最新完美版华约自主招生数学试题

2017-11

2016年华约自主招生数学试题

1. （10分）集合A?{x|x?10,x?N?}，B为A的子集，若集合B中元素满足以下条件：①任意数字都

不相等；②任意两个数之和不为9．

（1）B中两位数有多少？三位数有多少？ （2）B中是否有五位数？六位数？

（3）若将集合B的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？

112. （15分）sinx?siny?，cosx?cosy?，求sin(x?y)与cos(x?y)的值．

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????????3. （15分）直线y?kx与y??kx上两点A(xA,yA)、B(xB,yB)，|OA|?|OB|?1?k2．

（1）求AB中点M的轨迹C；

（2）若曲线C与x2?2py相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程．

4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球．

（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率；

（2）求所取出球中黑球个数X的分布列及期望E?X?； （3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率．

25. （15分）an?1?can?an，a1?0，c?0，求证：

（1）对?M?0，总存在正整数N，使n?N满足an?M； （2）bn?11|?d． ，Sn?b1?b2?…?bn，对任意d?0总存在k使得n?k时，0?|Sn?ca1can?1

6. （15分）x,y,z是两两不相等且大于1的正整数，若xyz|(xy?1)(xz?1)(yz?1)，求x,y,z的所有值．

7. （15分）已知f(x)?(1?x)ex?1，求证：

（1）对?x?0，f(x)?0；

（2）若xnexn?1?exn?1，求证：{xn}单调递减且xn?

1． 2n

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