关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例（曹文红）

关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例

湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红

?问题背景

?

圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。

?案例实录

?

1、 创设情景，提出问题

师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点M(4,2)是直线l被椭圆

x2y2??1所截得的线段的中点，求直线l的方程。 369问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。

2、 自主探索，暴露思维

学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：

生1：解：设直线l与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?4y1?36，

22x2?4y2?36，

22两式相减，得：?x1?x2??x1?x2??4?y1?y2??y1?y2??0， 因为M(4,2)为AB中点，所以有： x1?x2?8,所以kAB?y1?y2?4，

y1?y2?(x1?x2)1???，故所求直线l的方程为

x1?x24(y1?y2)21y?2??(x?4)，即x?2y?8?0 。

2师：很好！先求直线斜率，过程非常简捷。同学们还有没有其他的方法？ 生2：有，显然直线l斜率存在，设其斜率为k，则所求直线方程为

y?2?k(x?4)，联立椭圆方程消去y并整理可得1(4k2?1)x2?8k(4k?2)x?4(4k?2)2?36?0，由韦达定理求得k??，

2再求出直线l的方程。不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦。

师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”。其中联立直线与椭圆方程消去y（或

x）再由韦达定理求出k虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下

优先考虑“点差法”。那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？

y2?1，问是否存在被我们再来看看问题2：已知双曲线的方程为x?22点M(1,1)平分的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，说明理由。 （片刻后）生3：（上台板书）解：假设存在被点M平分的弦AB，设

yy2A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 x1?1?1，x2?2?1，相减得：

22222?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，

2因为M?1,1?为AB的中点，所以有： x1?x2?2,所以kAB?y1?y2?2，

y1?y2?2，故所求直线l的方程为y?2x?1。

x1?x2师：还是用“点差法”先求直线斜率，过程和问题1完全类似。那么是否无论题目中是椭圆或者双曲线，对此类问题都是这样求解的呢？

3、 辨析错误，归纳结论

生4：老师，我通过画图，发现直线y?2x?1跟已知双曲线没有交点，是不是我画图不准确啊？不过我画了好几遍呢。会不会是这样的直线根本就不存在呢？

师：真的是画图不准确吗？大家再换个角度想想看，除了画图外，我们还有没有别的办法来判断直线y?2x?1是否为我们要求的直线呢？ （片刻后）生5：可用“联立法”并结合?来判断。我的解法是：假设符合条件的直线存在，则它显然不与y轴平行，故可设其方程为：

y?1?k?x?1?，代入双曲线方程化简整理得：

?2?k?x??2k222?2kx?k2?2k?3?0 ①

?又设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两实根，

2k2?2k?2 ，可解得k?2，但此时方程①中由韦达定理有x1?x2?2k?2???8?0，说明直线与双曲线无交点，故被点M(1,1)平分的弦不存在。

师：很好！刚才两位同学都很善于思考：一位同学通过画图发现了直线与双曲线无交点；另一位同学用代数方法验证了所求直线y?2x?1与双曲线确实没有公共点，即符合题意的直线不存在，这就启示我们以后在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时，要注意运用?对所求得结果进行检验。同学们再考虑一下，前面的问题1是否也需要验证??0？

生6：需要。经过验证，??0成立，说明所求直线x?2y?8?0符合题意。

x2y2??1内部，生7：可不需验证??0。因为点M(4,2)显然在椭圆

369故过点M的直线x?2y?8?0与椭圆必定有两个交点。

师：假如点M在椭圆的外部呢？

生7：这时点M不可能是椭圆的弦的中点，这样的直线不存在。

师：问题2是否也可以不验证??0而只需通过点M与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢？

（思考片刻后）生7：可以。如果点M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证?；如果点M在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证??0。 师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证??0是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。 4、深入探究，正本清源 生3：老师，我还是不明白，为什么在问题2中直线y?2x?1不符合题意，却又能够被我们用“点差法”求出来？ 师：问得好，我们在学习中就需要这种“打破砂锅问到底，不达目的不罢休”的精神。下面请大家继续探究，一起来解决这个问题好吗？ （学生分组进行讨论，教师给予适当指导，最后教师进行总结）

师：对于问题2，直线与双曲线的交点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标需要满足方程组（Ⅰ）；而使用“点差法”求斜率时，A(x1,y1),B(x2,y2)两点坐标只需满足方程组（Ⅱ）。其中：方程组（Ⅰ）

(y1?y2)(y1?y2)?2y12?x??1(x?x)(x?x)??0?1212?122??2?2y2?x1?x2x2??1；??1 方程组（Ⅱ） ??22???x1?x2?1?y1?y2?2?1?2???y1?y2?1??2显然方程组（Ⅰ）的解必然满足方程组（Ⅱ），而反之却不一定满足。问题2中方程组（Ⅱ）有解但方程组（Ⅰ）却无解，也就是满足条件的点A,B并不存在。而在用“点差法”求解的过程中对坐标的要求降低（只需满足方程组（Ⅱ）即可），因此会出现增根的现象。故“点差法”只是求中点弦的必要条件，必须还要验证是否符合题设条件。 5、留下问题，课后探究

探究到这里，很快就要下课了。为进一步激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考，我又向学生提出了一个思考题，让学生带着问题走出课堂。 师：本节课，我们主要研究了利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题。通过大家的努力，不仅掌握了用“点差法”求直线斜率的方

法，而且了解到中点弦是否存在只与中点（定点）的位置有关，并对于所求结果是否为增根找到了两种检验方法。希望同学们牢记“点差法”要诀：“设点作差，验证?”。另外，使用“点差法”，我们还可以证明与椭圆、双曲线的中点弦相关的一些有用的结论，如：若AB是椭圆

x2y2?2?1(a?b?0)中不平行于坐标轴的弦，M为弦AB的中点，则2abkOM?kABb2??2；在双曲线中也有类似结论，建议同学们课后进一步探究。

a?教后反思

?

利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程，是在学习完圆锥曲线的相关内容后的一节解析几何习题课。本节课从常见的两道例题入手，从引导学生发现问题起，自然引出了椭圆、双曲线的中点弦是否存在的问题，并让学生直接参与探究过程。通过对例题的讲评，纠错，教师恰当点拨引导，学生活动积极充分，使学生在亲身体验中不仅加深了对椭圆、双曲线知识的认识，而且能够进一步理解和掌握解析几何的基本思想方法，使学生在学习数学的过程中培养了思维能力。特别是在探究的过程中突出了数形结合的思想方法，学生既有从形入手，观察图形，并大胆猜想得出规律的；也有从数入手，定性分析，用代数计算验证结论的，做到了既重几何直观又重代数推理，使之有机融合，条理化的呈现，探究逐步深入。最后把对椭圆、双曲线中点弦问题的研究推向一般化，不仅实现了教学任务，而且所得结论对于学生系统掌握直线与圆锥曲线的中点弦问题具有一定的指导意义。

高中数学课程标准明确指出：数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容。对教师来说，探究什么？如何探究？在探究过程中教师和学生分别扮演什么样的角色？??，等等问题，值得我们教师进行深层次的思考。通过本次教学尝试，我深刻体会到对习惯于“照本宣科”、灌输式教学的我们来说，要充分相信学生的智慧和能力。与其教师讲得口干舌燥，部分学生无动于衷；不如调动学生直接参与，让学生亲身体验探究学习的过程，从而激发学生的学习积极性和主动性，使学生在教学中由被动的知识接受者转变成为知识的共同建构者。与此同时，注意充分发挥教师在探究学习中的支持与引导作用，做到教学相长。

二OO八年十一月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zvgf.html