山东省济宁市汶上县2016届中考数学一模试题（含解析）

山东省济宁市汶上县2016届中考数学一模试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．

2

1．多项式1+2xy﹣3xy的次数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（ ）

6﹣5﹣7﹣6

A．2.5×10 B．0.25×10 C．25×10 D．2.5×10

3．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．40° B．60° C．80° D．100°

4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94

5．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（ ）

A．26° B．64° C．32° D．90°

6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）

A．36π B．60π C．96π D．120π

1

7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

；④AC=AD?AB．其中单独

2

A．1 B．2 C．3 D．4

2

8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）

A．R﹣r=a B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°

2

10．如图是抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

2

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1， 其中正确的是（ ）

2

2

2

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）=0，则

2

2

2

的值是 ．

12．已知m是方程x﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m﹣m+2015的值等于 ．

13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 米．

2

14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分

2

别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．

15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，?叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2?，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，?由此推算a399+a400= ．

三、解答题：本大题共7个小题，共55分

16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代

入求值．

17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）． 月均用水量（单频数 百分比 位：t） 2≤x＜3 2 4% 3≤x＜4 12 24% 4≤x＜5 5≤x＜6 10 20% 6≤x＜7 12% 7≤x＜8 3 6% 8≤x＜9 2 4% （1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．

3

18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

20．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数轴于点H，且tan∠AHO=2． （1）求k的值；

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x

（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4

21．阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形

22

由（x+p）（x+q）=x+（p+q）x+pq得，x+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，

2

例如：将式子x+3x+2分解因式．

22

分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x+3x+2=x+（1+2）x+1×2．

2

解：x+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题

2

（1）分解因式：x+7x﹣18= 启发应用

2

（2）利用因式分解法解方程：x﹣6x+8=0；

2

（3）填空：若x+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ． 22．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

5

2016年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．

2

1．多项式1+2xy﹣3xy的次数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【考点】多项式．

【专题】计算题；整式．

【分析】利用多项式次数的定义判断即可．

2

【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy的次数为3， 故选C

【点评】此题考查了多项式，熟练掌握多项式次数的定义是解本题的关键． 2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（ ）

6﹣5﹣7﹣6

A．2.5×10 B．0.25×10 C．25×10 D．2.5×10 【考点】科学记数法—表示较小的数．

﹣n

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

﹣6

【解答】解：0.000 0025=2.5×10， 故选：D．

﹣n

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．40° B．60° C．80° D．100°

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°． 故选：D．

6

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94 【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．

【解答】解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96， 故众数为：95， 中位数为：94． 故选D．

【点评】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

5．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（ ）

A．26° B．64° C．32° D．90° 【考点】切线的性质．

【分析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据根据直角三角形的性质∠POA的度数，进而根据圆周角定理即可求解． 【解答】解：连接OA． ∴∠PAO=90°，

∵∠O=90°﹣∠P=64°， ∴∠B=∠O=32°． 故选C．

7

【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．

6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）

A．36π B．60π C．96π D．120π

【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．

2

【分析】易得此几何体为圆锥，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径+π×底面半径×母线长．

【解答】解：此几何体为圆锥，底面直径为12，高为8，那么半径为6，母线长为10，

2

∴圆锥的全面积=π×6+π×6×10=96π， 故选C．

【点评】用到的知识点为：圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；圆锥的全面积的计算公式．

7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）

；④AC=AD?AB．其中单独

2

A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】相似三角形的判定．

【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．

8

【解答】解：有三个．

①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确

④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选：C．

【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．

2

8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

2

【分析】根据判别式的意义得到△=2﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．

2

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x+2x﹣2=0有不相等实数根，

2

∴△=2﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，

解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1． 故选：C．

22

【点评】此题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）

A．R﹣r=a B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36° 【考点】正多边形和圆；解直角三角形．

【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，

2

2

2

∴∠BOC=×360°=72°， ∴∠1=∠BOC=×72°=36°， R﹣r=（a）=a， a=Rsin36°， a=2Rsin36°； a=rtan36°，

2

2

2

2

9

a=2rtan36°，

cos36°=， r=Rcos36°，

222

所以，关系式错误的是R﹣r=a． 故选A．

【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．

2

10．如图是抛物线y1=ax+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

2

①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1， 其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1， ∴2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∴b=﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∴abc＜0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

10

∴x=1时，二次函数有最大值，

2

∴方程ax+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；

2

∵抛物线y1=ax+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0） ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选：C．

2

【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y

2

轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b﹣4ac＞0时，抛物线

22

与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）=0，则

2

的值是 ．

【考点】算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再根据算术平方根即可解答．

2

【解答】解：∵|x﹣2|+（y+1）=0， ∴x﹣2=0，y+1=0， ∴x=2，y=﹣1， ∴故答案为：

．

，

【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是先根据非负数的性质求出x，y的值．

22

12．已知m是方程x﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m﹣m+2015的值等于 2016 ． 【考点】一元二次方程的解．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；

