华理概率论08-1-A - 答案

华东理工大学2007–2008学年第一学期

《 概率论与数理统计 》课程期末试卷答案 A卷 2008.1

开课学院：理学院 专业： 考试形式：闭卷 所需时间 120 分钟

考生姓名： 学号： 班级 任课教师

题序 一 得分 评卷人 三 二 1 总 分 2 3 4 5 6 一、填空题：(每题4分，共20分)

1．已知事件A与B互不相容，P(A)?0.5，P(B)?0.3，这时P(BA?B)? ?2x2．连续型随机变量X的密度函数为p(x)???03 8x?[0,1],则E(X3?2)＝ 其他2.4 。

3．若?1,?2独立同分布于N(0,1),??3?1?4?2?5，则?的密度函数为

21e?(x?5)/50。 52?4．若随机变量X~E(8),Y~U[0,6]，且X,Y相互独立，令Z?max(X,Y)，则Z0,??1的分布函数FZ(z)? ?(1?e?8z),?6?8z?1?ez?00?z?6 。 z?63265．若(X1,X2,...,X6)来自正态母体N(0,1)的样本，Y?(?Xi)?(?Xi)2，则当

i?1i?4 C= 1 时，CY服从?2分布. 3二、选择题：(每小题4分，共20分)

1. 离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X?xk)=( D )。 （A）P(xk?1?X?xk) （C）P(xk?1?X?xk?1)

（B）F(xk?1)?F(xk?1) （D）F(xk)?F(xk?1)

2. 袋中有8个红球，2个白球，10个人各从中不放回地取一球，问第一个人和

第2个人取得红球的概率各为（ C ）。

87888887（A） , （B）, （C）, （D）,

109109101010103. 若随机变量?,?满足??2??3?0，则?与?的相关系数等于（ A ）。

11（A）-1 （B）? （C） （D）1

224．设X~B(6,0.4)，则由切比雪夫不等式知P(X?2.4?2.4)?（ C ）。 （A） 0.75

（B）0.5

（C）0.25 （D） 0.1

5. 设总体X~N(?,?2),?2未知，样本容量为n，X是样本均值,S2是样本方差，则?的置信度为95%的置信区间为（ D ）。 （A）(X??nt0.975(n?1),X??nt0.975(n?1))

（B）(X??nSnSnt0.95(n?1),X??nSnSnt0.95(n?1))

（C）(X?t0.95(n?1),X?t0.95(n?1))

（D）(X?t0.975(n?1),X?t0.975(n?1))

三、计算题：（共6小题，共计60分）

待用数据（?(2.3263)?0.99,?(1.5)?0.9332,?(2)?0.9772,

22(4)?0.484,?0.05(4)?0.711,?(2.5)?0.9938,，?0.025

2222?0.95(4)?9.488,?0.975(4)?11.143,?0.025(5)?0.831,?0.05(5)?1.145,22?0.95(5)?11.070,?0.975(5)?12.833）

1． （8分）甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有75％ 是甲厂生产的，

有25%是乙厂生产的，甲厂电池的次品率是0.02 ，乙厂电池的次品率是0.04 。现从这批电池中任意取一个， （1）求它是次品的概率；（本小题4分）

（2）现在发现任意取出的一个电池是次品，求它是乙厂生产的概率（本小题4分）

解：设事件 A?{取到次品}，B1?{取到甲厂产品}，B2?{取到乙厂产品}，

P(B1)?0.75，P(B2)?0.25，P(AB1)?0.02，P(AB2)?0.04

（1）P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?0.75?0.02?0.25?0.04?0.025

（4分）

（2）P(B2A)?P(B2)P(AB2)P(A)?0.25?0.04?0.4

0.025（4分）

2．（14分）二维随机变量(?,?)的联合概率密度为

?(x,y)???Axy0?x?1,0?y?1 ，

其它?0求：（1）系数A； （本小题3分）

（2）?,? 的数学期望 E? 和 E? ，方差 D? 和 D? ；（本小题6分） （3）?,? 的协方差 Cov(?,?) 和相关系数 ???（本小题5分） 解：（1）根据规范性 ??11???????????(x,y)dxd?y 100?Axydxdy?1?A?4 （3分）

1121122 （2）E????4xydxdy?，E????4xy2dxdy?

