运用等价无穷小求极限的新技巧

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自然科学

运用等价无穷小求极限的新技巧

江枫

（宁德职业技术学院福建福安３５５０００）

［摘要］众所周知，在求极限过程中和差是不能用等价无穷小替换的。因此，补充一些新的等价无穷小。同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的和差极限问题，通过恒等变形的方法直接转化成能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步。

［关键词］极限等价无穷小替换

中图分类号：０１５文献标识码ｌ＾文章编号：１６７１－－７５９７（２００９）１１１０００１－－０２

一、撕的等价无穷小

注意：当Ｂ（ｘ）＿Ｏ

Ｉｊ

Ａ（ｘ）Ｂ（ｘ）ｊｏ时，把定理中的Ｘ换成Ｂ（ｘ）

在一般的‘高等数学》教材中往往只给出下列几个等价无穷小。当

结论仍成立

．

１

１ｉＰ［１＋口（Ｊ）］州“一１：Ａ（工）曰（工）

（１）ｓｉｎ工：Ｊ（２）ａｒｃｓｉｎｘ：工（３）ｔａｎ，ｘ：工“）１一ｃｏｓｘ：二，

２

（５）￡。－１：工

（６）口。－１：ａ。ｌｎａ（ａ＞０）

（７）ｌｎ（１＋工）：ｚ

［１＋Ｂ（Ｊ）］州“－１－Ａ（ｘ）Ｂ（工）：去Ｂ（工）２ＥＡ２（工）一Ａ（ｘ）］

（８）（１＋工）４一Ｊ

ｎ疆：（口为常数）

由于利用等价无穷小求极限可以大大简化计算过程，只掌握上述八个例如：求ｍｎ—ａ—＋—ｘ）丁ｓ一－ａｘ（ａ；ｅ０）

实上利用泰勒公式就可以构造出一系列新的等价无穷小。如：当工＿÷０时：

（９）ｓｉｎ毒一工：一三，

∞ａＩｃｓｉｎ工一毒：！，

解腓掣’．毕１＋－１叫枷即，：言

６

６

当茗－÷ｏ时，Ｂ（ｘ）＿÷０ Ａ（工）曰（ｘ）＝三一ｏ

ＯＤｌ一Ｃ０８工一！Ｊｒ２：一ｊ一．∥ｏ乃ｔａｎ石一工：三，

２

２４

３

Ｏ西ｔａｎ工一工一三ｊｒ３：三，∞矿一ｌ一毒：三，

． ．（ ＋言］。一 ：Ａ（工）曰（工）＝｛；

亡

龇（１＋工）一工ｊ一三，∞（１＋工＊－１－锨：堕业２

ｚ２

故原式＝Ｌｉｍａ。ａ．＝二：、新技巧运用举例

等等。

有了上述十六个等价无穷小，我们就可以通过恒等变形的方法，把不当然还可以构造出更高阶的等价无穷小，但上述十六个等价无穷小已能用等价无穷小替换的和差极限问题转化为能用等价无穷小替换，这种技巧的理论依据如下：

有许多人常常想把（８）、∞中的常数口换成函数Ａ（ｚ），是否仍是等价

“（Ｊ）＝，（ｚ）＋占（Ｊ）

１．若ｌｉｍｆ（ｘ），ｌｉｍｇ（工）都存在且有限，贝，Ｊｌｉｍｕ（ｘ）也存在且有限。，

１１

如取口＝一Ｊ１．，∥一１＝（１＋工１：一ｅ—ｌ（当Ｊ—Ｏ时），显然∥一１不

２．若ｌｉｍ，（工）存在但ｌｉｍｇ（工）不存在，则ｌｉｍ“（工）也不存在。

’

’

