高中数学 2-3 第1课时距离和高度问题同步导学案 北师大版必修5

§3 解三角形的实际应用举例

第1课时距离和高度问题

知能目标解读

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.

2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.

3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力.

重点难点点拨

重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法.

难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.

学习方法指导

1.解三角形应用题的基本思路

解三角形应用题要注意两点：

（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.

(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.

2.常见应用题型

正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

3.解三角形应用题常见的几种情况

（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知

两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.

（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.

知能自主梳理

实际问题中的名词、术语

1.方位角：从指北方向时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.

2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角.

①北偏东α°，即由指北方向旋转α°到达目标方向，如图（2）.

②北偏西α°，即是由指北方向旋转α°到达目标方向.

3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越，测量的精确度越高.

4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底

部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的.

5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线

时，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图.

［答案］ 1.顺

2.顺时针逆时针

3.长

4.正弦定理余弦定理

5.上方下方

思路方法技巧

命题方向测量高度问题

［例1］如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是∠AMB= 30°，∠ANB=45°∠APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高.

［分析］解题的关键是读懂立体图形.

［解析］设AB高为x.

∵AB垂直于地面，

∴△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形，

∴BM=x·cot30°＝3x,BN=x·cot45°＝x,

BP =x ·cot60°=3

3x .

在△MNB 中,由余弦定理，得

BM 2=MN 2+BN 2-2MN ·BN ·cos ∠MNB,

在△PNB 中，由余弦定理，得

BP 2=NP 2+BN 2-2NP ·BN ·cos ∠PNB ,

又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN=NP =500，

∴3x 2=250000+x 2-2×500x ·cos ∠MNB ， ①

3

1x 2=250000+x 2-2×500x ·cos ∠PNB ， ② ①+②，得3

10x 2=500000+2x 2,

∴x =2506.

答：塔高2506m.

［说明］ 在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还

是下方，一般步骤是：

①根据已知条件画出示意图；

②分析与问题有关的三角形；

③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；

④把解出答案还原到实际问题中.

还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.

变式应用1

如图，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已

知塔高AB =20m ，求山高DC （精确到0.1m ）.

［分析］ 如图，DC 在Rt △BCD 中，∠DBC =60°，只需求出边BC 的长，即可求出DC ，而BC 又在斜三角形ABC 中，依据条件由正弦定理可求出BC .

［解析］ 由已知条件，得∠DBC =60°,∠ECA =45°,则在△ABC 中，∠ABC =90°-

60°=30°,∠ACB =60°-45°=15°,

∠CAB =180°-（∠ABC +∠ACB ）=135°.

在△ABC 中，?=?15sin 135sin AB BC .

∴BC =()()

13202641222015sin 135sin +=-?=?

??AB . 在Rt △CDB 中，CD =BC ·sin ∠CBD =20(3+1)×

2

3≈47.3. 答：山高约为47.3m.

命题方向 测量距离问题 ［例2］ 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求A 、B 两地的距离.

［分析］ 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.

［解析］ 如图所示，在△ACD 中，∠CAD=180°-（120°+30°）=30°

,

∴AC=CD =1003

.

在△BCD 中，∠CBD =180°-（45°+75°）=60°

.

由正弦定理,得

BC =?=?

?75sin 20060sin 75sin 3100. 在△ABC 中，由余弦定理,得

AB 2=（1003）2+（200sin75°) 2-2×1003×200sin75°·cos75°

=1002(3+4×???-?-150sin 322

150cos 1)=1002×

5, ∴AB =1005.

答：A 、B 两地间的距离为1005米.

［说明］ （1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是△BCD 和△ABC .

（2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB 可视为基线.

（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD .在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.

变式应用2

如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°.问货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是多少？

［分析］ 根据所给图形可以看出，在△ABC 中，已知BC 是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出∠ABC 及A 的大小，由正弦定理可得出AC 的长.

［解析］ 在△ABC 中，BC =40×2

1=20, ∠ABC =140°-110°=30°,

∠ACB =(180°-140°)+65°=105°,

∴A =180°-(30°+105°)=45°,

由正弦定理，得AC =A ABC BC sin sin ∠?=21045sin 30sin 20=?

?? (km). 答：货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是102 km.

探索延拓创新

命题方向 综合应用问题

［例3］ 如下图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

［分析］ 甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B 1B 2即可.连结A 1B 2，转化为在△A 1B 1B 2中已知两边及夹角求对边的问题.

［解析］ 如上图，连结A 1B 2，

∵A 2B 2=102，

∴A 1A 2=60

20×302=102.

∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.

在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得

B

1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1·A 1B 2cos45°

=202+(102)2-2×20×102×2

2=200, 则B 1B 2=102.

因此乙船的速度的大小为20

210×60=302. 即乙船每小时航行302海里.

［说明］ 仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.

变式应用3

海中有小岛A ，已知A 岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北偏东75°，航行202海里后见此岛在北偏东30°.如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？

如图所示，要判断有无触焦危险，只要看AD 的长与8的大小，若AD ＞8，

则无触礁危险，否则有触礁危险.

