间(0，+∞)内单调递增.

因为0.51.3<0.61.3<0.71.3，所以g (0.51.3)<g (0.61.3)<g (0.71.3)，即a<b<C ．

答案：A

12.设函数f (x )(x ∈N)表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N)表示x 除以4的余数，对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )=2g (x )；③f (2x )=0；④f (x )+f (x+3)=1，其中正确的个数是( )

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A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：当x 是4的倍数时，可知f (x )=g (x )=0，所以①不正确；

容易得到当x=2时，g (2x )=g (4)=0，而2g (x )=2g (2)=4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；

当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )=0正确；

当x ∈N 时，x 和x+3中必有一个奇数、一个偶数，所以f (x )和f (x+3)中一个为0、一个为1，所以f (x )+f (x+3)=1正确，故正确式子有2个，选C ．

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上)

13.已知函数f (x )=√x －1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B=__________.

解析：易知A=[1，+∞)，B=[0，+∞)，

所以A ∩B=[1，+∞).

答案：[1，+∞)

14.已知函数f (x )={x +2，x ≤－1，－x 2+4x ，x >－1，

若f (m )=－5，则实数m 的值为__________. 解析：若m ≤－1，则由m+2=－5，得m=－7；

若m>－1，则由－m 2+4m=－5，得m=5，

所有实数m 的值为－7或5.

答案：－7或5

15.已知函数f (x )对一切x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )，若f (－3)=a ，则用a 表示f (12)=__________. 解析：令x=y=0，得f (0)=2f (0)，

于是f (0)=0，

所以f (0)=f (3)+f (－3)，得f (3)=－a ，

于是f (6)=2f (3)=－2a ，f (12)=2f (6)=－4A ．

答案：－4a

16.已知投资x 万元，经销甲商品所获得的利润为P=x ；经销乙商品所获得的利润为Q=a √x (a>0).若投资20

万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为__________.

解析：设投资甲商品(20－x )万元，则投资乙商品x 万元(0≤x ≤20).

利润分别为P=20－x 4和Q=a √x 2.

因为当0≤x ≤20时，P+Q=20－x 4+a √x 2≥5恒成立，所以2a √x ≥x.

因为0≤x ≤20，所以a ≥√5，故a 的最小值为√5.

答案：√5

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f (x )={ax －1，x ≥0，1x

，x <0，且f (2)=0. (1)求f (f (0))；

(2)若f (m )=m ，求实数m 的值.

解：(1)由f (2)=0，得2a －1=0，于是a=1.

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因此f (x )={1x －1，x ≥0，1x ，x <0，

所以f (0)=－1，故f (f (0))=f (－1)=－1.

(2)当m ≥0时，由f (m )=m ，

得12m －1=m ，解得m=－2(舍去)；

当m<0时，由f (m )=m ，

得1m =m ，解得m=－1或m=1(舍去)，

故实数m 的值等于－1.

18.(本小题满分12分)已知f (x )=ax 2+b x 是定义在区间(－∞，b －3]∪[b －1，+∞)内的奇函数.

(1)若f (2)=3，求a ，b 的值；

(2)若－1是方程f (x )=0的一个根，求函数f (x )在区间[2，4]上的值域.

解：(1)由f (x )为奇函数，得(b －3)+(b －1)=0，解得b=2.又f (2)=3，得

4a+22=3，解得a=1.故a ，b 的值分别

为1，2.

(2)由条件知，f (－1)=0，

所以a+2=0，因此a=－2.

则f (x )=－2x 2+2=－2x+2. 因为f (x )在区间[2，4]上单调递减，

所以f (x )的最大值为f (2)=－3，最小值为f (4)=－7.5.

故函数f (x )在区间[2，4]上的值域为[－7.5，－3].

19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+2x+c ，若不等式f (x )<0的解集是{x|－4<x<2}.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若函数f (x )在区间[m ，m+2]上的最小值为－5，求实数m 的值.

解：(1)依题意知方程ax 2+2x+c=0的两个根是－4与2，

所以{－4+2=－2a ，－4×2=c a ，解得{a =1，c =－8， 于是f (x )=x 2+2x －8.

(2)f (x )=x 2+2x －8=(x+1)2－9.

当m+2≤－1，即m ≤－3时，f (x )在区间[m ，m+2]上单调递减，所以最小值为f (m+2)，

则f (m+2)=－5，即(m+3)2－9=－5，

解得m=－5(m=－1舍去)；

当m ≥－1时，f (x )在区间[m ，m+2]上单调递增，所以最小值为f (m )，

则f (m )=－5，即(m+1)2－9=－5，

解得m=1(m=－3舍去)；

当m<－1<m+2，即－3<m<－1时，f (x )在区间[m ，m+2]上先单调递减再单调递增，所以最小值为f (－1)=－9，不合题意，舍去.

综上，实数m 的值为－5或1.

20.(本小题满分12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=－(x －2)2+2.

(1)求函数f (x )在R 上的解析式；

(2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；

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(3)若方程f (x )－k=0有四个解，求实数k 的取值范围.

解：(1)若x<0，则－x>0，f (x )=f (－x )=－(－x －2)2+2=－(x+2)2+2，则f (x )={－(x －2)2+2，x ≥0，－(x +2)2+2，x <0.

(2)图象如图所示.

(3)由于方程f (x )－k=0的解就是函数y=f (x )的图象与直线y=k 的交点的横坐标，观察函数y=f (x )图象与直线y=k 的交点情况可知，当－2<k<2时，函数y=f (x )图象与直线y=k 有四个交点，即方程f (x )－k=0有四个解.

21.(本小题满分12分)已知命题p ：f (x )=

x x 2+a 是定义域为R 的奇函数；命题q ：g (x )=mx 2+2x －1在区间[12，+∞)内单调递减.

(1)若a=m ，命题p 是假命题，且q 是真命题，求实数m 的取值范围；

(2)若a=m －3k ，且“命题p 为真”是“命题q 为假”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.

解：若f (x )=x x 2+a 的定义域为R ，必有a>0，且f (x )一定为奇函数，故当命题p 为真命题时，有a>0； 若g (x )=mx 2+2x －1在区间[12，+∞)内单调递减，必有{m <0，－1m ≤12，解得m ≤－2，故当命题q 为真命题时，

m ≤－2.

(1)因为a=m ，且p 是假命题，q 是真命题，

所以{m ≤0，m ≤－2，

从而实数m 的取值范围是(－∞，－2]. (2)“命题p 为真”时，m －3k>0，即m>3k ；“命题q 为假”时，m>－2，因为“命题p 为真”是“命题q 为假”的充分不必要条件，所以3k>－2，解得k>－23，即实数k 的取值范围是(－23，+∞).

22.(本小题满分12分)某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图①，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图②(注：利润与投资量的单位：万元).

图①

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图②

(1)分别将A ，B 两产品的利润表示为投资量的函数解析式；

(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

解：(1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，

依题意可设f (x )=k 1x ，g (x )=k 2√x .

由题图①，得f (1)=0.2，即k 1=0.2=15.

由题图②，得g (4)=1.6，即k 2×√4=1.6，

所以k 2=45.

故f (x )=15x (x ≥0)，g (x )=45√x (x ≥0).

(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入(10－x )万元，企业利润为y 万元，

由(1)得y=f (10－x )+g (x )=－15x+45

√x +2(0≤x ≤10). 因为y=－15x+45√x +2=－15(√x －2)2+145，0≤√x ≤√10，所以当√x =2，即x=4时，y max =145=2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zwbe.html