朝阳区2010年4月一模数学文科

北京市朝阳区

2009—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）

数学试题（文史类）

2010.4

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上. 考试结束时，将试

题卷和答题卡一并交回.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像

皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

(1?i)21．复数等于 2i

A．2

B．-2

C．?2i

D．2i

（ ）

2．命题p:?x?0,都有sinx??1，则

A．?p:?x?0,使得sinx??1 C．?p:?x?0,使得sinx??1

（ ）

B．?p:?x?0,使得sinx??1 D．?p:?x?0,使得sinx??1

（ ）

3．满足()

122x?2?log24成立的x的取值范围是

B．{x|x?3} D．{x|x??1}

A．{x|x??1} C．{x|x?3}

1

4．下列函数中，最小正周期为?，且图象关于直线x?

A．y?sin(2x?C．y?sin(2x??3对称的是 （ ）

?3) )

B．y?sin(2x?D．y?sin(?6)

?6x?x?) 235．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行. 若蜜蜂在飞行过程中与正方

体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；

若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）

A．

1 8B．

1 16C．

1 27D．

3 86．右图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2，则一定有

A．a1?a2 B．a1?a2 C．a1?a2

D．a1,a2的大小与m的值有关

（ ）

7．设m若函数f(x)?min{则f(x)?3?x,log2x}，ni|p,q|表示p,q两者中的较小者，

的解集为

B．（0，+∞） D．(2,??)

12（ ）

A．(0,2)?(,??) C．(0,2)?(,??)

52528．如图，设平面????EF,AB??,CD??，垂足分别为B，D，且AB?CD，如果

增加一个条件就能推出BD?EF，给出四个条件：①AC??；②AC?EF；③AC与BD在?内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面?内的正投影所在直线交于一点. 那么这个条件不可能是 （ ） ．．． A．①②

2

B．②③ C．③ D．④

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上. 9．函数y?sinxcosx的最大值是 .

10．在抛物线y2?2px(p?0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为 . 11．左下程程序图的程序执行后输出的结果是 .

12．如右上图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个

直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 . 13．圆x2?y2?4被直线3x?y?23?0截得的劣弧所对的圆心角的大小为 . 14．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一

次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是x?3，设第n(n?N)次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn? ；若x?1，前n次生成所有数中不．．．同的数的个数为Tn,则T4? .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）

3

*

在?ABC中，角A、B，C所对的边分别为a,b,c，且C?35?,sinA?. 45 （1）求cosA,sinB的值； （2）若ab?22,求a,b的值.

16．（本小题满分13分）

袋子中装有编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球，从中任意摸出2个球。

（1）写出所有不同的结果；

（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； （3）求至少摸出1个黑球的概率.

17．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D、E分别为侧棱AB、CC1的中点，AB1与A1B的交点为O. （1）求证：CD//平面A1EB； （2）求证：AB1?平面A1EB.

18．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?mx?3x?3x,m?R.

4

32

（1）若函数f(x)在x??1处取得极值，试求m的值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切

线方程；

（2）设m?0，若函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围.

19．（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

13，且经过点M(1,)，过点P（2，221）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存直线l，满足PA?PB?PM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请

说明理由.

20．（本小题满分14分）

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列。已知数列{an}是调和数列，对于各项都是正数的数列{xn}，满足

5

2

nn?2nAnA?1* xn?xn?1?xn?2(n?N) （1）求证：数列{xn}是等比数列；

（2）把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三

角形数表，当x3?8,x2?128 时，求第m行各数的和；

bn （3）对于（2）中的数列{xn}，若数列{bn}满足4b1?1?4b2?1?4b3?1??4bn?1?xn(n?N*)，

求证：数列{bn}为等差数列.

参考答案

一、选择题：

6

1—5CABBC 6—8BAD 二、填空题： 9．

13? 10．2 11．55 12．? 13． 14．2n?1 10 223三、解答题：

15．（本小题满分13分）

解：（1）因为C?35 ?,sinA?4525 5

所以cosA?1?sin2A?由已知得B??4?A

所以sinB?sin(?4?A)?sin?4cosA?cos?4sinA

?2252510 7分 ????25251010， 10 （2）由（1）知sinB?

根据正弦定理得a?ba? sinBsinA2b.

