线性电阻电路分析

第二章 线性电阻电路分析

电阻电路：由电阻元件和独立电源组成的电路，称为电阻电路。独立电源在电阻电路中所起的作用与其它电阻元件完全不同，它是电路的输入或激励。独立电源所产生的电压和电流，称为电路的输出或响应。线性电阻电路：由线性电阻元件和独立电源组成的电路，称为线性电阻电路。其响应与激励之间存在线性关系，利用这种线性关系，可以简化电路的分析和计算。

上一章介绍的2b法的缺点是需要联立求解的方程数目太多，给手算求解带来困难。本章通过两个途径来解决这个问题。

1. 利用单口网络的等效电路来减小电路规模，从而减少方程数目。2. 减少方程变量的数目，用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程。

§2－l 电阻单口网络

VCR相同

N1 N2

等效

单口网络：只有两个端钮与其它电路相连接的网络，称为二端网络。当强调二端网络的端口特性，而不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络，简称为单口(One-port)。

电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为VCR)来表征(它是u-i平面上的一条曲线)。等效单口网络：当两个单口网络的VCR关系完全相同时，称这两个单口是互相等效的。

单口的等效电路：根据单口VCR方程得到的电路，称为单口的等效电路。单口网络与其等效电路的端口特性完全相同。一般来说，等效单口内部的结构和参数并不相同，谈不上什么等效问题。

利用单口的等效来简化电路分析：将电路中的某些单口用其等效电路代替时，不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，则可以简化电路的分析和计算。

一、线性电阻的串联和并联 1.线性电阻的串联

1

两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方式，称为电阻的串联。图(a)表示n个线性电阻串联形成的单口网络。

用2b方程求得端口的VCR方程为

u?u1?u2?u3?????un ?R1i1?R2i2?R3i3?????Rnin ?(R1?R2?R3?????Rn)i ?Ri其中

unR???Rkik?1上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。

2.线性电阻的并联两个二端电阻首尾分别相联，各电阻处于同一电压下的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻的并联。

求得端口的VCR方程为

i?i1?i2?i3?????in ?G1u1?G2u2?G3u3?????Gnun ?(G1?G2?G3?????Gn)u ?Gu上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。两个线性电阻并联单口的等效电阻值，也可用以下公式计算

2

R?R1R2R1?R2

3.线性电阻的串并联由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串联和并联单口的等效电阻公式(2－l)和(2－2)计

算出来。

例2-l 电路如图2-3Ωa)所示。已知R1=6?, R2=15?，R3=R4=5?。试求ab两端和cd两端的等效电阻。

图2－3

为求Rab，在ab两端外加电压源，根据各电阻中的电流电压是否相同来判断电阻的串联或并联。

5Ω

15Ω 10Ω 5Ω

RR15?10R????6?R?R?R?10?R?R15?10

6Ω

12Ω 6Ω

2343434234234

Rab?R1?R234?6??6??12?Rab?R1?R2(R3?R4)15(5?5)?6????12?R2?R3?R415?5?5 3

15Ω

显然，cd两点间的等效电阻为

Rcd?5Ω

5Ω

R3(R2?R4)5(15?5)???4?R3?R2?R45?15?5二、独立电源的串联和并联

根据独立电源的VCR方程和 KCL、KVL方程可得到以下公式： 1.n个独立电压源的串联单口网络，如图2-4(a)所示，就端口特性而言，等效于一个独立电压源，其电压等于各电压源电压的代数和

n

uS??uSk(2?4) k?1

图2－4

其中与uS参考方向相同的电压源uSk取正号，相反则取负号。 2. n个独立电流源的并联单口网络，如图2-5(a)所示，就端口特性而言，等效于一独立电流源，其电流等于各电流源电流的代数和与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。

iS??iSkk?1n(2?5)

图2－5

4

就电路模型而言，两个电压完全相同的电压源才能并联；两个电流完全相同的电流源才能串联，否则将违反 KCL、KVL和独立电源的定义。发生这种情况的原因往往是模型设置不当，而需要修改电路模型。

例2-2 图2-6(a)电路中。已知uS1=10V, uS2=20V,uS3=5V,R1=2?,R2=4?, R3=6?和RL=3?。求电阻RL的电流和电压。

图2－6解: 为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压源等效为一个电压源，其电压为

uS?uS2?uS1?uS3?20V?10V?5V?15V将三个串联的电阻等效为一个电阻，其电阻为

R?R2?R1?R3?4??2??6??12?由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：

i?uS15V??1A u?RLi?3??1A?3VR?RL12??3?例2-3 电路如图2-7(a)所示。已知iS1=10A, iS2=5A, iS3=1A,G1=1S, G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。

图2－7解：为求电流i1和i3，可将三个并联的电流源等效为一个电流源，

iS?iS1?iS2?iS3?10A?5A?1A?6Ai1?i3?

