质量（1-5 假设检验）

全国质量专业技术人员职业资格考试考前培训

质量专业理论与实务

（中级）

第一章

概率统计基础知识

§5 假设检验

培训教师：章 军

（辽宁大学）

2013

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5.1 基本思想与基本步骤

在上一节一开始，我们就知道，统计推断有两个基本内容：一个是参数估计，另一个就是假设检验（hypothesis testing）。那么什么是假设检验呢？我们先从一个例子讲起。

5.1.1 假设检验问题

【例1.5-1】 某厂生产某种化纤的纤度X服从正态分布N??,0.04?，其中?的设计值为

21.40，每天都要对“??1.40”作例行检查，以观生产是否正常运行。某天从生产线中随

机抽取25根化纤，测得纤度值为：x1，x2，?，x25，其纤度平均值x?1.38，问当日生产是否正常？

【注】仔细分析本题，可以得出如下结论：①这并不是一个参数估计问题；②这里是要求对命题“??1.40”作出回答：是，或者不是。这样的问题在质量管理中普遍存在。在数理统计中，把这类问题称为假设检验问题（hypothesis testing problem）。

5.1.2 假设检验的基本步骤 [掌握]

▲假设检验的基本思想是：根据所获得样本，运用统计分析方法，对总体X的某种假设H0做出接受或拒绝的判断。具体做法分五大步骤，我们结合【例1.5-1】介绍如下：

5.1.2.1 建立假设

★这里所说的假设（hypothesis），就是要做出“是”与“否”回答（即做出“接受”或“拒绝”判断）的一个命题H0。H0这样的假设称为原假设（null hypothesis）。

在上例中，原假设为H0:??1.40。H0的含义是“与设计值一致”，即“当日生产正常”。我们知道，要使当日生产化纤的纤度的均值正好等于1.40而毫无差别是不可能的，若这种差异近视由随机误差引起的，则可认为H0是成立的，应该接受H0（这时称H0为真）；但若差异是由其他特殊因素引起的，则可认为差异显著，即H0不成立，而应该拒绝H0（这时称H0为假）。与原假设H0相反的假设为H1:??1.40。

★H1这样与原假设相反的假设称为备择假设（alternative hypothesis），它是在原假设H0被拒绝时而应接受的假设。

▲由此看来，在假设检验中，“建立假设”这一步要同时建立一对假设（原假设H0和备择假设H1）。比如在上例中，所建立的假设应该是：

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H0:??1.40，H1:??1.40。

其实，与原假设H0:??1.40 “配对”的备择假设还可能有另外两种形式：H1:?＜1.40，或H1:?＞1.40。即我们可以根据不同需要建立3对不同的假设（这里的原假设H0是相同的，所不同之处在于H1）：

?H0:??1.40，H1:??1.40； ?H0:??1.40，H1:?＜1.40； ?H0:??1.40，H1:?＞1.40。

上述3对假设，可以分为两类：?中的假设称为双侧假设（two-sided hypothesis），而?和?中的假设则称为单侧假设（one-sided hypothesis）。分类的依据是看H1（在?中，H1表示

1.40”1.40”1.40”既可以“?＞也可以“?＜，所以是“双侧”；而在?和?中，H1只表示“?＞1.40”其一，所以是“单侧”或“?＜）。按此分类标准，以下也是单侧假设：

?H0:??1.40，H1:?＜1.40； ?H0:??1.40，H1:?＞1.40。

【注】备择假设的形式值得引起重视（后面我们会看到，备择假设形式的不同将会影响到拒绝域的形式）。

▲关于建立假设，还要补充一个在数理统计中约定俗成的规定：原假设中必须有等号，从而在备择假设中绝对不能有等号。

【注】这一规定告诉我们：在原假设H0中必须用“?”、“≤”或“≥”三者之一，而在备择假设H1中必须用“?”、“ ＞”或“＜”三者之一。所以我们在建立假设时要注意规范性。根据实际问题，一定要把带有等号的假设作为原假设。

★另外，若假设是关于总体参数的某个命题，则称之为参数假设检验问题。比如

H0:???0，H1:???0 【双侧假设】

222H0:?2??0，H1:?＞?0 【单侧假设】

H0:p?p0，H1:p＜p0 【单侧假设】

这些都是参数假设检验问题。

【例1.5-1】是检验正态均值?的，所以也属于参数假设检验问题。它的一般形式是

H0:???0，H1:???0。

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5.1.2.2 选择检验统计量，给出拒绝域的形式

由于H0:???0，H1:???0这个假设检验问题涉及正态均值?，因此应选用样本均值

x，而在?已知和原假设H0成立（???0）情况下，由中心极限定理知x~N?0,?2n，

从而有u???x??0~N?0,1?。

?nx??0x??0就是今后要使用的检验统计量（test statistic），u?称u统

?n?n这里的统计量u?计量。

在【例1.5-1】中，检验统计量为u?x??013.8?14.0。 ??n0.0425▲考察检验统计量u?x??0，不难看出：

?nu?x??0?n越小，表明x越接近?0，越应倾向于接受H0；

u?x??0?n越大，表明x越远离?0，越应倾向于拒绝H0。

那么，u要小到什么程度我们才会认为应该接受H0，而u又要大到什么程度我们才会认为应该拒绝H0呢？这时就要确定一个区别接受H0与拒绝H0的临界值（critical value），记其为c。用临界值c可以将样本空间分为两部分：