000033111111232 E????4xydxdy?，E????4xy3dxdy?

00002212211 D??E?2?(E?)2??()?,D?? （6分）

231818112244 （3）cov???E???E?E????4x2y2dxdy?????0 （3分）

003399 ???=0 （2分）

3．（8分）已知随机变量(X,Y)的联合概率密度

?1?,x?y?2,x?2,y?2 f(x,y)??2?其他?0，求Z?X?Y的概率密度函数. 解：f(z)??????f(x,z?x)dx （2分）

（1） 当z?20rz?4， f(z)?0 （2分） （2） 当2?z?4时，f(z)??11dx?2?z （3分） z?2222?1?2?z(2?z?4)所以Z?X?Y密度函数为f(z)??2 （1分）

?其他?0

4．（10分） 某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自修的概率为0.1 ，试用中心极限定理计算阅览室要准备多少个座位，才能以99％ 的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位？ 解：设去阅览室自修的人数为?，要准备k个座位；

则?～B(n,p)，n?4900，p?0.1， （2分）

np?4900?0.1?490，npq?4900?0.1?0.9?441?21； （1分） P{0???k}≈?(??(k?npnpq)??(0?npnpq) （2分）

k?4900?490)??() （2分） 2121k?490k?490 ??()??(?23.33)≈?()?0.99 （1分）

2121k?490查表得 ?2.3263 ，k?21?2.3263?490?538.8523≈539 （2分）

21

?1?5．（12分）设总体?的概率密度为 ?(x)?????2e?x22?2?x?0 x?00其中，??0 是未知参数，(X1,X2,?,Xn) 是?的样本，求：

（1）? 的矩法估计；（本小题5分） （2）? 的极大似然估计. （本小题7分） 解：（1）E??? ??2??x22?2??x?(x)dx??????x20??e?dx （2分）

???20e?x22?2x22d(2)?? （2分） 2???解方程 ????X?E??X , 得到矩法估计 ??2 （1分）

(2) 先求似然函数：

?n12?xi2??e2???n??i?1L???(xi)??i?1?0???n?1?x22?i122?i?1?()2en???? ???0???n2xi?0(i?1,2,?,n)

其它minxi?0i （2分）

其它n21当 L?0 时，对 L 取对数，得 lnL??nln??ln()?2?2?2n1dlnL解方程 ???3??d?n2i?xi?1n2i （2分）

1n2xi， （2分） x?0 ，可得?????ni?1i?1?1n2Xi??ni?1X2。 （1分）

因为??0，负根舍去，所以极大似然估计为 ??

6．（8分）已知某种维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(?,0.048)，某日抽取5

2根纤维，测得其纤度为，1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，问这一天纤度的总体方差是否正常(??0.05)？这5个数据在Excel做描述统计得到如下表格：

列1平均标准误差中位数众数标准差方差峰度偏度区域最小值最大值求和观测数最大(1)最小(1)置信度(95.0%)1.4140.0394461661.4#N/A0.0882043080.007780.8630989750.9364213910.231.321.557.0751.551.320.109520114

解：以X表示这一天生产的维尼纶纤度，则X~N(?,0.0482) （1）H0:?2?0.0482,H1:?2?0.0482； （1分） （2）取统计量??22(n?1)Sn?1?02~?2(n?1) （2分）

22(n?1)Sn?1??13.507 （2分） 从表中可知：Sn?1?0.088，算出??2?022（3） 查表得临界值??/2(4)??0.975(4)?11.143 （2分）

（4）因为11.143<13.507, 所以拒绝H0； （1分）

即认为这一天纤度的总体方差不正常.

列1平均标准误差中位数众数标准差方差峰度偏度区域最小值最大值求和观测数最大(1)最小(1)置信度(95.0%)1.4140.0394461661.4#N/A0.0882043080.007780.8630989750.9364213910.231.321.557.0751.551.320.109520114

解：以X表示这一天生产的维尼纶纤度，则X~N(?,0.0482) （1）H0:?2?0.0482,H1:?2?0.0482； （1分） （2）取统计量??22(n?1)Sn?1?02~?2(n?1) （2分）

22(n?1)Sn?1??13.507 （2分） 从表中可知：Sn?1?0.088，算出??2?022（3） 查表得临界值??/2(4)??0.975(4)?11.143 （2分）

（4）因为11.143<13.507, 所以拒绝H0； （1分）

即认为这一天纤度的总体方差不正常.

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