工

例１．１ｉｒａ—ｅ。—＋—ｅ－－＊－２

但当ｌ，ｉｍｒａｘａ（ｘ）＝ｏ时，却有类似的结论：

解

当Ｊ－÷ｏ时．ｔａｌｌｘ：毒，矿一１一工：三，，口一一１＋工：三，

定理当ＪｉｍｘＡ（工）；０时；

故原式＝Ｌ————Ｌ÷————』＝ｌｉｍ—７

（１）（１＋石）州“一ｌ：ｘＡ（ｘ）

故原式：￡二型±』：二兰：拳—一：ｌｉｍｏ十ｌ妇乓：１

土矿

三。：

（２）（１＋Ｊ）¨－１＿柏（Ｊ）：‘ｉＩ工２［Ａ２（工）一Ａ（工）］

证明：令），＝（１＋工）州对。贝，Ｊｈ，Ｙ＝ａＣｘ）ｌｎＯ＋ｘ），利用当工＿÷ｏ时之，

ｌｎ（１＋工）：工知，Ｉｎｙ－－）Ｏ，ｙ－－－）Ｉ。因此（１＋工）州“一ｌ是无穷小。

例２：ｌｉｒａ竺罢

’（１＋ｘ尸；ｅ州－（一叫：ｅ嘶‘｛叫列

解

当Ｊ－＇０时，ｅ中一ｌ＋三，：！ｆ一三，１２：三，

当Ｊ－＇时，

２一ｌ＋二，：二ｌ一二，Ｉ＝二ｒ＝ｌ＋，融（工）＋寺工２（Ａ２（Ｊ）一Ａ（工））＋。ＸＡ２（石）－ｘＺＡ（Ｊ））

ｃｏｓ工一ｌ＋三工２：—Ｌ，

２

２４

显然有（１＋工）¨－１．髓（工），（１＋工）ｍ！－１＿姐（工）：丢，［Ａ２（工）

故腓ｅｏｓｘ－ｌ；＋ｌｘａｔｉｍ故原式＝；。——■７一一磐——■万。Ｌ

也攀

，

万方数据

毒＿０时：

等价无穷小还远不能发挥其作用，因此有必要补充一些新的等价无穷小．事（口为常数）

足够应付一些常见的极限问题。

无穷小？回答是否定的。

是无穷小．

－Ａ（ｘ）］

自然科掌

弘渊

２４

８

１２

３

●Ｉ§：

：土一三：一土

：晚Ｉ

ｚ求ｌｉｍ—ｅ。—ｓｉ—ｎ

解

ｘ—－Ｔｘ—（１一＋ｘ）

当ｘ＿÷ｏ时，ｓｉｎ工一工：一三６，，矿一ｌ州丢矿

ｉ ＋０

２

（１一ｃｏｓ工）２：一去，

２４，

ｌ—ｃｏｓ工一三ｘ２：一ｉｘ＇２

。；。。一ｅｘ（ｓｉｎｘ—Ｊ）＋（矿一ｌ—ｘ）Ｊ故原式＝姆—————－二了Ｌ———上

＝鳃掣堇卜

１一

咖ｚｘ－－，＝（咖工＋工）（ｓｉＩｌ工一ｘ）：一｝

曲晤｝一１：。ｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ）－ｓｉｎ２工

Ｊ—坩

ｔ’

＋

ｌ—＋０

ｆ

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故原式２卿————ｊ＿—一

一Ⅱｍ

Ｊ—＋Ｏ

：一！＋三：三

６

２

例４：求ｌｉｍ竺鱼竺三上驾蜊

３

解当工＿ｏ时，ｔａｎ（ｔａｎ工）一ｔａｎ工：三ｔａｎ３工：三，

—ｌｉｍ

Ｊ．．“）

ｓｉｎｉｓｉｏｘ）一ｓｉｎ工：一丢甜工：一吉，，ｓｉｎｘ：ｘ， 一ｃｏｓ工：三≯

故原式：ｌｉｒａｔａｎ（ｔａｎｘ）－．ｔａｎｘ．一ｌｉｍＳｉｎ（ｓｉｎｘ）－．ｓｉｎｘ斗ｌ

＋卿等乒

Ｊ—柚

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＝ｔ，ｉ枷ｍ咖３币磊ｉ—ｌ，ｉ卅ｍ五栖“

兰ｒ３ｃｏｓ

ｚ

ｘ训ｔａｌｌＸ—Ｓｍ工

ｏ—棚ｔａｌｌ工一Ｓｉｌｌ石

ｘ

一三ｒ３ｃｏｓ

＝枷丁一６粤争－２觋镏ｌｉｍ害２蚀李之觋

法则求解则相当繁琐，读者不妨比较一下。用面也很广．

一！，

＋ｌｉｒａ』ｒ

ｒ

ｊ—ｍ

此题为１９８３年北京大学基础数学等专业硕士生入学试题，若用罗必塔笔者用这种方法做过大量的习题，发现这种方法不但简单快捷而且适

＝姆ｔ—Ｊ，ｉ川ｍ』Ｔ！－＋ｌ

！≯ｃｏｓ驴三工

ｒ

一！ｐｃｏｓ

ｒ

驴叫２

：兰＋三＋１：２

３

３

参考文献：

［１］华中科技大学数学系编，微积分学［Ｍ］．４Ｂ京ｔ高等教育出版社，２００２．

［２］清华大学科学系，微积分［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４．

例５：求ｌ，ｉ—ｍｌ工Ｆ。ｌｎ（１＋ｓｉＩｌ２ｘ）一６（剖互丽一１）］

ｒ８，１１１（１＋咖２茗）一ｓｉｎ２工：一三（ｓｉｎ２工）２：一三一（２一ｃｏｓ工）＿１一ｌ一三（１一ｃｏｓｚ）＝［１＋（１一ｃ。ｓ工），１一ｌ一号（１一ｃｏｓ工）