G11iS??6A?1AG1?G2?G31?2?3?G3?3iS??6A??3AG1?G2?G31?2?35

其电流为

得到图(b)所示电路，用分流公式求得： 三、含独立电源的电阻单口网络

一般来说，由一些独立电源和一些线性电阻元件组成的线性电阻单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联，或者

等效为一个线性电阻和电流源的并联。可以通过计算端口VCR方程，得到相应的等效电路

例2-4 图2-8(a)单口网络中。已知uS=6V，iS=2A，R1=2W,R2=3W。求单口网络的VCR方程,并画出单口的等效电路。

图2－8

解：在端口外加电流源i，写出端口电压的表达式

u?uS?R1(iS?i)?R2i ?(R1?R2)i?uS?R1iS ?Roi?uoc其中:

Ro?R1?R2?2??3??5?

uoc?uS?R1iS?66 V?2??2A?10V根据上式所得到的单口等效电路是电阻Ro和电压源uOC的串联，如图(b)所示。

例2－5 图2-9(a)单口网络中,已知uS=5V,iS=4A,G1=2S, G2=3S。求单口网络的VCR方程,并画出单口的等效电路。

5S 1

图2－9

解:在端口外加电压源u，用2b 方程写出端口电流的表达式为

i??iS?G2u?G1(u?uS) ?(G1?G2)u?(iS?G1uS) ?Gou?isc其中:

Go?G1?G2?2S?3S?5Sisc?iS?G1uS?4A?2S?5V?14A根据上式所得到的单口等效电路是电导Go和电流源iSC的并联，如图(b)所示。

例2-6 求图2－10(a)和(c)所示单口的VCR方程，并画出单口的等效电路。

图2-10

解：图(a)所示单口的VCR方程为

u?uS???i??根据电压源的定义，该单口网络的等效电路是一个电压为uS的电压源，如图(b)所示。

图2-10

i?iS7

???u??图(c)所示单口VCR方程为 根据电流源的定义，该单口网络的等效电路是一个电流为iS的电流源，如图(d)所示。

四、含源线性电阻单口两种等效电路的等效变换

含源线性电阻单口可能存在两种形式的VCR方程，即

u?Roi?uoc (2-6)i?Gou?isc (2-7)相应的两种等效电路，如图(a)和(c)所示。

式(2-7)改写为

u?Roi?uoc (2-6)11u?i?isc (2-8) i?Gou?isc (2-7)GoGo令式(2－6)和(2－8)对应系数相等，可求得等效条件为

GoRoocoscscR? u?Ri 或 i?oc1uo单口网络两种等效电路的等效变换可用下图表示。

例2－7 用电源等效变换求图2-12(a)单口网络的等效电路。

将电压源与电阻的串联等效变换为电流源与电阻的

8

将电流源与电阻的并联变换为电压源与电阻的串联

图2-12

9

五、用单口等效电路简化电路分析

假如图2-13(a)所示电路N能分解为图2-13(b)所示的两个单口网络的连接，就可以用单口的等效电路来代替单口Nl(或N2)，使电路的支路数和结点数减少，从而简化电路分析。

图2-13

由于单口与其等效电路的VCR方程完全相同，这种代替不会改变电路其余部分N2(或 Nl)的电压和电流。当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种方法来简化电路分析。现举例加以说明。

例2－8 求图2-14(a)电路中电流i 。

图2-14

解：可用电阻串并联公式化简电路。具体计算步骤如下：

4(3?1)??2?4?3?1Rbd?先求出3?和1?电阻串联再与4?电阻并联的等效电阻Rbd 得到图(b)电路。再求出6?和2?电阻串联再与8?并联的等效电阻Rad

Rad?

10 8(6?2)??4?8?6?2

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