浙江省职高高二数学上期末复习（知识点+练习题+答案）

期末复习材料

常考知识点及相应习题汇总

（一）、空间几何

一、棱锥

1、正三棱锥：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三

角形的三棱锥。

性质：1．底面是等边三角形。

2．侧面是三个全等的等腰三角形。

3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。 4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。

练习1：

1、三棱锥A—BCD的棱长全相等, E是AD中点, 则直线CE与直线BD所成角的余弦值为( )

33331 (B) (C) (D) 62622、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )

(A)A．22 B．2 C．2 D．42

3333、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为（）

33aA、a B、2a C、2 D、27a

4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①AB1//BC1；②AC1与BC是异面直线； ③AB1与BC所成的角的余弦为其中正确的判断是_______.

2；④BC1与A1C垂直. 45、在正三棱锥P?ABC中，AB?6,PA?5。（1）求此三棱锥的体积V；（2）求二面角

P?AB?C的正弦值。

6、正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。 求（1）棱锥的侧棱长（2）侧棱与底面所成的角的正切值。

2、正四面体

定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。

正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面

为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。

因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。

性质：

练习2：

1、在正四面体P?ABC中，如果E、F分别为PC、AB的中点，那么异面直线EF与PA所( )

成

的

角

为

(A)90 (B)60 (C)45 (D)30

00003、正四棱锥

定义：底面是正方形，侧面为

4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影

是底面的中心。三角形的底边就是正方形的边。

性质：（1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的

高相等（它叫做正棱锥的斜高）； （2）正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；

（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等； （4）正四棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c，斜高为h’，那么它的侧面积是 s=1/2ch‘

练习3：

1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为6:2，则侧面与底面的夹角为（ ）。 （A）?12 （B）?6

（C）?4

（D）?3

2、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )

(A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45度

(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（）

A．30° B．45°

C．60°

D．75°

4、在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的正切值为；

5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求①斜高与棱锥高之比②相邻两个侧面所成二面角的大小。

4、棱锥

定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥

的对角面; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）

性质：1．棱锥截面性质定理及推论

定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。

推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。

推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。

2．一些特殊棱锥的性质

侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。

侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S底=S侧cosα。

练习4

1、三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC，?ABC是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有（）

(A)２个 (B)３个 (C)至多２个 (D)２个或３个

2、正n棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成二面角的度数为 （） (A)

??? (B) (C) (D)与n的取值有关 3263、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27，则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为 （ ） （A） 1:(32?1):(33?32)(B)1:32:33 (C)1:

11: (D)1:1:1 234、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( )

A.2∶ 1

B.2∶1 C.1∶ (2-1) D.1∶ (32-1)

5、三棱锥V-ABC的三条侧棱两两为300角，在VA上取两点M、N，VM＝6，VN＝8，用线绳由自M向N环绕一周，线绳的最短距离是 .

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC中点．（1）

求证：PA∥平面EDB．（2）求EB和底面ABCD成角正切值．

P

E C A B D 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a，∠ABC=60°（1）求证平面PDC⊥平面PAC． （2）求异面直线PC与BD所成的角的余弦值． B

o

8、AB为圆O的直径，圆O在平面α内，SA⊥α，∠ABS=30,P在圆周上移动（异于A、B），M为A在SP上的射影，

(Ⅰ)求证：三棱锥S—ABP的各面均是直角三角形； （Ⅱ）求证：AM⊥平面SPB；

9、三棱锥V－ABC的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高．

P A C D

习题答案：

练习1：1.A 2.C 3.A 4.②③ 5.339,134∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心

6、解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E

则OA=

233133?a?a，OE=?a?a又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60° 3233263aa?3? 62则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=

2221aa7a221aa 在Rt△VAO中，VA=VO?AO?即侧棱长为???64312622练习2：1.C

练习3：1.D2.A 3.C 4.2 5、（1）3∶2 ；（2）?-arccos

1； 33练习4：1、D 2、A 3、D 4、D 5．10 6、（2）arctan557．（2）arccos78、略

9、解：过点V作底面ABC的垂线，垂足为O

0

∵各个侧面和底面成45的二面角 ∴点O为三角形ABC的内心 设OD＝x，则有

V11(5?5?6)x??6?4 223∴x＝

23∴三棱锥的高VO为

2

ACDOB二、棱柱

定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。

棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。

分类：

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。

直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。

对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。

性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；

直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

练习题：1．如图：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，E?BB1，截面A1EC?侧面AC1.