解当ｚ－，Ｏ（上接第１０６页）

是相当有效和精确的。在众多因素中，桥梁的跨度、桥梁形式以及车辆的速度和刚度对桥粱动力响应有着重要的影响。实际上，车辆可以在横桥向任意位置，扭转和横向振型对桥梁的动力响应影响也很大，所以这一模型有很大的局限性。

２．格排梁模型。为克服杆系单元的不足，许多学者进行了深入地探讨，以寻求一种更加符合实际的模型来模拟桥梁结构。谭国辉［４］提出了一种可真实代表原结构布置和备种支撑情况的格排梁模型（见图７）．该模型将桥梁上部结构离散化为一组格排粱单元集合，由纵向粱单元（主粱）和横向粱单元（隔板）组成。粱单元假定为沿单元全长均匀同性等截面．与结点刚接或铰接。结点可承受外荷载作用和位移约束。格排模型的精度、简单性和分析速度使得它作为桥梁的分析模型十分适合。

圈．一体质量对耩合摄动的影一

移动速度相同，质最不同的刚体在粱上行驶过程中，质量越大，其刚体振幅越大，而且其振幅和质量成正比，这可由振动微分方程中，质量只作为常系数变量来解释。此外刚体质量越大，剐体振动周期逐渐退化，表现为振动平均周期变大。当高速车辆（特别是质量较大的车辆）行驶在桥面上时，车一桥所构成的统一的动力学系统中，质量分布随时间的变化而迅速变化，其耦合动力效应在车一桥动力学系统中起着不可忽视的作用．尽管如此，车一桥耦合振动分析在国内外仍处于起步阶段。虽然，目前国内外研究中常常把车辆当作一个振动系统，考虑车辆作为一个三维或二维的弹性

【３】徐利治编著，数学分析的方法及例题选讲［Ｍ］．大连：大连理工大学出

版社，２００７．

作者简介：

江枫（１９６２－），宁德职业技术学院高级讲师。研究方向。高职数学教学

与研究。

体，有弯曲刚度和扭转刚度。但是。对于大跨、索支撵和柔性桥梁。车辆本身的振动对车一桥动力系统来说是可以忽略不计的。

经计算，此时有无离心力与哥氏力在振幅计算结果中的差距还不到ｌ‰，可以忽略不计。

五、息翁

近年来，随着交通事业和桥梁结构的发展，桥粱的动力响应越来越多的制约着桥粱的安全和使用。因此关于公路桥粱在移动汽车荷载作用下的研究受到桥梁工程师的广泛关注。随着计算机技术和数值分析理论的发展，以及广大桥梁研究者的不断探索与努力。公路车桥耦合振动研究必将日益走向完善和成熟。

参考文献：

［１】王永平．陈彦江，付金科．单车荷载下简直粱的动力特性和响应的试验研究［Ｊ】．土木工程学报，１９９５，２８（５）｛３９－４５．

［２］Ｔａｎ

ａｎａｌｙｔｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

Ｇ

Ｈ

Ｂｒａｍｅｌｄ

ｆｏｒ

Ｇ

Ｈ。Ｔｈａｍｂｉｒａｔｎａｍ

ＤＰ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆ

ａｎ

ｍｏｄｅｌ

ｔｒｅａｔｉｎｇｂｒｉｄｇｅ—ｖｅｈｉｃｌｅＩｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ［Ｊ】．

Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９８。２０（１）：５４－６Ｉ．

［３】谭国辉．桥梁与车辆相互作用的系统模拟［Ｊ】．土木工程学报。１９９６，

２９（３）ｌ

３４—４ｌ－

万方数据

运用等价无穷小求极限的新技巧

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

江枫

宁德职业技术学院,福建,福安,355000硅谷

SILICON VALLEY2009，""(21)0次

参考文献(3条)

1.华中科技大学数学系 微积分学 20022.清华大学科学系 微积分 2004

3.徐利治 数学分析的方法及例题选讲 2007

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