2018年齐鲁名校高考冲刺模拟考试理科数学试题（解析版）17

高考冲刺模拟试卷（一）

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集

（ ）

A. {3} B. {0，3，5} C. {3，5} D. {0，3} 2. 已知i为虚数单位，现有下面四个命题 p1：复数z1=a+bi与z2=－a+bi，（a，b

）在复平面内对应的点关于实轴对称；

p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数； p3：若复数z1，z2满意z1z2

，则z2=；

p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i. 其中的真命题为（ ）

A. p1，p4 B. p2，p4 C. p1，p3 D. p2，p3 3. 已知

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2

5. 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）

A.

页

B. C. D. 4

1第

6. 要使程序框图输出的S=2cos则判断框内（空白框内）可填入（ ）

A. B. C. D.

展开式的常数项，则

=（ ）

7. 已知等差数列的第6项是二项式

A. 160 B. －160 C. 320 D. －320 8. 将函数

的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右

的图象，则函数 C.

D.

在区间

上的对称中心为（ ）

平移个单位，得到函数A.

B.

9. 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，

且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2

10. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 11. 设直线

与椭圆

交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，

则直线CD的斜率为（ ）

A. － B. －2 C. D. －4 12. 若函数A.

页

2第

有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )

B.

C.

D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设命题14. 直线15. 设实数

满足

_____________________________________. 的倾斜角的取值范围是_______.

的最小值是________.

其中

16. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足

则△ABC和△AMN的面积之比为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）若数列

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，为棱PC上一点.

的通项公式；

，求数列

的前n项和Sn.

(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面PAD； (Ⅱ)

页

3第

试确定的值使得二面角-BD-P为60°.

19. 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表： 年龄 频数 [25，35) 5 [35，45) 5 2 [45，55) 10 8 [55，65) 15 12 [65，75) 5 4 [75，85) 10 5 了解《民法总则》 1

（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

页

4第

20. 已知椭圆

点，以A为圆心的圆与直线

的一个焦点与抛物线相交于P，两点，且

的焦点相同，A为椭圆C的右顶

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究值；若不是，说明理由.

21. 已知函数（Ⅰ）若直线

在B处的切线相互平行，求a的取值范围； （Ⅱ）设

在其定义域内有两个不同的极值点

恒成立，求的取值范围.

页

5第

成等比数列，

的值是否为定值，若是，求出此

且曲线

在A处的切线与

且若不等式

选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系

中，直线的参数方程为

以O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

与圆C交于点O，P，与直线交于点Q.

（Ⅰ）求直线的极坐标方程； （Ⅱ）求线段PQ的长度.

23. 【选修4－5：不等式选讲】 已知函数 （Ⅰ）求不等式（Ⅱ）若

页

6第

围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围.

的图像与直线

部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）

数学（理科）试题【解析】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集

（ ）

A. {3} B. {0，3，5} C. {3，5} D. {0，3} 【答案】D 【解析】因为全集

，

，所以

，故选D.

2. 已知i为虚数单位，现有下面四个命题 p1：复数z1=a+bi与z2=－a+bi，（a，b

）在复平面内对应的点关于实轴对称；

p2：若复数z满足(1-i)z=1+i，则z为纯虚数； p3：若复数z1，z2满意z1z2

，则z2=；

p4：若复数z满足z2+1=0，则z＝±i. 其中的真命题为（ ）

A. p1，p4 B. p2，p4 C. p1，p3 D. p2，p3 【答案】B 【解析】对于

与关于虚轴对称，所以错误；对于由

，则

，满足

，则为纯虚

，而它们实部不相等，不是共轭

数，所以正确；对于若

复数，所以不正确；正确,故选B. 3. 已知

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

或

是假命题，则非

使

是真命题，

，则是的充分不必要条件，故选A.

4. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，2）(>0)，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 【答案】B

页 7第

【解析】因为参赛学生成绩服从B.

，所以，故选

【方法点睛】本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题. 有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.

5. 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）

A. B. C. D. 4

【答案】C

【解析】由三视图可得该几何体是一个三组相等棱长相等的四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的长方体中，该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是，则最长的棱长为

，故选C.

，

，

【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6. 要使程序框图输出的S=2cos

则判断框内（空白框内）可填入（ ）

A.

页

B. C. D.

8第

【答案】B

【解析】要使程序框图输出的框内的条件，7. 已知等差数列

，则

，故选B.

=（ ）

均满足判断

不满足判断框内的条件，故空白框内可填入的第6项是二项式

展开式的常数项，则

A. 160 B. －160 C. 320 D. －320 【答案】D 【解析】二项式

展开式的常数项是由个和个相乘得到的，所以常数项为 所以

故选D. ... ... ... ... ... ... ... 8. 将函数

的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右

的图象，则函数

在区间

上的对称中心为（ ）

，由等差数列的性质可得

，

平移个单位，得到函数A. C.

B. D.

【答案】D 【解析】函数

平移个单位，得到函数令=

故所有可能的取值为

，故所求对称中心为

，故选D.