①求证：BE?EB1；②若AA求平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的度数. 1?A1B1，

2．已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形， 顶点A到底面A1B1C1和侧面B1C的距离相?AA1B1??AA1C1?45，

等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．

3、在正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a，D是CC1的中点，F是A1B的中点.(Ⅰ)求证：DF‖平面ABC；（Ⅱ）求证：AF⊥BD；

?

4． 已知：如图，直棱柱ABC－A’B’C’的各棱长都相等，D为BC中点，CE⊥C’D于E （1）求证：CE⊥平面ADC’ (2)求二面角D－AC’－C的平面角的大小

A'

B'

E AC'

CBD

5、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，?ACB?90?，AC=1，C点到AB1的距离为CE=

3，D为AB的中点. （1）求证：AB1⊥平面CED； 2 （2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.

A1 A

C1 B1 E C D B

6、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点。 （1）求证：面ABB1A1⊥面AC1M；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：面AMC1∥面NB1C A1 M

C1 B 1 答案：

1．解：①在截面A1EC内，过E作EG?A1C，G是垂足

A N B C

∵面A1EC?侧面AC1，∴EG⊥侧面A1C取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC，得BF⊥AC ∵面ABC?侧面A1C，∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG ∵BE//侧面A1C，

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，∴BE = FG ∵BE//AA1，∴FG//AA1，

?AA1C~?FGC；∵AF?FC，∴FG?111AA1?BB1，即BE?BB1，故BE?BB1 222② 分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D ∵EB1//CC1，EB1?111BB1?CC1∴DB1?DC1?B1C1，又A1B1?B1C1， 222∴?DA1C1?90?，即DA1?A1C1

∵CC1?面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理，得

DA1?A1C∴?CA1C1是二面角的平面角

∵CC1?AA1?A1B1?A1C1?A1C1C?90?∴?CA1C1?45?，即所求二面角为45° 2．解：作AO⊥平面A1B1C1，O为垂足

（12）∵∠AA1B1=∠AA1C1=450 ∴O在∠C1A1B1的平分线上 连结A1O并延长交B1C1于D1点 ∵A1C1=A1B1 ∴A1D1⊥B1C1 ∴A1A⊥B1C1 ∴BB1⊥B1C1

∴四边形BB1C1C为矩形

取BC中点D，连结AD DD1 ∵DD1//BB1

∴B1C1⊥DD1又B1C1⊥A1D1 ∴B1C1⊥平面A1D1DA

∴平面A1ADD1⊥平面B1C1CB

过A作AN⊥DD1，则AN⊥平面BB1C1C ∴AN=AO

∵四边形AA1D1D为□ ∴A1D1=DD1

∴DD1?3 2?AA1?3 232363???1?? 22222105S侧?2?1?4、(2)arcsin 5、（1）略 ；（2）

1 ；（3）arctan2； 2C1MB16、证明：（1）∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱 ∴AA1⊥面A1B1C1 ∴AA1⊥C1M

A1∵BC＝A1C1，M是A1B1的中点 ∴C1M⊥A1B1 又AA1?A1B1?A,AA1?面AA1BB1

ANBCA1B1?面A1ABB1，?面ABB1A1?面AC1M

（2）?A1B?AC1，C1M?面A1ABB1，?A1B?AM

(3)?M、N分别是A1B1，AB的中点，?四边形ANB1M是平行四边形，?AM∥B1N，?AM∥平面NB1C，由C1M?平面A1ABB1同理可证CN?平面A1ABB1，?C1M∥CN，C1M∥平面NB1C又AM?C1M＝M，?平面AMC1∥NB1C

三、正方体、长方体 练习题：

1.棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与BC1之间的距离为( ) A．a B．2

a2 c．2a D．3a

2．正方体的棱长为１，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，则DD1与平面PAO所成角的正切值为

(A)

