陕西省2004年中考试题

陕西省2004年中考试题

数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

A卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.下列计算正确的是 【 】

A．(-2)0=-1 B．-23=-8 C．-2-(-3)=-5 D．3-2=-6

2．如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论正确的是【 】

A．

1b-a>0 B．a-b>0 2C．2a+b>0 D．a+b>0 A

D E P A B

-1 0 b 1 a

B C （第3题图） （第2题图）

3. 如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，

则∠BPC的度数是【 】

A．150° B．130° C．120° D．100° 4. 下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的函数是【 】

A．y=-3x B．y=4x C．y=-

2 D．y=-x2 x5. 在下列图形中，是中心对称图形的是【 】 ．．

D. A. B. C.

6. 如图，⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则OA的长为

【 】

A

O2 O1

(第6题图)

A．2 B．4 C．3 D．5

7. 已知圆锥形模具的母线长和底面圆的直径均是10cm，求得这个模具的侧面积是【 】

A．50πcm2 B．75πcm2 C．100πcm2 D．150πcm2

8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是【 】

A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a-b+c<0

80cm x

x y

O x 50cm

x x （第8题图） (第9题图)

9. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如

果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】 A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0

10. 如图，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相

似，则a,b间的关系一定满足【 】

A． a≥

1b 2A D B．a≥b C. a≥

3b 2B P （第10题图）

C

D．a≥2b

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分） 11. 不等式1-2x>0的解集是 . 12. 分解因式:x3y2-4x= . 13. 计算：11?27?6= .

32?3k经过点（-1，2），则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第 x14. 若反比例函数y=

象限.

15. 已知：在?ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交ADF 于点E，交CD的延长线于点F，则DF= cm. E A D

B C （第15题图）

16. 用科学计算器或数学用表求：

如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高度.某人在甲楼的楼底A和楼顶

D，分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为 米.（结果精确到0.01米）

注：用数学用表求解时，可参照下面正切表的相关部分. ．．A 65° 0′ 2．145 B

D 45° A 65°13′ 6′ 2．154 12′ 2．164 18′ 2．174 … … 1′ 2 2′ 3 3′ 5 C

剪开

（第17题图）

17. 如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个

全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形. 三、解答题（共8小题，计69分.解答应写出过程） 18. （本题满分5分）

解方程：

21??1. x2?1x?13，求阴影部分的面积. 419. （本题满分6分）

如图，点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB=10，tan∠BAC=

C 人数 9 8 7

6 5

4 3 2 1

0 60.5 90.5 120.5 150.5 180.5 210.5 时间（分钟） A B

（第20题图） 20.（本题满分8分） 题图）（第19

某研究性学习小组，为了了解本校初一学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记.单位：分钟），对本校的初一学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？

（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过120分钟（不包括120分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？

（3）这次调查得到的所有数据的中位数落在了五个时间段中的哪一段内？ 21. （本题满分8分）

已知：如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，BC∥x轴，点B的坐标是（-3，1）. (1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（2）求以点A、B、B′、A′为顶点的四边形的面积.

y A

C B O

（第21题图）

22. （本题满分10分）

x 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分. 请问:

(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?

(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?

(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标? 23. （本题满分10分）

已知:如图，⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连结CD. (1)求证:PA∥BC;

(2)求⊙O的半径及CD的长.

A y P

C C B G O A O B x

E E′ D

(第23题图) (第24题图)

24. （本题满分10分）

如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.

（1）求C点的坐标；

（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由. E

A B A D

F H O C D C B

G (第25题图-1)

(第25题图-2)

25. （本题满分12分）

李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图-1），鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）.

（1）若按圆形设计，利用（图-1）画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出网形鱼塘的面积； （2）若按正方形设计，利用（图-2）画出你所设计的正方形鱼塘示意图； （3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？

（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？

参考答案

一、 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 A 5 C 6 C 7 A 8 D 9 B 10 D 二、11.x<1 12.x(xy?2)(xy?2) 13. 2 14.四 15. 3 16. -2.73 217. 4(因还有一个凹四边形,所以填5也对) 三、18.解:去分母,得

2?(x?1)?x2?1.?x2?x?2?0.解这个方程,得x1=-2,x2=1.经检验:x??2是原方程的根,x?1是增根.?原方程的根是x=-2.

19.解:?AB为直径,??ACB?90?,3?tan?BAC?,43?sin?BAC?.5BC,AB?10,AB344?BC??10?6,AC??BC??6?8.5331125?S阴影=S半圆-S?ABC=???52??8?6???24.222又?sin?BAC?20. 解:(1)3+4+6+8+9=30.

