1-1一维布劳维尔不动点

1．一维的布劳威尔不动点定理

不需要任何高深的数学知识，仅凭常识就可判明以下这个最基本的最简单的不动点定理：

定理1.1 设f(x)是定义在[0，1]上的连续函数，且满足0≤f(x)≤1，则必存在x0∈[0，1]，使f(x0)=x0.

证 作函数 F(x)=f(x)-x．如F(0)＝0或F(1)=0，则0或1即为定理要求的x0，定理已成立(此时将有f(0)=0或f(1)=1)．由条件 0≤f(x)≤1知 F(0)＝f(0)≥0，F(1)＝f(1)-1≤0．故只需再在F(0)＞0和F(1)＜0的情形下证明定理．

由于f(x)是连续函数，故F(x)也是连续函数．因此当x由0出发变到1时，F(x)将从正值F(0)连续地变到负值F(1)，所以必至少有一点x0，使F(x0)＝0*．这正是f(x0)＝x0．

现在我们对这一定理作些说明．

(1)一个将某集A映到自身中的映射称为自映射．定理1.1中的f是集合[0，1]上的自映射．

个不动点．不动点不必唯一，如图1.1中就画了三个．

(3)本书中我们主要观察欧氏空间，数轴是一维欧氏空间R1，数轴上的点可和全体实数一一对应．数轴上两点A和B的距离定义为与这两点对应实数a和b之差的绝对值：

d(A，B)=｜a－b｜．

具有笛卡儿直角坐标的平面，是二维欧氏空间R2．平面上的点P和一对有序坐标(x，y)一一对应．平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的加法、数乘和距离分别定义为 (x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)

称为f在A中的一

λ(x，y)(λx，λy)λ是实数

同样可定义三维欧氏空间．它由三元有序数组(x，y，z)组成，和平面上类似地定义加法、数乘和距离．

一般地，我们定义n维欧氏空间Rn如下：

Rn由n元有序数组(a1，a2，…，an)所组成，其中的加法，数乘和距离分别定义为 A+B＝(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn) ＝(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)． λA＝λ(a1，a2，…，an) ＝(λa1，λa2，…，λan)

其中A=(a1，a2，…，an)，B=(b1，b2，…，bn)．

相当于向量的平面四边形加法及向量的放大．而点间距离，即相应向量之差的长度．向量的乘法在这里不予讨论．

(4)Rn中的单位球是指{x∈Rn：d(0，x)≤1}，记为Bn，它的边界

(5)定理1.1中的闭区间[0，1]可改为[-1，1]，结论及证法均可不变．这时定理1.1可说成：

R1中单位球B1上的任何连续自映射必有不动点．

(6)定理1.1的证明中，有一处用了连续函数的性质，它的详细说明请见下一节．

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