大学物理电磁场习题

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14-1 试证明平行板电容器中的位移电流 可写为： dU Id = C dt 式中C是电容器的电容，U是两极板间的电势 差。如果不是平行板电容器，上 式可以应用 吗? 如果是圆柱形电容器，其中的位移电流 密度和平板电容器时有何不同?

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Id = C dU 证： dt 证：设极板面积S,板间距d∴

e0 dt dt 若不是平行板电容器，上式仍可适用。位移电流密度 平行板电容器 圆柱形电容器

Φ e0 d = C dU C=

Φ=

US Φ= d CU

δdD =σ

dD = dt

δdl

D = pr 2

δd

d σ = dt 1 dl = 2 p r d t 目录

14-2 在一对巨大的圆形极板(电容C=l.0 ×10-12 F)上，加上频率为50Hz、峰值为 174000V的交变电压，计算极板间位移电 流的最大。

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已知：C =1.0×10-12 F, f =50Hz , Um =1.74×105V 求：Idm Φ Id =e0 d 解： dt S U cos t ω Φ = ES = m d e0 S C = d Id = C Um sin t ∴ ω ω Id 的最大值 Idm = Cω Um =C 2p f Um =1.0×10-12×2p×50×1.74×105 =5.74×10-5(A) 结束 目录

14-3 有一电荷q ,以速度v(v<<c)作匀速 运动。试从 H .dl = dΨ dt 计算离电荷r 处的磁场强度。

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已知： q , v (v<<c) d 0 Φ 求： 从 H dl = H dt 解：通过平面的电位移通量 q S Φ = D dS = 2d s4 r π s a q q v 2 2 r sinq dq π = 2 0 4 r π a q = 2 (1 cosa ). .

R

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电荷在运动，a 在变化 dΦ 0 q da ∴ Id = = 2 sina dt dt da v sina ∵r = dt.

q da ∴ H d l = 2 sina dt qv sin2a = 2r 由于对称性在半径为R 的平面上H值相同结束 目录

qv 2pRH = r sin2a 2 R = rsina

qv H= 2 sina 4pr

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14-4 当导线中有交流电流时，证明：其 中传导电流密度δ 与位移电流密度 D/ t的 大小比为γ ω /ε 0 。 式中γ 是导线的电导率，ω =2π f ,f 是交 流电的频率，导线的ε r 1。已知铜导线的 γ =5.7×107S/m ,分别计算当铜导线载有 频率为(1)50Hz和(2)3.0×1011 Hz的交流电 流时，传导电流密度和位移电流密度大小的 比值。结束 目录

解： δ =g E 设

dE δ d = e0 dt E =E0 sin t ω

ω δ =g E0 sin t ( δ )m g = eω ( δ d)m 0 ω δ d = e0 E0 cosω t g ( 5.7×107 δ )m = e 2pf = 8.85×10-12×2p×50 ( δ d)m 0g ( δ )m 5.7×107 = e 2pf = 8.85×10-12×2p×3×1011 ( δ d)m 0

= 2.0×1016

= 2.0×1016

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14-5 有一平板电容器，极板是半径为R 的圆形板，现将两极板由中心处用长直引线 连接到一远处的交变电源上，使两极板上的 电荷量按规律q=q0sinω t变化。略去极板边 缘效应，试求两极板间任一点的磁场强度。

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r dD H= 2 dt

d D = dq S dt dt

r dq r d q H = 2S d = 2S dt ( 0sin t ) ω t r ω ω = 2 p R2 q0cos t结束 目录

.

.

解：

d D dS H dl = dt s H 2pr = p r2 d D dt

14-6 为了在一个1.0mF的电容器内产生 1.0A的

瞬时位移电流，加在电容器上的电压 变化率应是多大?

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解：Id = C dU dt dU Id =C dt1.0 = 1.0×10-6 =1.6×106(V)

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14-7 一圆形极板电容器，极板的面积为 S ,两极板的间距为 d 。一根长为d 的极细 的导线在极板间沿轴线与两板相连，已知细 导线的电阻为 R,两极板外接交变电压 U =U0sinω t,求: (1)细导线中的电流; (2)通过电容器的位移电流; (3)通过极板外接线中的电流; (4)极板间离轴线为r 处的磁场强度。设r 小于极板的半径。结束 目录

已知：S、d、 R、 U =U sinω t0

求：(1)I, (2)Id , (3)I ´ (4)H解：(1)

U U 0 sin t ω I= = R R dU e0S Uω cos t Id = C ω 0 = d dt I ´ = I + IdU 0 sin t + e0S Uω cos t ω ω 0 = R d结束 目录

(2)(3)

H2pr = I + Id U 0 sin t + e0pr2Uω cos t ω ω 0 = R d 1 U 0 sin t + e0pr2Uω cos t ω ω H= 0 2pr R d

.

(4)

H

dl = I ´

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14-8 已知无限长载流导线在空间任一点 的磁感应强度为：m0I/2pr 。试证明满足方 程式.B

Bx By Bz = x + y + z =0

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