广东省江门市高三12月调研考试数学文试题 Word版含答案

爱爱爱大大的江门市普通高中高三调研测试

数学（文科）试题

第Ⅰ卷

2016.12

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．已知集合

，则集合

中所含元素的个数是

A．16 B．9 C．7 D．5 2．在复平面内，M、N两点对应的复数分别为A．

B．

C．

、

、

，则

D．5

，则

3．已知向量、满足

A．1 B．2 C．4．已知等差数列

满足

D．，

，则

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 5．若A．

， B．

，则

C．

与圆：

D．

的位置关

6．在平面直角坐标系中，直线：系是

A．相离 B．相切 C．直线与圆相交但不经过圆心 D．直线经过圆心 7．已知、 是实数，则“

”是“

”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

8．一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为 A．

B．

C．

D．

9．设函数

，则

A．C．

在在

(，)的最小正周期为，且

单调递减 B．单调递增 D．

在在

单调递减 单调递增

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的10．若、满足约束条件，则的最大值为

A．4 B．6 C．8 D．10

11．已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐近线的距离

，则该双曲线的焦距为

A． B．或 C．或 D．以上都不是

12．对于函数，有如下三个命题：

①②③若

的单调递减区间为的值域为

，则方程

()

内有3个不相等的实根

其中，真命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．已知命题：14．经过点

，的个位数字等于3．则命题的抛物线

的切线方程

： ．

为 ． 15．如图，

在平面

是棱长均为1的正四棱锥，顶点 内的正投影为点，点在平面

内的正投影为点，则 16．已知

．

是偶函数．则：⑴ ；

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的⑵

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在数列

（Ⅰ）设（Ⅱ）求数列

的解集为 ．

中，，

，求证：数列的前项和．

，

是等比数列；

．

18．（本小题满分12分）

如图，在（Ⅰ）若

中，内角

，求；

所对的边分别是，，．

（Ⅱ）若

的面积为，求．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱

，

（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求到

20．（本小题满分12分）

分别是

； 的距离．

中，

的中点．

三条棱两两互相垂直，且

如图，在平面直角坐标系中，椭圆：

房东是个大帅哥 ()的离心率为, 椭

爱爱爱大大的圆的顶点四边形的面积为

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆内一点交于

21．（本小题满分12分）

两点，若

．

的直线与椭圆 ，求直线的方程．

已知函数（Ⅰ）求（Ⅱ）求函数

；

的极值；

(其中，为自然对数的底数，)．

（Ⅲ）是否存在整数，使得

对任意的

，

恒成立 （*）

若存在，写出一个整数，并证明（*）；若不存在，说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分）

某人在静水中游泳的速度为

千米/时，他现在水流速度为千米/时的河中游泳．

（Ⅰ）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （Ⅱ）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

23．（本小题满分10分）

如图，某农场要修建3个形状、大小相同且平行排列的矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？．

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参考答案

一、选择题CDBB ACDB AACC 二、填空题⒔

，的个位数字不等于3（基本表达“

”与“的个位数字不

等于3”各2分，字母一致表达完整1分）

⒕； ⒖

⒗⑴

三、解答题 17.解：⑴

……1分

；……2分 ⑵

……3分(端点各1分，格式1分)

……5分（每个等号1分，其他方法参照给分） 为以1为首项，以4为公比的等比数列……6分 ⑵

，

……8分 ……9分 ……10分

18.解：⑴

，……1分

P F

5???12C 322B ?6sinC?sin?sin(?)?????……3分

126422E 224ac2c?=由正弦定理……4分，得……5分 sinAsinC22?624房东是个大帅哥 D A

爱爱爱大大的解得c?1?3……6分

⑵由已知

解答

……9分

……7分，即……8分

由余弦定理得，b2?a2?c2?2accosB……10分

1?4?9?2?2?3??7……11分，解得b?7……12分

219.解：⑴连接

、，由已知可得

BC?22,CC1?2,C1E?6,AE?2,AC1?22,EF?3,FC1?3……2分 ?FC12=EF2+EC12，AC12=AE2+EC12，……4分

?EF?EC1，AE?EC1，……5分

又EF、AE?面AEF，EF?AE=E，……6分

故

……7分

⑵方法1：由已知得 由（1）知

AF=5，?AF2=EF2+AE2，?EF?AE……8分

，则

设求到的距离为d，由等体积法

VF-AEC1?VC1?FAE……9分

1?11?1??????AE?C1E??d=???AE?EF??C1E……10分 3?23?2??1?11?1??????2?6??d=???2?3??6……11分 3?23?2???d=3，即到

