林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

DC1A3P2B

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

CD3APB

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．

C1A3P2BD

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

C3BPA12D

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

CP3A12BD

证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD． 例题讲解

例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．

（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；

（2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．

①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．

②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1

S2的表达式．

CCNEAMDBFCEMADNFBMADEBNF

图1 图2 图3

解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

CNEAGMHDBF

则S1

S2＝

1MGAD211NHBD＝ADAM243． 2ABDBN．

由题意可知∠A＝∠B＝60o，所以sinA＝sinB＝由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN． ∴

AMAD，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12． ?BDBN（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

CEMANHFBGD

则S1

S2＝

1MGAD211NHBD＝ADAM24ABDBN．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN， 所以

AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab， ?BDBN1a2b2sin2a； 4所以S1S2＝

②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．

CMADGEBHNF

则S1

S2＝

1MGAD211NHBD＝ADAM24ABDBN．

由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN， 所以

AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab， ?BDBN1a2b2sin2a； 4所以S1S2＝

例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．

（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

AEBDC

解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB， ∴∠EDC＝∠DAB， ∴△ABD∽△DCE；

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 过A作AF⊥BC于F， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝2，∠ABF＝30°， ∴AF＝

1AB＝1， 2∴BF＝3， ∴BC＝2BF＝23， 则DC＝23?x，EC＝2－y ∵△ABD∽△DCE， ∴

ABDC， ?BDCE223?x， ?x2?y∴

化简得：y?12x?3x?20?x?23． 2??AEBCD

（2）①当AD＝DE时，如图2， △ABD≌△DCE，

则AB＝CD，即2＝23?x， x＝23?2，代入y?12x?3x?2 2解得：y＝4?23，即AE＝4?23， ②当AE＝ED时，如图，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°， 所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°

11 EC，即y＝ （2－y） 2222解得y＝，即AE＝；

33则ED＝

③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120° 此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－23或AE＝

2 3AEB进阶训练

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足 ∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平 分∠DFC．

ADFBECDC

1．略

【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE∽△CEF，可得所以

2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点 E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．

ADHGBEBEDE＝．而BE＝CE· CFEFCEDE＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC． CFEFFC

AEB进阶训练

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足 ∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平 分∠DFC．

ADFBECDC

1．略

【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE∽△CEF，可得所以

2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点 E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．

ADHGBEBEDE＝．而BE＝CE· CFEFCEDE＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC． CFEFFC

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