的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得

的图象，由

故

，再向右

，

9. 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，

且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D

【解析】不妨设点在渐近线过点P，得

,故选D.

10. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足

页

9第

上，设

=

又

，解得

，由以为直径的圆经

，则点到轴的距离为

则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】在知可得

迹一定通过三角形的重心，故选C. 11. 设直线

与椭圆

交于A、B两点，过A、B两点的圆与E交于另两点C、D，

中，由正弦定理得

，设

边上的中点为，由已

，故点的轨迹在三角形的中线上，则点轨

则直线CD的斜率为（ ）

A. － B. －2 C. D. －4 【答案】D 【解析】设直线与椭圆足的方程是：

所表示的曲线轨迹方程为是（的交点满足的方程为圆,设（

）（,化为

,因为以上方程表示圆，所以不含

项，12. 若函数A.

B.

,故选D.

有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) C.

D.

）（

）,则（）与椭圆

）（

）

的交点满

【答案】A 【解析】函数令则

，当时，恒有递增；

，令时，,则

递减；当

得

或递减，则

，且

有三个不同的零点，等价于

当

递增，则

时，

递减；的极大值为

有个不同解，时，令

，，则当时，

的极小值为

页 10第

结合函数图象可得实数的取值范围是

个不同的交点，方程零点，所以的取值范围是

时， 与的图象有三有三个不同的

有个不同解，函数

，故选A.

【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数

的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为

的交点个数的图象的交点个数问题 .

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设命题【答案】

的否定是

，故答

_____________________________________.

【解析】因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题案为14. 直线【答案】【解析】若

，则直线的倾斜角为

；若，故

.

的最小值是________.

.

的倾斜角的取值范围是_______.

，则直线的斜率

，综上可得直线的倾斜角的取

设直线的倾斜角为，则值范围是15. 设实数【答案】

,故答案为满足

【解析】

不等式组对应的可行域如图，令，则在点处取得最小值，

页 11第

在点处取得最大值，故的取值范围是，则=，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.目标函数较为复杂的问题，需要先变形再求解.

16. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足

则△ABC和△AMN的面积之比为_______.

【答案】 【解析】连接

并延长交

于，此时为

的中点，故

其中

，设 ，，，又，

解得则

，

，故答案为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在等差数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）若数列【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ)

的通项公式；

，求数列

. 中，

列出关于首项、公差的方程组，

可

的前n项和Sn.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列解方程组可得与的值，从而可得数列得

的通项公式；（Ⅱ）由(I)得，

的前n项和Sn.

，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列

的公差为d，则

所以

12第

试题解析：（Ⅰ）设数列由

页

（Ⅱ) 由(I)得，

① ②

①－②，得，

所以

【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列

是等差数列，

是等比数列，求数列

的

前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列作差求解, 在写出“”一步准确写出“

与“

的公比，然后

” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下

”的表达式.

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，为棱PC上一点.

(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面PAD； (Ⅱ)

试确定的值使得二面角-BD-P为60°.

的中点，连接

，由三角形中位线定理结合可得题设条

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）取件可得四边形

是平行四边形，

所在直线为

，由线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）轴建立空间直角坐标系，可证明

平面

，

两两垂直，以 为原点

是平面

的法向量，利用向量垂直数量积为零，用表示出平面的法向量，

利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可. 试题解析：(Ⅰ)取PD的中点M，连接AM，M，

页

13第

，

M∥CD，又AB∥CD，

∥AB，QM＝AB，

∥AM.

∥平面PAD.

则四边形ABQM是平行四边形.又

平面PAD，BQ平面PAD，

（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).

令

又易证BC⊥平面PBD，设平面QBD的法向量为

令

，

14第

解得

页

Q在棱PC上，

19. 《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表： 年龄 频数 [25，35) 5 [35，45) 5 2 [45，55) 10 8 [55，65) 15 12 [65，75) 5 4 [75，85) 10 5 了解《民法总则》 1

（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格所给数据可得列联表，根据列联表利用公式可求得

，与临界值比较即可得结论；（Ⅱ）的可能取值为

，根据排

列组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.

2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了试题解析：（Ⅰ）填写下面2×解《民法总则》政策有差异；

页 15第

（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

2列联表： 解：（Ⅰ）2×

没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异. （Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，

则X的分布列为 X P

页

16第

0 1 2 3 所以X的数学期望是

【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成式

列联表；（2）根据公

计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.

（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 20. 已知椭圆

点，以A为圆心的圆与直线

的一个焦点与抛物线相交于P，两点，且

的焦点相同，A为椭圆C的右顶

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究值；若不是，说明理由. 【答案】(Ⅰ)

,

(Ⅱ).

的焦点，可得

，由

成等比数列，

的值是否为定值，若是，求出此

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出抛物线

结合性质

可得

，求出、 的值，从而即可得结果；（Ⅱ）设直线的方程为 由

可得

，从

，根据韦达定理、弦长公式可得

而可得结论.

试题解析：(Ⅰ)如图，设T为PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ，

页

17第

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