［解析］ 如图所示，作AD ⊥BC 的延长线于D ，

由已知∠NBA =75°,∠ACD =60°,BC =202. 由正弦定理，得()?-?-?=?12015180sin 22015sin AC ，

∴AC =10(6- 2),

∴AD =AC ·sin60°=152-56＞8.

∴无触礁危险.

［说明］ 本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75°是指以正北方向为始边，顺时针方向转75°.

名师辨误做答

［例4］ 某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？

［误解］本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A 城，即求AD 的

长，

在△ACD 中，已知CD =21千米，

∠CAD =60°，只需再求出一个量即可.

如图，设∠ACD =α,∠CDB =β,

在△CBD 中，由余弦定理，得

cos β=7

121202312120·2222222-=??-+=-+CD BD CB CD BD ，

∴sin β=7

34. ∴在△ACD 中，

()，AC 23

2160sin 21180sin =?=-?β

∴AC =

.247343221=?? ∴CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD ·cos60°，

即212＝242+AD 2-2×24×

21·AD ， 整理，得AD 2-24AD +135=0,

解得AD =15或AD =9，

答：这个人再走15千米或9千米就可到达A 城.

［辨析］ 本题在解△ACD 时，利用余弦定理求AD ，产生了增解，应用正弦定理来求解. ［正解］ 如图，令∠ACD =α,∠CDB =β,在△CBD 中，由余弦定理得

cos β=CD

BD CB CD BD ·2222--＝7121202312120222-=??-+，

∴sin β=7

34.

又sin α=sin(β-60°)＝sin βcos60°-sin60°cos β

=7

34×21+23×71＝1435，

在△ACD 中，

α

sin 60sin 21AD =?, ∴AD =??60sin sin 21α=15(千米). 答：这个人再走15千米就可以到达A 城.

课堂巩固训练 一、选择题

1.如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )

A.a 和c

B.c 和b

C.c 和β

D.b 和α

［答案］ D

［解析］ 在△ABC 中，能够测量到的边和角分别为b 和α.

2.如图所示，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为

30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于 ( )

A.10m

B.53m

C.5(3-1)m

D.5（3+1）m

［答案］ D

［解析］ 在△ABC 中，由正弦定理得

AD =()

131015sin 135sin 10+=?? 在Rt △ABC 中，AB=AD sin30°=5(3+1)(m).

3.(2012·福州高二质检)如图所示，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量

时应当用数据 ( )

A.α,a,b

B.α,β,a

C.a,b,γ

D.α,β,b

［答案］ C

［解析］ 根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a,b 可以测得，角γ也可以测得，

根据余弦定理AB 2=a 2+b 2-2ab cos γ能直接求出AB 的长，故选C.

4.(2011·上海理，6)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB =75°,∠CBA = 60°，则A 、C 两点之间的距离为 千米.

［答案］ 6

［解析］ 本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.

∵∠CAB =75°,∠CBA =60°,∴∠C =180°-75°-60°=45°, 由正弦定理：

C

AB CBA AC ∠=∠sin sin , ∴?=?45sin 260sin AC , ∴AC =6. 二、填空题

5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是 米.

［答案］ 3

340 ［解析］ 如图所示，

由题意，得∠ABC =45°-30°＝15°,

∠DAC =60°-30°=30°.

∴∠BAC =150°,∠ACB =15°,

∴AC=AB =40米，∠ADC =120°,∠ACD =30°,

在△ACD 中，由正弦定理，得

CD =ADC ACD ∠∠sin sin ·AC ＝??120sin 30sin ·40＝3

340. 三、解答题

6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB = 45°,∠CBA =75°,AB =120米，求河的宽度.

［解析］ 如图，

在△ABC 中，∵∠CAB =45°，∠CBA =75°，

∴∠ACB =60°.

由正弦定理，得

AC =?

?=∠∠?60sin 75sin 120sin sin ACB CBA AB

＝20（362+）.

设C 到AB 的距离为CD ，

则CD =AC sin ∠CAB =2

2AC =20（3+3）. 答：河的宽度为20（3+3）米.

课后强化作业 一、选择题

1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4m,∠A =30°,则其跨度AB 的长为（ ）

A.12m

B.8m

C.33m

D.43m

［答案］ D

［解析］ 在△ABC 中，已知可得

BC=AC =4,∠C =180°-30°×2＝120°

所以由余弦定理得

AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120°

=42+42-2×4×4×（-

21)=48 ∴AB =43 (m).

2.从塔顶处望地面A 处的俯角为30°,则从A 处望塔顶的仰角是 ( )

A.-60°

B.30°

C.60°

D.150°

［答案］ B

3.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.103海里 B.106海里 C.52海里 D.56海里

［答案］ D

［解析］ 如图，由正弦定理得

?

=?45sin 1060sin BC ， ∴BC =56.

4.某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰

好3km ，那么x 的值为（ ） A. 3 B.23

C.23或3

D.3

［答案］ C

［解析］ 由题意画出三角形如下图.则∠ABC =30°, 由余弦定理得，cos30°=x x 6392-+,∴x=23或3.