2

即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m﹣m+1的值．

22

【解答】解：把x=m代入方程x﹣x﹣1=0可得：m﹣m﹣1=0，

2

即m﹣m=1，

2

∴m﹣m+2015=2015+1=2016； 故答案为：2016．

2

【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．

13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6 米．

11

【考点】相似三角形的应用． 【专题】应用题；压轴题．

【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答． 【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB， 则△ABE∽△CDE，

则，即， 解得：AB=5.6米． 故答案为：5.6．

【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．

14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分

2

别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 3+

．

【考点】二次函数综合题．

【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长． 【解答】解：连接AC，BC，

2

∵抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）， ∴OD的长为3，

2

设y=0，则0=x﹣2x﹣3， 解得：x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴AO=1，BO=3，

∵AB为半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CO⊥AB，

12

∴CO=AO?BO=3， ∴CO=

，

， ．

2

∴CD=CO+OD=3+故答案为：3+

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．

15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，?叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2?，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，?由此推算

5

a399+a400= 1.6×10或160000 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型．

【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论． 【解答】解：∵∴∴

5

；；

．

；；?

故答案为：1.6×10或160000．

【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为

，发现规律是解决本题的关键．

三、解答题：本大题共7个小题，共55分

16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代

入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出x的值代入进行计算即可．

13

【解答】解：原式=?

=?

=﹣，

当x=2时，原式=﹣=﹣．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）． 月均用水量（单频数 百分比 位：t） 2≤x＜3 2 4% 3≤x＜4 12 24% 4≤x＜5 15 30% 5≤x＜6 10 20% 6≤x＜7 6 12% 7≤x＜8 3 6% 8≤x＜9 2 4% （1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解； （2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；

（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．

14

【解答】解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户）， 则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），

则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：

频数 百分比 ×100%=30%．

月均用水量（单位：t） 2≤x＜3 2 4% 3≤x＜4 12 24% 4≤x＜5 15 30% 5≤x＜6 10 20% 6≤x＜7 6 12% 7≤x＜8 3 6% 8≤x＜9 2 4% （2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；

（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．

则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： =．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）

15

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=

AD=2

km．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，

∴AD=OA=2km．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°， ∴BD=AD=2km， ∴AB=

AD=2

km．

km．

即该船航行的距离（即AB的长）为2故该船航行的距离为2

km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

【考点】切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理． 【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；

（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决

16

问题．

【解答】解：（1）连接OD， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°， ∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°， ∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切线；

（2） 连接DE， ∵AE是直径， ∴∠ADE=90°， 又∵∠C=90°， ∴∠ADE=∠C， ∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB， ∴AD：AC=DE：BC 又∵D是AC中点， ∴AD=AC，

∴DE=BC，

∵BC=6，∴DE=3， ∵AD：AE=4：5，

在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x， 那么DE=3x， ∴x=1 ∴AE=5．

【点评】本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．

20．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数轴于点H，且tan∠AHO=2． （1）求k的值；

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x

17

（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；

（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置． 【解答】解：

（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2． ∵tan∠AHO=2，∴OH=1．

∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1． ∵点M在直线y=2x+2上，

∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．

∵点M在y=上， ∴k=1×4=4．

（2）存在．

过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小． ∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上， ∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．

∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1）， ∴N1的坐标为（4，﹣1）． 设直线MN1的解析式为y=kx+b．

由解得k=﹣，b=． ．

∴直线MN1的解析式为令y=0，得x=

．

18

∴P点坐标为（，0）．

【点评】此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等．

21．阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形

22

由（x+p）（x+q）=x+（p+q）x+pq得，x+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，

2

例如：将式子x+3x+2分解因式．

22

分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x+3x+2=x+（1+2）x+1×2．

2

解：x+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题

2

（1）分解因式：x+7x﹣18= （x﹣2）（x+9） 启发应用

2

（2）利用因式分解法解方程：x﹣6x+8=0；

2

（3）填空：若x+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 7或﹣7或2或﹣2 ．

【考点】因式分解-十字相乘法等． 【专题】阅读型；因式分解．

【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）找出所求满足题意p的值即可．

【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）； （2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x=2或x=4；

（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2， 则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2． 故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．

22．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：

19

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；

（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；

（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；

（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=作NP⊥OA于P，如图1所示： 则NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB， ∴即

解得：OP=x，PN=

，

， ，

）；

， =

=5，

∴点N的坐标是（x，

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=∴S=OM?PN=（4﹣x）?

=﹣x+x，

22

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x+x（0＜x＜4）， 配方得：S=﹣（x﹣2）+，

2

20

∵﹣＜0， ∴S有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下： 分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示： 则MN∥AB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB， ∴

，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如图3所示： 则∠ONM=∠OAB，

此时OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA， ∴△OMN∽△OBA， ∴

，

即，

解得：x=；

综上所述：x的值是2秒或

秒．

21

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．

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