2 13分

又因为a?b?22,所以a?2,b?16．（本小题满分13分）

解：（1）ab,ac,ad,ae,bc,bd,bc,cd,ce,de. 3分

（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A饮食的基本事件为ac,ad,ae,bc,be,，共6个基本事件，所以

P(A)?6?0.6 8分 10 答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6 （3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，

7

则事件B包含的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be，共7个基本事件，

所以P(B)?710?0.7 答：至少摸出1个黑球的概率为0.7 13分 17．（本小题满分13分） 证明：（1）连接OD，

因为O为AB1的中点，D为AB的中点， 所以OD//BB11，且OD?2BB1 又E是CC1中点， 则EC//BB1 且EC?12BB1， 即EC//OD且EC=OD。

则四边形ECDO为平行四边形，所以EO//CD。 又CD?平面A1BE，EO?平面A1BE，

则CD//平面A1BE 7分 （2）因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB1?AB,BB1?BC，

所以BB1 ? 平面ABC

因为CD?平面ABC，所以BB1 ?CD 由已知得AB=BC=AC， 所以CD ?AB

所以CD ?平面A1ABB1。 由（1）可知EO//CD， 所以EO ?平面A1ABB1， 所以EO ?AB1

因为侧面是正方形，所以AB1 ?A1B 又EO?A1B?O,EO?平面A1EB，

A1B?平面A1EB

所以AB1 ?平面A1BE。 13分 18．（本小题满分14分）

（1）解：f?(x)?3mx2?6x?3.

8

因为函数f(x)在x??1处取得极值， 所以f?(?1)?0,解得m?3.

于是函数f(x)?3x3?3x2?3x,f(1)?3,f?(x)?9x2?6x?3. 函数f(x)在点M（1，3）处的切线的斜率k?f?(1)?12.

则f(x)在点M处的切线方程为12x?y?9?0 （2）当m?0时， f?(x)?3x2?6x?3是开口向下的抛物线，

要使f?(x)在（2，+∞）上存在子区间

???m?0,

使f?(x)?0，应满足???1?m?2, ???f?(?1m)?0.??m?0,

蔌???1?2, ?m??f(2)?0 解得?12?m?0,或?34?m??12，

所以m的取值范围是(?34,0) 14分

19．（本小题满分13分）

（1）设椭圆C的方程为x2y2 a2?b2?1(a?b?0)，

9

6分

9?1??a24b2?1??c1由题意得??

?a2?a2?b2?c2??解得a2?4,b2?3，

x2y2故椭圆C的方程为??1 5分

43 （2）若存在直线l满足条件，设直线l的方程为y?k(x?2)?1

?x2y2?1,??由?4 3?y?k(x?2)?1?得(3?4k2)x2?8k(2k?1)x?16k2?16k?8?0 因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B， 设A，B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?

所以??[?8k(2k?1)]2?4?(3?4k2)?(16k2?16k?8)?0. 整理，得32(6k?3)?0 解得k??.

12

8k(2k?1)16k2?16k?8,x1x2?又x1?x2? 223?4k3?4k且PA?PB?PM

2

5 4522所以(x1?2)(x2?2)(1?k)?|PM|?

4即(x1?2)(x2?2)?(y1?1)(y2?1)?10

即[x1x2?2(x1?x2)?4](1?k2)?5. 4

16k2?16k?88k(2k?1)4?4k252所以[?2??4](1?k)?? 22243?4k3?4k3?4k解得k??所以k?

1 21， 2

1x 13分 2于是，存在直线l满足条件，其方程为y?20．（本小题满分14分）

anan?1an?2解：（1）证明：因为xn?xn?1?xn?2，

且数列|xn|中各项都是正数，

所以anlgxn?an?1lgxn?1?an?2lgxn?2, 设anlgxn?an?1lgxn?1?an?2lgxn?2?p ① 因为数列{an}是调和数列， 故an?0,2an?1?11 ?anan?2 所以

2ppp ② ??an?1anan?2ppp?lgxn,?lgxn?1,?lgxn?2， anan?3an?2

由①得

代入②式得，

所以2lgxn?1?lgxn?lgxn?2 即lgxn?1?lg(xnxn?2) 故xn?1?xnxn?2，

22 11

所以数列|xn|是等比数列. 5分

（2）设|xn|的公比为q，

则x3q4?x2

即8q4?128.由于xn?0 故q?2.

于是xn?x3qn?3?8?2n?3?2n 注意到第n(n?1,2,3,?)行共有n个数，

所以三角形数表中第1行至第m?1行共含有1?2?3???(m?1)?m(m?1)个数 2m(m?1)m2?m?2?1?因此第m行第1个数是数列|xn|中的第项. 22故第m行第1个数是xn2?n?2?22n2?n?22

所以第m行各数的和为Sm? （3）由41?4得4即2b?1b2?12n2?n?2n(2?1)22?1?2n2?m?22(2m?1) 10分

bn ?4b3?1???4bn?1?xn(b1?b2?b3???bn)?n?(2n)bn

2[b1?b2?b3???bn]??4?2xbn

所以2[(b1?b2???bn)?n]?nbn ①

2[(b1?b2???bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1 ②

②-①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn 即(n?1)bn?1?nbn?2?0. ③

12

nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④

④-③得abn?2?2nbn?1?nbn?0 即bn?2?bn?2bn?1

所以{bn}为等差数列 14分

13

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