5.甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB =3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是 （ ）

A.7 km

B. 13km

C. 19km

D.3310- km

［答案］ B

［解析］ 由题意知AM =8×

360

151226015=?==，BN ，MB=AB-AM =3-2=1，所以由余弦定理得MN 2=MB 2+BN 2-2MB ·BN cos120°=1+9-2×1×3×(-21)=13，所以MN =13km. 6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A.3400米 B.3

3400米 C.2003米 D.200米

［答案］ A

［解析］ 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB =200，∠ADM =30°,∠ACB =60°,

∴BC =200cot60°=3

3200,AM =DM tan30°=BC tan30°=3200. ∴CD=AB-AM =3

400. 7.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）

A.20（2+6）海里/时

B.20（6-2）海里/时

C.20（6+3）海里/时

D.20（6-3）海里/时

［答案］

［解析］ 题意可知∠NMS =45°，∠MNS =105°，

则∠MSN =180°-105°-45°＝30°.

而MS =20,

在△MNS 中，由正弦定理得?

=?105sin 30sin MS MN ， ∴MN =()

?+?=??4560sin 10105sin 30sin 20 ＝?

?+??30sin 60cos 30cos 60sin 10 =()

261042

610-=+

=10(6-2).

∴货轮的速度为10(6-2)÷2

1=20(6-2)(海里/时). 8.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB =45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB =75°，则山高BC 为（ ）

A.5002m

B.200m

C.10002m

D.1000m

［答案］ D

［解析］ ∵∠SAB =45°-30°=15°,

∠SBA =∠ABC -∠SBC =45°-（90°-75°)=30°, 在△ABS 中，AB =?

??30sin 135sin AB =2

1221000? =1 0002,

∴BC =AB ·sin45°=1 0002×2

2=1 000（m ）. 二、填空题

9.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，

15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是

km.（精确到0.1 km ）

［答案］ 4.2

［解析］ 作出示意图如图.由题意知，

AB =24×60

15=6，

∠ASB =45°,由正弦定理得，

?45sin 6=?30sin BS ， 可得BS ＝22

21

6?=32≈4.2（km ）. 10.从观测点A 看湖泊两岸的建筑物B 、C 的视角为60°,AB =100m,AC =200m,则B 、C 相

距 .

［答案］ 1003m

［解析］ 在△ABC 中，由余弦定理得

BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A

=1002+2002-2×100×200×

21=30000 所以BC ＝1003m.

11.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 .

［答案］ 203米，3

340米 ［解析］ 如图，依题意有甲楼的高度AB =20·tan60°=203 (米)，又CM=DB =20米，

∠CAM =60°，所以AM=CM ·cot60°=3

320米， 故乙楼的高度为CD =203-3320=3

340（米）. 12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C 处向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东南15°的方向上，行驶15km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于 km.

［答案］ 5（2-3）

［解析］ 在△ABC 中，∠A =15°,∠C =30°-15°=15°,

BC

=515sin 15sin 5sin sin =?

??=C A AB . 又CD=BC ·tan ∠DBC =5×tan15°=5×tan(45°-30°)= 5(2-3). 三、解答题

13.（2012·厦门高二检测）海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟

后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度.

［解析］ 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC =107,∠ABC =120°由余弦定理，得

AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos120°

即700＝100＋BC 2+10BC ,∴BC =20,

设B 船速度为v ,则有v =3

4

20=15(海里/小时). 即B 船的速度为15海里/小时.

14.在上海世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼

的高度（精确到1m ）.

［解析］ 由题意画出示意图（AA ′表示小明的身高）.

∵AB =200,∠CA ′B ′=45°,∠CB ′D ′=60°,

∴在△A ′B ′C 中，?

'=''∠''45sin sin C B B C A B A ∴B ′C =?''15sin 45sin B A =()

1320042

622200+=-?. 在Rt △CD ′B ′中， CD ′=B ′C ·sin60°=100(3+3),

∴CD =1.8+100(3+3)≈475(米

).

答：红灯笼高约475米.

15.山上有一纪念塔，不能到达底部，你有哪些方法测量塔的高度PO ?

［解析］ 如图(1)，在地面上引一条基线AB ，使其延长线通过塔底点O ，测出A 、B 分别对塔顶P 的仰角α、β及AB 的长度就可以求出塔高PO

.

计算方法：在△PAB 中，由正弦定理得

PA ＝()

βα-sin AB ·sin β, 在Rt △PAO 中，PO =PA sin

α

∴PO =()

βαβα-sin sin sin AB . 16.在大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处.现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.

［解析］ 如右图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .则根据题意，知在△ABC 中，AC =8t ，AD =20-10t,∠CAD =60°.由余弦定理，知

CD 2=AC 2+AD 2-2×AC ×AD cos60°

＝（8t ）2+(20-10t) 2-2×8t ×（20-10t ）×cos60° ＝244t 2-560t+400=244(t-

6170)2+400-244×（6170）2， ∴当t =

6170时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zvmq.html