湖南省师大附中2018届高三月考试卷（七）数学（理）试卷（含答案）

湖南师大附中2018届高三月考试卷(七)

数 学(理科)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

222

(1)已知集合A＝{x|（x－1）＋y＝1，x∈R}，B＝{y|y＝1－x，x∈R}，则A∩B＝(B) (A)[0，2] (B)[0，1] (C)(－∞，0] (D)[1，＋∞)

【解析】A＝[0，2]，B＝(－∞，1]A∩B＝[0，1].

(2)已知复数z满足(1－i)z＝2i，且z＋ai(a∈R)为实数，则a＝(C) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2

【解析】由(1－i)z＝2i，解得z＝－1＋i，故z＋ai＝－1＋(a＋1)i为实数时，a＝－1.

(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝1，a1－S4＝9，则数列{Sn}中的最小项为(B) (A)S1 (B)S5，S6 (C)S4 (D)S7

??a1＋6d＝1，

【解析】令等差数列{an}的公差为d，则?解得a1＝－5，d＝1，

??a1－4a1－6d＝9，

有an＝n－6，Sn＝

n

n（n－11）

，则当n＝5或6时，Sn最小． 2

1

x－?的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k(4)已知??x?项，则k＝(A)

(A)5 (B)4 (C)4或5 (D)5或6

1?n

?【解析】?x－x?的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，∴n＝2＋5＝7，第r＋1项的系

r

数为Tr＋1＝C7(－1)r，r＝4时Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第5项．

(5)执行如右图所示的程序框图，若输入a＝7，b＝1，则输出S的结果是(D) (A)16 (B)19 (C)34 (D)50

【解析】第一次a＝7，b＝1，S＝7， 第二次a＝6，b＝2，S＝19，

第三次a＝5，b＝3，S＝34，第四次a＝4，b＝4，S＝50后，程序结束．

(6)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出两个数字作和，则使得和为偶数的概率值为(C)

12(A) (B) 3345(C) (D) 99

2

C24＋C54

【解析】p＝＝. 2C99

π

(7)为得到函数y＝cos?2x＋?的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(C)

3??

55

(A)向左平移π个长度单位 (B)向右平移π个长度单位

6655

(C)向左平移π个长度单位 (D)向右平移π个长度单位

1212

5ππx＋π?＝cos?2x＋?. 【解析】∵y＝sin 2x＝f(x)＝cos?2x－?，∴f??12?2?3???

(8)一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(D)

【解析】分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.

x2y2

(9)已知A是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双

ab

→→

曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得GA＝λPF1，则双曲线的离心率为(A)

(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关

【解析】由题意，PG＝2GO，GA∥PF1，∴2OA＝AF1，∴2a＝c－a，∴c＝3a，∴e＝3.

f（2）

(10)已知对任意的x∈(0，＋∞)，函数f(x)满足：0

f（1）

(A)(2，4) (B)(1，2) (C)(0，1) (D)(0，2)

f（x）xf′（x）－f（x）

【解析】令g(x)＝(x∈(0，＋∞))，则g′(x)＝>0，于是g(x)在(0，＋∞)上

xx2单调递增，

f（2）f（1）f（2）

故有g(2)>g(1)，即>，也就是>2；

21f（1）

f（x）xf′（x）－2f（x）

再令h(x)＝2(x∈(0，＋∞))，则h′(x)＝<0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调

xx3递减，

f（2）f（1）f（2）

故有h(2)

21f（1）

→→→→→→→＝→＝1，DA(11)已知平面上四点A、B、C、D满足DA·DB＝0，DB·DC＝λ，DC·DA＝－DB

1－λ2，其中λ∈[－1，1]，则△ABC面积的最大值为(C)

2＋13＋13

(A) (B)1 (C) (D) 222

||||

【解析】由已知条件可建立直角坐标系如图所示， D(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，令∠BDC＝θ， 则∠ADC＝270°－θ或90°－θ，有

?||

?→→→|sinθ，DA）＝|DC?1－λ＝（DC·

→→2→cos2θ，λ＝（DB·DC）＝DC

2

2

2

22

2

→→→＝1，又因为DC故有DC·DA＝－

||

1－λ2<0，故点C在以D为圆心，1为半径的左半圆上，

从而，当点C在优弧AB上且该处圆的切线与AB平行时，△ABC面积取到最大值，此最大值为2＋1

. 2

(12)已知只有50项的数列{an}满足下列三个条件： ①ai∈{－1，0，1}，i＝1，2，…，50； ②a1＋a2＋…＋a50＝9；

③101≤(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2≤111.

22

对所有满足上述条件的数列{an}，a1＋a22＋…＋a50共有k个两两不同的值，则k＝(C) (A)10 (B)11 (C)6 (D)7

50－s－9

【解析】设a1，a2，…，a50中有s项取值0，由条件(2)知，取值1的项数为＋9，取值

2

50－s－9?50－s－9?

－1的项数为，再由条件③得101≤s＋4?＋9?≤111， 22??

2

解得7≤s≤17，又易知s必为奇数，故s＝7，9，11，13，15，17.它们对应6个不同的值a21＋a2

2

＋…＋a50＝50－s.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．

1(13)计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 370°＝____．

2(14)将1，2，3，4，5这五个数字任意排成一排即成一个五位数，若该五位数为偶数且2与3相邻，则这样的五位数的个数为__18__．

23

【解析】第1类，个位数为2，有A33＝6个；第2类，个位数为4，有A2A3＝12个．

y≤1，

2?

(15)已知实数x，y满足x－y－1≤0，则x2＋2y2的取值范围是__?【解析】作出可行?3，6?__．

x＋y－1≥0，

???

域为以A(1，0)，B(2，1)，C(0，1)为顶点的△ABC的边界及内部．

对任意固定的y∈[0，1]，下面分别求x2＋2y2的最小值与最大值：

1?2222222?x＋2y≥(1－y)＋2y＝3?y－3?＋≥，

33

x2＋2y2≤(1＋y)2＋2y2＝3y2＋2y＋1≤6.

(16)若存在x0∈(0，1)，使得(3－x0)eax0≥3＋x0(其中e为自然对数的底数)，则实数a的取值范2，＋∞?__. 围是__??3?【解析】∵存在x0∈(0，1)，使得(3－x0)eax0≥3＋x0，即ax0－ln(3＋x0)＋ln(3－x0)≥0. 令f(x)＝ax－ln(3＋x)＋ln(3－x)(x∈(0，1))，由于f(0)＝0，

66?2，3?， f′(x)＝a－，∈

9－x29－x2?34?2

若a≤，则f′(x)≤0，f(x)递减，有f(x)

33

若a≥，则f′(x)≥0，f(x)递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意；

423

若0，即f(x)在(0，t)上递增，有f(x)>f(0)＝0，符合题意．

2

，＋∞?. 综上，a∈??3?

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an－2Sn＝1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

2n＋1??2

(Ⅱ)设bn＝?n＋·a，求数列{bn}的前n项和Tn.

n（n＋1）???n

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