坐标变换基础

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换（也称Clarke变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r变换（也称Park变换）。

坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。

3.2.1坐标变换的基本思路

不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。 众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A、B、C中，通以三相平衡的正弦电流ia，所产生的合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即ib，ic时，电流角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。

qAOiaF?dificC

图3.3 二极直流电动机的物理模型

F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

?B?1FibAOCC?1Fi??AOB?i?iciaFq??a??1d?b?ditqOim?c?图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型

（a）三相交流绕组 （b）两相交流绕组 （c）旋转的直流绕组

然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F。当图3.4a和b的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b的两相绕组与图3.4a的三相绕组等效。

再看图3.4c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d和q，其中分别通过以直流电流id和iq，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a和图3.4b中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察着也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，d和q是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通?的位置在d轴上，就和图3.3的直流电机物理模型没有本质上区别了。这时，绕组d相当于励磁绕组，q相当于伪静止的电枢绕组。

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图3.4a的三相交流绕组、图3.4b的两相交流绕组和图3.4c中整体旋转彼此等效。或者说，在三相坐标系下的ia，ib，

ic和在两相坐标系下的i?、i?以及在旋转两相坐标系下的直流id、iq都是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。有意思的是，就图3.4c中的d、q两个绕组而言，当

观察着站在地面上去看，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电动机的物理模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到id、iq之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。

3.2.2三相-两相变换（3s/2s变换）

现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s变换。

图3.5中绘出了A、B、C和α、β两个坐标系，为方便起见，取A轴和α轴重合。设三相绕组每项有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数位N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此

?BN3iBN2i?600?600ON2i?N3iAAN3iCC 图3.5 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

N2i??N3iA?N3iBcos600?N3iCcos600

11???N3?iA?iB?iC? （3.6）

22??N2i??N3iBsin600?N3iCcos600

?3N3?iB?iC? （3.7） 2写成矩阵形式，得

1?1??i??N3?2???i?3???N2?0??21??iA??2???iB （3.8） 3??????iC??2???功率不变时坐标变换阵的性质：设在某坐标系下各绕组的电压和电流向量分别为

u和i，在行新的坐标系下，电压和电流向量变成u?和i?，其中

?u??u1???i??i1???u???u1????i???i1u2…un?i2…in?TTT?…un??u2?…in??i2T （3.9）

定义新向量与原向量的坐标变换关系为

u?Cuu? （3.10） i?Cii? （3.11）

其中Cu和Ci分别为电压和电流变换阵。 当变换前后功率不变时，应有

p?u1i1?u2i2?…?unin?iTu?i1??u2?i2??…?u?????u1nin?iu将式（3.10）、式（3.11）带入（3.12），则

T （3.12）

iTu??Cii??Cuu??i?TCiTCuu??i?Tu? （3.13）

TCiTCu?E （3.14）

其中E为单位矩阵。式（3.14）就是在功率不变条件下坐标变换阵的关系。 在一般情况下，为了使变换阵简单好记，电压和电流变换阵都取为同一矩阵，即令

Cu?Ci?C （3.15）

则式（3.14）变成

CTC?E （3.16）

或

CT?C?1 （3.17）

由此可得如下结论：当电压和电流选取相同的变换阵时，在变换前后功率不变的条件下，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。

功率不变条件下的3s/2s变换及匝数比：在两相系统上认为地增加一项零轴磁动势N2i0，并定义为

N2i0?KN3?iA?iB?iC? 式（3.8）所表示的三相电流/两相电流变换式为

??i1?1???N3?2?1?2??iA??i?????N2??3??i??02?3??B 2???i??C??把零轴电流也增广到变换式中，即得

??1?1?1???22??i??3??iA??iA??i??N3??0?3?????i22?i??B?C3s/2s?i?B 0??N2???KKK??????i?C?????iC?????式中

??1?1?1??22?C333s/2s?N?N?3??2?0?22? ?KKK??????这是增广后三相坐标系变换到两相坐标系的变换方阵。 满足功率前后不变条件时，应有

??10K??C?1?CT3s/2s3s/2s?N?3?13?N??2?22K?? ?????12?32K???（3.18）

（3.19） （3.20） （3.21） （3.22）

显然，式（3.21）和式（3.22）两矩阵之积应为单位阵

C3s/2sC3?s1/2s??12??N????3??0?N2???K???3?22??N3?? ????0?N2??0????1232K1??2??1??3??1????22??K??1?????2?0323?2?K?? K???K????0??30???203K2????020??103?N3??0??E ???01?2?N2?2??002K??2因此

3?N3????1 （3.23） 2?N2?则

N32 （3.24） ?N23这表明，要保持坐标系变换前后的功率不变，而又要维持合成磁链相同，变换后的两相绕组每相匝数应为原三相绕组每项匝数的2倍。与此同时 32K2?1或K?1 （3.25） 2把（3.24）代入（3.8）中，得

1?1??i??2?2???i?3?3???0??21??iA??2???iB （3.26） 3??????iC???2??令C3s/2s表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则

C3s/2s1?1?2?2??3?30??21?2?? （3.27） 3??2???3.2.3两相-两相旋转变化（2s/2r）

?q?1?Fs?isi?iqiqcos??idd?s?i?idcos?idsin??iqsin?

图3.6 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量

图3.4b和图3.4c中从两相静止坐标系α、β到两相旋转坐标系d、q的变换称作两相-两相旋转变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一起，即得图3.6。图中，两相交流电流i?、i?产生同样的以同步转速?1旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

在图3.6中，d、q轴和矢量Fs?is?都以转速?1旋转，分量id、iq的长短不变，相当于d、q绕组的直流磁动势。但α、β轴是静止的，α轴与d轴的夹角?随时间而变化就，因此is在α、β轴上的分量i?、i?的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，i?、i?和id、iq之间存在下列关系

?i??idcos??iqsin? （3.28） ?i?isin??iscos?q??d写成矩阵形式，得

?id??i???cos??sin???id??i?????i??C2r/2s?i? （3.29）

sin?cos???q??????q?式中

?cos??sin?? （3.30） C2r/2s????sin?cos??是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。

对式（3.29）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得

?id??cos??i????q??sin??sin???i???cos??i???cos????????sin??1sin???i???i? （3.31） cos??????则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵势

?cos?sin??C2s/2r??? （3.32） ?sin?cos???电压和磁链的旋转变换阵也是与电流（磁动势）旋转变换阵相同。

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