的距离为3．……12分

方法2：C1E?6,AE?2,AF=5，EF?3,FC1?3……8分

?EF+AE=221?EF?AE，……9分?3?+?2?=?5?=AE，?EF+CE==?3?+?6?=3=CF?EF?CE， ……10分

222222222211又C1E、AE?面AEF，C1E?AE=E，?EF?面AEC1，?EF即为点F到面AEC1的距离，……11分

EF=3，即到的距离为3．……12分

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的 20.解：⑴

e?1c2?,a?b2?c2,??1分;?a?2c,b?3c 2a1S顶点四边形=?2a?2b?43,?ab?2c?3c?23,……2分

2?c?1,b?3,a?2,……3分

即椭圆E的标准方程是

⑵设M?x1,y1?,N?x2,y2?,由

x2y2??1……4分 43可知P为MN的中点……5分

当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在x轴上，与P（1，1）矛盾……6分; 故直线l的斜率存在设为k。

x2y2??1得： 方法一：（点差法）把M?x1,y1?,N?x2,y2?代入椭圆的标准方程是 43x12y12x22y22??1，??1，……7分 4343两式相减得

?x1+x2??x1-x2???y1+y2??y1-y2??043，……8分

……9分MN的中点为P?1,1? ，?x1+x2=2，y1+y2=2， 代入得

y-y3x1-x22?y1-y2???0，……10分?k?12??,……11分

x1-x2423即直线l的方程为y?1??3(x?1),即3x+4y-7=0. 4经检验l代入C消元后的方程的??0，符合题意，故直线的方程为3x+4y-7=0. ……12分

方法二：设直线l的方程为y?1?k(x?1),联立方程得

?y?1?k(x?1)?2,……7分 ?xy2??1??43消去y得

?3+4k?x22?8k(1?k)x?4(1?k)2?12?0……8分

MN中点为P（11，）?x1+x2=2， ……9分

在椭圆内部，故??0 ，由韦达定理可得： P（，11）8k(1?k)3?x1+x2=-=2k??,……11分……10分 解得23+4k4

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的即直线l的方程为y?1?? 21.解：⑴

3(x?1),即3x+4y-7=0.……12分 4f'(x)?1f'(e)?lnx?1,……1分 3，

……2分

⑵由⑴知f(x)?x?xlnx，（x>0)，f'(x)?2?lnx，……3分

令f'(x)?2?lnx=0，即lnx=-2,即x=1,……4分 2e?1?,???,f(x)递增，……5分 2e????1?,f(x)递减，……6分 2?e?令f'(x)?2?lnx?0，即lnx>-2,即x??令f'(x)?2?lnx?0，即lnx<-2,即x??0,1?1?11?f(x)极小=f?2??2?2???2???2 ，无极大值。……7分

e?e?ee⑶①当k=1时，命题成立……8分。证明如下：

对任意的，即恒成立

令g(x)?xlnx?1，

1g'(x)?lnx?1,令g'(x)?1?lnx=0，即lnx=-1,即x=,……9分;

e令g'(x)?1?lnx?0，即lnx>-1,即x??,???,g(x)递增，……10分;

?1?e??令g'(x)?1?lnx?0，即lnx<-1,即x??0,?,g(x)递减，……11分;

??1?e?11?1??g(x)min?g(x)极小=g???1????1??1??0……12分;

ee?e?②当k=2时，命题成立……8分。证明如下：

对任意的，即恒成立

令g(x)?xlnx-x?2，g'(x)?lnx,令g'(x)?lnx=0，即x=1,……9分;

令g'(x)?lnx?0，即x??1,???,g(x)递增，……10分;

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的令g'(x)?lnx?0，即x??0,1?,g(x)递减，……11分;

?g(x)min?g(x)极小=g?1??-1?0+2?1?0……12分;

③当k=3时，命题成立……8分。证明如下：

对任意的，即恒成立

令g(x)?xlnx-2x?3，g'(x)?lnx-1,令g'(x)?lnx-1=0，即x=e,……9分

令g'(x)?lnx-1?0，即x??e,???,g(x)递增，……10分;

令g'(x)?lnx-1?0，即x??0,e?,g(x)递减，……11分;

?g(x)min?g(x)极小=g?e??e?2e+3?3?e?0……12分

（说明：k=1,k=2,k=3只要对其中一种都是满分。）

22.解：⑴如图①，由于V实＝V水＋V人，∴|V实|＝

(km／h)……2分

又，∴θ＝60°……4分

∴他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8km／h……5分 ⑵如图②，解直角三角形可得|v实|＝

(km／h)……7分

又……9分

∴他必须沿与水流方向成90°+θ

(锐角θ满足，或，等)

(km／h)……10分

方向航行，实际前进速度的大小为

23.解：设每个鱼塘的宽为x米，且x＞0……1分

则AB=3x+8，AD==30048+

+6，则总面积y=（3x+8）（

+6）……3分

+18x≥30048+2

，即x=

=32448……7分

时，等号成立，此时

=150……9分

当且仅当18x=

即鱼塘的长为150米，宽为

米时，占地面积最少为32448平方米……10分

房东是个大帅哥 爱爱爱大大的

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