2 (B)2 (C)22 (D)以上皆非 23．设长方体的三条棱长分别为a,b,c，若其所有棱长之和为２４，一条对角线的长度为５，体积为２，则

111??为 abc(A)

114112 (B) (C) (D) 41121124.长方体的表面积为22cm,所有棱的总长度为24cm,则长方体的对角线的长度是 ( ) A.14cm B.11cm C.12cm D.13cm 5．如图在正方形ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中点，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（） A．

6．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，

D1E1FEF1B1CC1??? B．C． 432 D．与P点位置有关

AB?6,AD?4,AA1?3，分别过BC、A1D1

A1DAB

的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积 分别记为V1?VAEA1?DFD1，V3?VB1E1B?C1F1C。

若V1:V2:V3?1:4:1，则截面A1EFD1的面积为 ( ) (A)410 (B)83 (C)413 (D)16

7．如右图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F是异面线段A1D和AC的中点，则EF和BD1的关系是

A．相交不垂直 B．相交垂直C．平行直线 D．异面直线

8．如图在正方形ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中点，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ）

A．

??? B． C．

324D．与P点位置有关

9．长方体全面积为24cm2，各棱长总和为24cm，则其对角线长为cm. 10．正方体的表面积为m，则正方体的对角线长为

11．长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，BB1?2，E为BB1的中点．

(1)求证：AE?平面A1D1E；(2)求二面角E?AD1?A1的正切值； (3)求三棱椎A?C1D1E的体积．

12. 在正方体ABCD?A（1）求证：平面A1BC11D1中，1BD?平面ACC1A1； （2）求直线A1B与平面ACC1A1所成的角。

D1A1B1C1DABC

13.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.（1）证明：

AD?D1F；（2）求直线AE与D1F所成的角；（3）证明：平面AED?平面A1FD1.

14.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1AA1，点G为CC1上的点，且CG?21（1）求证：CD1?平面ADG；（2）求二面角C?AG?D的大小（结果用反余弦表CC1。4示）。 D1 A1B1

D

AB

15.已知在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG =

C1C1CD．（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值； 4（3）求二面角F—EG—C1的大小（用反三角函数表示）．

CD16．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、

的中点.（1）证明：AD?D1F (2)求直线AE与D1F所成的角； （3）证明：平面AED?平面A1FD1.

2m

答案：1、A 2．B 3．A 4.A5．C6.C7.D 8．C9.2310、

2

11．解（1）：A1E?2AE?2（12）AA1=2 ∴A1E⊥AE

又AE⊥A1D1 ∴AE⊥平面A1D1E

（2）取AA1中点F，过F作FP⊥AD1 ∵EF⊥平面AA1D1D FP⊥AD1 ∴EP⊥AD1 ∴∠FPE即为E-AD1-A1的平面角 在Rt△AA1D1中，可求PF?5EF?tan?FPE??5

FP5（3）∵EF//C1D1 ∴EF//平面AC1D1

∴VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 =VC1 -AFD1

?1111S?AFD1?C1D1=?(?1?2)?1= 334612. 30013. 90014. arccos

105115. ??arctan13 101716．解：①∵ABCD?A1B1C1D1是正方体，∴ AD?面DC1．又D1F?面DC1，∴

AD?D1F．

② 取AB中点G，连结A1G、FG．易证GFD1A1是平行四边形．∴A1G//D1F． 设A1G与AE交于点H，?AHA1（或其补角）是AE与D1F所成的角． ∵ E是BB1AG≌Rt△ABE，?GA1A??GAH， 1的中点，∴ Rt△A∴ ?AHA1?90°，即AE与D1F所成的角为90°．

③ 由①知AD?D1F，由②得AE?D1F，∵AD?AE?A，∴D1F?面AED． ∵ D1F?面A1FD1，∴ 面AED?面A1FD1．

四、二面角

1．二面角??l??内一点P到平面?,?和棱l的距离之比为1:3:2，则这个二面角的平面角是__________度．

2．已知E是正方体AC1的棱BC的中点，则二面角D1?B1E?C1的正切值是（）

A．5 B．

53 C．3 D． 223.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大

小关系是 ( )

