3.1.1（第一微分中值定理）

安康职业技术学院课时授课计划（教案首页）

授课顺序 课 题 总第一讲 班 级 14级高职会计班 授课教师 郭必军 第三章中值定理遇到数的应用 第一节微分中值定理 学时 2 节 课程目标 教学目标： 1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等； 2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构； 情感目标： 使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力 一、导入新课 二、讲授 达标过程与教学环节 三、例题讲解 四、课堂练习 五、板书设计（略） 六、作业 授课方式 以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。 教 具

教研室签字 系主任签字 课时目标形成性测试 评估与反馈 备注

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教学过程:

一、内容回顾

定理1（Rolle）若函数f(x)满足条件 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)?f(b)。

则至少存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0。几何意义：在定理的条件下，区间(a,b)内至少存在一点?，使得曲线在点((?,f(?))处具有水平切线。 二、拉格朗日中值定理

定理2（Lagrange）设函数f(x) 满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则在(a,b)内至少存在一点?， 使得

f?(?)?f(b)?f(a)。

b?a或写成 f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)。 上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b?a也成立。

几何意义：如果连续曲线y?f(x)上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧AB上至少存在一点((?,f(?))，在该点处曲线的

切线平行于弦AB。

由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足f(a)?f(b)时，此时弦AB的斜率等于零。即 f?(?)?0。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。 即

?Rolle定理 Lagrange中值定理????f(b)?f(a)?k，要证（1）式，即证证明分析：若记

b?af(a)?f(b)f?(?)?k?f?(?)?k?0?

[f?(x)?k]x???0?[f(x)?kx]?x???0

也就是是否存在??(a,b)，使函数

?(x)?f(x)?kx

在x??处的导数为零？即??(?)?0。

证明： 作辅助函数?(x)?f(x)?kx，x?[a,b]。

容易验证?(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且

?(a)?f(a)?ka?f(a)?f(b)?f(a)ab?a

bf(a)?af(b)???(b)。

b?a从而?(x)满足罗尔定理的条件，即至少存在一点

??(a,b)，使??(?)?0。 即

f?(?)?f(b)?f(a)

b?a

由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论： 推论 设函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且

f?(x)?0，则在(a,b)内f(x)为常数。即

f?(x)?0，x?(a,b)?f(x)?C,x?(a,b)，其中C为常数。

证：任取x1,x2?(a,b)，不妨设x1?x2，在[x1,x2]上应用定理2，得

f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x2)，其中

??(x1,x2)?(a,b)。因为f?(x)?0,x?(a,b)，所以

f?(?)?0，从而f(x1)?f(x2)。由x1,x2?(a,b)的任意性可知，f(x)为常数。

三、定理的应用

例1 证明 arcsinx?arccosx??2,x?[?1,1]。

证： 设f(x)?arcsinx?arccosx，则在(?1,1)上

f?(x)?11?x2?11?x2?0，由推论1可知

f(x)?arcsinx?arccosx?C（常数）。令x?0，得 C??2。又f(?1)??2，故所证等式在定义域[?1,1]上成立。

练习1：证明arctanx?arccotx??2,x?(??,??)

证：设f(x)?arctanx?arccotx，则在(??,??)上，

f?(x)?11??0，由推论可知 221?x1?xf(x)?arctanx?arccotx?C，

令x?0,得C??2。

故所证等式在定义域(??,??)上成立。

x?ln(1?x)?x例2 证明不等式

1?x(x?0)。

证：设f(t)?ln(1?t)，则f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件，因此有

f(x)?f(0)?f?(?)(x?0),即ln(1?x)?所以

0???x

xxx??x， ，又因为

1??1?x1??x?ln(1?x)?x1?x练习2：证明不等式

(x?0)。

b?abb?a?ln?aaa(0?a?b)。

证：设f(x)?lnx，x?[a,b]，则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a???b

bb?ab?ab?ab?a??即ln?，因为b?a， a?b?abb?a?ln?(0?a?b). 所以 aaa例3 设f(x)在[0,1]内可导，且0?f(x)?1，又对于(0,1)内的所有点x有f?(x)??1，证明方程

f(x)?x?1?0在(0,1)内有唯一实根。

证： 存在性

设 ?(x)?f(x)?x?1,x?[0,1]

则?(x)在[0,1]内可导,连续。又0?f(x)?1，所以

?(0)?f(0)?1?0，?(1)?f(1)?0。由零点定理知 ?(x)在(0,1)内至少存在一个零点，即方程

f(x)?x?1?0在(0,1)内至少有一个实根。

唯一性（反证法）

假设方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有两个实根x1,x2，不妨设

0?x1?x2?1，

则有f(x1)?1?x1，f(x2)?1?x2。对函数f(x)在

[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理，知存在??(x1,x2)，使得f(xx)(?12x?)?(11x)2)?f(1f?(?)????1，与题设f?(x)??1x2?x1x2?x1矛盾，唯一性得证。 课堂小结：

一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）； 二、拉格朗日中值定理的推论； 三、拉格朗日中值定理的应用。

（证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等） 课后作业：P96 ：9、10、11（1）、（3）、(4)、（6）。

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