∴ 这个研究性学习小组抽取样本的容量是30. (2)(9+8+4)÷30=0.7=70%.

∴一天做家庭作业所用的时间超过120分钟的学生人数占被调查学生总人数的70%. (3)中位数落在了120.5分钟~150.5分钟这个时间段内. 21. 解:(1)

y

A A′

C C′ B′ D B

O x

(2)过A点作AD^BC,交CB的延长线于点D,则?ABD?180???ABC?180??120??60?.在Rt!ABD中,1?1,23AD?AB?sin?ABD?2??3.2又知点B的坐标为(?3,1),BD?AB?cos?ABD?2??点A的坐标为(?4,1?3).?AA?^y轴,BB?^y轴,?AA?^BB?.?AB与A?B?不平行,?以点A,B,B?,A?为顶点的四边形是等腰梯形.由点A,B的坐标可求得AA?=2?4?8,BB??2?3?6.11?梯形ABB?A?的面积?(AA??BB?)?AD??(8?6)?3?73.22

22. 解:(1)设这个球队胜x场,则平了(8-1-x)场.

根据题意,得3x+(8-1-x)=17. 解之,得x=5.

答:前8场比赛中,这个球队共胜了5场.

(2)打满14场比赛最高能得17+(14-8)×3=35分.

(3)由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可.

∴胜不少于4场,一定达到预期目标,而胜3场、平3场，正好达到预期目标. ∴在以后的比赛中这个球队至要胜3场. 23．证明：（1）∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAB=∠2. A

P 又∵AB=AC，∴∠1=∠2.

1 2 C ∴∠PAB=∠1. B G ∴PA∥BC.

O （2）连结OA交BC于点G，则OA⊥PA.

由（1）可知，PA∥BC，

D ∴OA⊥BC.

∴G为BC的中点. ∵BC=24， ∴BG=12. 又∵AB=13， ∴AG=5.

设⊙O的半径为R， 则OG=OA-AG=R-5. 在Rt△BOG中， ∵OB2=BG2+OG2， ∴R2=122+（R-5）2. ∴R=16.9，OG=11.9. ∵BD是⊙O的直径， ∴DC⊥BC. 又∵OG⊥BC， ∴OG∥DC.

∵点O是BD的中点，

∴DC=2OG=23.8. 24．解：（1）∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根， ∴??OA?OB?m,(1)

OB?2(m?3).(2)?OA?又∵OA2+OB2=17，

∴（OA+OB）2-2·OA·OB=17.（3） ∴把（1）（2）代入（3），得m2-4(m-3)=17. ∴m2-4m-5=0.

解之，得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0， ∴m=-1应舍去.

∴当m=5时，得方程x2-5x+4=0. 解之，得x=1或x=4. ∵BC>AC, ∴OB>OA. ∴OA=1,OB=4.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB， ∴OC2=OA·OB=1×4=4. ∴OC=2.

∴C（0，2）.

（2）∵OA=1，OB=4，C、E两点关于x轴对称， ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则

?1?a=2,?a?b?c?0,?3???16a?4b?c?0,解之,得?b??,

2?c??2.???c??2.??∴所求抛物线解析式为y?123x?x?2. 22（3）存在.∵点E是抛物线与圆的交点，

∴Rt△ACB≌△AEB. ∴E（0，-2）符合条件. ∵圆心的坐标（

3，0）在抛物线的对称轴上， 2∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′（3，-2）.

∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）. 25．（1）如（图-1）所示.S⊙O=

1πa2. 2E

A O B D H C A D

F

B G C (第25题图-1)

(第25题图-2)

（2）如（图-2）所示. （3）有最大面积. 如（图-2），由作图知，Rt△ABE，Rt△BFC、Rt△CDG和Rt△AHD为四个全等的三角形.因此，只要Rt△ABE的面积最大，就有正方形EFGH的面积最大.然而,Rt△ABE的斜边AB=a为定值，所以，点E在以AB为直径的半圆上，当点E正好落在线段AB的中垂线上时，面积最大（斜边为定值的直角三角形以等

121a,从而得正方形EFGH的最大面积为4×a2+a2=2a2. 441(4)由（图-1）可知，所设计的圆形鱼塘的面积为πa2<2a2，所以，我认为李大爷新建鱼塘的最大面积是

2腰直角三角形面积最大），其最大面积为2a2,它是一个正方形鱼塘.

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