一部分是满足条件“u＞c”的区域W，称为拒绝域（rejection region），即

W??u＞c?；另一部分则是满足条件“u?c”的区域A，称为接受域（acceptance

region），即A??u?c?。

我们应把注意力放在拒绝域W上。这是因为用一个样本就接受一个命题，在逻辑上来看理由很不充分；但用一个样本去推翻一个命题，理由则是充分的（这就像证明一个命题，有多少个例子都不够充分；而要推翻它，举一个反例就够了）。

5.1.2.3 给出显著性水平α

我们利用样本对一个命题（假设）作出判断，就有可能犯错误，这是不可避免的。我们的任务是控制犯错误的概率。在假设检验中，有可能含两类错误：

★第一类错误是拒真（rejecting true，也称弃真）：原假设H0为真，但由于抽样的随机性，

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样本的检验统计量落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0，其发生概率记为?，即。 P?WH0???。这里?又称显著性水平（significance level）

★第二类错误是取伪（accepting false，也称纳伪）：原假设H0不真（此时H1为真），但由于抽样的随机性，样本的检验统计量落在接受域A内，从而导致接受H0，其发生概率记为

?，即P?AH1???。

▲理论研究表明：在相同样本量下，?小??大；?小??大；?与?都小?增加样本量（不可行）。

折中方案：在适当控制?在制约?。▲常选??0.05，有时也用??0.10或??0.01。 ▲要把第一类错误发生概率控制在?这一显著性水平上，必须满足条件PWH0??，即

??P?u＞c???。最后由此式去确定临界值c。

5.1.2.4 确定临界值c，给出拒绝域W

由于u~N?0,1?，由标准正态分布计算性质及分位数知识可知，

P?u＞c????2?1???c???????c??1?W??u＞u1??2?2?c?u1??2，于是可得拒绝域为

?。

▲由上可知，拒绝域取决于显著性水平?。比如，若选??0.05，则拒绝域为

?。 W??u＞u0.975???u＞1.96

5.1.2.5 判断

▲假设检验的判断原则为：

若样本的检验统计量落入拒绝域W内，则拒绝H0，即接受H1；而若样本的检验统计量未落入拒绝域W内（即落入接受域A内），则接受H0。

在上述问题中，若u＞u1??2，则拒绝H0而接受H1；若u?u1??2，则接受H0。具体的，当选??0.05时，若u＞1.96，则拒绝H0而接受H1；若u?1.96，则接受H0。 比如在【例1.5-1】中，样本的检验统计量u?x??013.8?14.0???2.5，u?2.5＞1.96，

?n0.0425 5

?近似u检验：

H1:p＞p0?W??u＞u1??? H1:p＜p0?W??u＜u?? H1:p?p0?W??u＞u1??2?

上述这些公式请结合我在前面讲的关于拒绝域的“三个规律”去记。 ?还有一点要特别说一下，就是我们可以将参数估计与假设检验联系起来（这里又是在用联

2想思维），即对正态均值?、正态方差?或正态标准差?这些正态总体参数以及比例p来

说，估计这些参数的置信区间公式与检验对应参数的拒绝域公式，所用分布类型是完全一致的。请看下表： 估计参数或检验参数 置信区间所用分布 拒绝域所用分布 ?（?已知） ?（?未知） u分布 t分布 u分布 t分布 ?2（?未知） ?2分布 ?2分布 u分布 ?2分布 ?2分布 u分布 ?（?未知） p（?已知） 我的这一“重大发现”也许会对大家记忆相关公式提供帮助。 ?此外，在记忆各检验统计量公式时，也可与前面学过的抽样分布中的统计量进行联想比对： 统计量名称 分布统计量 检验统计量 u统计量 u?x?? ?nx?? snu?x??0 ?nx??0 snt统计量 t?t??统计量 2?2?n?1?s2? ?2?2?n?1?s2? 2?0记住这些，同样会对大家记忆相关公式提供帮助。

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在介绍完本节的内容之后，我们来作一下前面给出的那个思考题。

【思考题】若在【例1.5-3】中，将题设条件改为“根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中一种有毒化学物质的平均含量须小于3ppm”，其他条件不变，试在??0.05水平上

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判断该厂是否符合环保规定？

解 这是检验正态均值?的问题（?未知）。现在题设条件有所改变（将“不得超过3ppm”改为“须小于3ppm”），这时应怎样建立假设呢？显然应该这样建立假设： ）。 H0:??3，H1:?＜3（即原假设为“该厂不符合环保规定”

由于?未知，故应选用t检验。又因该检验为单侧检验问题，显著性水平??0.05，故拒绝域W??t＜t??n?1????t＜t0.05?14????t＜?1.761?，由样本观测值，求得x?3.2，

s?0.436，检验统计量为t?x??03.2?3??1.7766。由于t?1.7766＞?1.761，sn0.43615即检验统计量t未落入拒绝域内，所以应接受H0，即在??0.05水平上可以认为该厂不符合环保规定。

【注】解题中要用到分位数t0.05?14?，由于在教材后所给的《t分布的?分位数表》中查不到该值（见附表1-4），我们可以利用t分布分位数的性质去求。由于t??n?1??t1???n?1??0（t分布分位数的这个性质与u分布分位数的性质类似，我们在前面的第三节中讲过），可知t??n?1???t1???n?1?（这与u分布分位数的性质也很相似），从而有

t0.05?14???t0.95?14???1.761。

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