A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定

4．已知等边三角形ABC的边长为1，沿BC边上的高将它折成直二面角后，点A到直线BC的距离是（） A．1 B．

1423 C． D．

2425．已知E是正方体AC1的棱BC的中点，则二面角D1?B1E?C1的正切值是（） A．5 B．

53 C．3 D． 226.如图，二面角??l??的平面角为120?，AC??,BD??,AC?l,

BD?l，AC?BD?3，CD?4。（1）求AB的长；（2）求直线AB与CD?AlCDB?所成的角。

7. 如图，已知四棱锥P——ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点. （1）求证：PA//平面EDB；（2）求证：平面EDB⊥平面PBC；（3）求二面角D—PB—C的大小.

8.如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1) 求异面直线PA与CD所成的角； (2) 求证：PC∥平面EBD；

(3) 求二面角A—BE—D的大小（用反三角函数表示）.

答案：1．900或1500 2.B3.B 4、 B 5、 B 6.43 arctan

33 47. arctan6 8. 600 arctan5

（二）直线和圆的方程

一、直线方程

1、直线的方程知识点汇总；

（1）点斜式：直线过点(x0,y0)斜率为k，直线方程：y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴直线； （2）斜截式：直线在y轴上的截距为b和斜率k，直线方程：y?kx?b,它不包括垂直于x轴直线；

（3）两点式：直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，直线方程：不包括垂直于坐标轴的直线；

（4）截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,直线方程：

y?y1x?x1，它?y2?y1x2?x1xy??1，它不包括垂直于ab坐标轴的直线和过原点的直线；

（5）一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式.

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；

直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点.

如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 2、解题方法指导:

设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；

（2）知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；

（4）与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0； （5）与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0.

（6）经过两条直线A1x?B1y?C1?0和A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为：

A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（?为参数）. 3、范例剖析

（1）直接法

例1、直线l在y轴上的截距为3，且倾斜角?的正弦值为解：?sin??4，求直线l的方程. 5434，?cos???，∴直线的斜率k?? 553故所求直线的方程为y??4x?3，即4x?3y?9?0或4x?3y?9?0

3评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,?)内，从而cos?有两个解. （2）待定系数法（公式法）

例2、过点P(2，1）作直线l交x,y正半轴于AB两点，当|PA|?|PB|取到最小值时，求直

线l的方程.

解：设直线l的方程为：y?1?k(x?2),(k?0) 令y＝0解得x?2?11；令x＝0，解得y?1?2k，∴A（2?，0），B（0，1?2k）， kk∴|PA|?|PB|＝(1?21122)(4?k)?8?4(k?)?8?4?2?4 k2k2当且仅当k?1即k??1时，|PA|?|PB|取到最小值.又根据题意k?0，∴k??1 所以直线l的方程为：x?y?3?0 王新敞（3）直线系法：

直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程. 例3. 求过l1：2x?3y?2?0与l2：3x?4y?2?0交点且与直线4x?y?4?0平行的直线方程.解：设l1与l2交点的直线方程为：(2x?3y?2)??(3x?4y?2)?0即(2?3?)x?(?3?4?)y?2?2??0 因为所求直线与4x?y?4?0平行，所以将???(*)

142?3??3?4??，解得???

194114代入(*)，得:所求直线方程为4x?y?66?0 19（4）参数法

例4、直线l经过M（0，1），且被直线l1：x-3y+10=0和l2：2x+y-8=0所截得的线段恰以M为中点，求直线l的方程．

解：设l交l1于A（3t-10，t），l交l2于B（u，8－2u），利用中点坐标公式得： ∴??3t?10?u?0?t?2 , ∴A（-4，2）

?t?8?2u?2y?1x?0?，即x+4y-4=0. 2?1?4?0由直线方程的两点式可得，直线l的方程为：

（5）结构分析法：

例5、已知两直线l1:a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：∵P（2，3）在已知直线上，?2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.

2、解析: C圆x2?y2?2x?4y?0的圆心为（1，2），?3、(x?1)2?(y?1)2?1或(x?5)2?(y?5)2?25

|a?1|2??a?0或2 224、 B设P(x,y)，则4[(x?2)2?y2]?(x?8)2?y2，化简得x2?y2?16

三、直线与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则d?r；若直线与圆相切，则d?r；若直线与圆相交，则d?r②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若

??0，则直线与圆相离；若??0，则直线与圆相切；若??0，则直线与圆相交

2.两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为r1,r2，圆心距为d 若两圆相外离，则d?R?r ，公切线条数为4 若两圆相外切,则d?R?r，公切线条数为3 若两圆相交R?r?d?R?r，则，公切线条数为2 若两圆内切，则d?R?r，公切线条数为1 若两圆内含，则d?R?r，公切线条数为0

(2) 设两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0，C2:x?y?D2x?E2y?F2?0，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0 3.相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即??0来求解。 特殊地,已知切点P(x0,y0),圆x?y?r的切线方程为x0x?y0y?r,

22222222圆(x?a)2?(y?b)2?r2的切线方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2 4.圆系方程①以点C(x0,y0)为圆心的圆系方程为(x?x0)2?(y?y0)2?r2(r?0) ②过圆C:x2?y2?Dx?Ey?F?0和直线l:ax?by?c?0的交点的圆系方程为

x2?y2?Dx?Ey?F??(ax?by?c)?0

③过两圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0，C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆

22系方程为x2?y2?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0（不表示圆C2）

5、练习题：

1.已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：x?2y?3?0上，求此圆的方程．

22.已知圆C：?x?1??y?9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．

2（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； （3）当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长．

????????????23.已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。动点P满足：AP?BP?k|PC|。

(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线； (2)当k?2时,求|2AP?BP|的最大值和最小值。

4.已知圆C:x2?y2?2x?4y?4?0，是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

答案：

1． 解：因为A（2，－3），B（－2，－5），

所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），

又kAB??5?(?3)?1，所以线段AB的垂直

?2?22yx-2y-3=0OAx平分线的方程是y??2x?4．

x?2y?3?0?x??1． 联立方程组?，解得???y??2x?4?y??2B所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径r?|CA|?(2?1)2?(?3?2)2?10，

所以，此圆的标准方程是(x?1)2?(y?2)2?10．

222．解：（1）已知圆C：?x?1??y?9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线

l的斜率为2，直线l的方程为y?2(x?1)，即2x?y?2?0．

（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y?2??(x?2)，即x?2y?6?0． （3）当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为y?2?x?2，即x?y?0，

12圆心C到直线l的距离为1，圆的半径为3，弦AB的长为34． 23．【解析】(1)设动点的坐标为P(x,y),

????????????则AP＝(x,y－1)，BP＝(x,y+1)，PC＝(1－x,－y)

????2????????∵AP·BP＝k|PC|，∴x2+y2－1＝k[(x－1)2+y2]

k212)?y2?()， 1?k1?kk1表示以(－,0)为圆心，以为半径的圆。

1?k|1?k|若k≠1，则方程化为：(x?(2)当k=2时，方程化为(x－2)2+y2=1。

即(1－k)x2+(1－k)y2+2kx－k－1=0。

若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。

????????∵2AP＋BP＝2(x,y－1)＋(x,y+1)＝(3x,3y－1)， ????????22∴|2AP＋BP|＝9x?9y?6y?1。又x2+y2＝4x－3，

????????APBP∴|2＋|＝36x?6y?26 ∵(x－2)2+y2＝1，∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ。

则36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ+46＝637

cos(θ+φ)+46∈[46－637,46＋637]，

????????∴|2AP＋BP|max＝46?637＝3＋37，

????????|2AP＋BP|min＝46?637＝37-3。

4.解：假设这样的直线l存在，

设其方程为x?y?b?0(b?0)，AB的中点为M(x0，y0)，则x0?y0?b?0． ① 由已知以AB为直径且过原点的圆的方程为

(x?x0)2?(y?y0)2?x02?y02， ②又圆C:x2?y2?2x?4y?4?0， ③ ②?③得(2?2x0)x?(4?2y0)y?4?0． ④ 此即两圆的公共弦AB所在的直线方程，

2?2x0?(4?2y0)422它与x?y?b?0重合，于是??，从而得x0?1?，y0??2，

1?1bbb22代入方程①，得1???2?b?0，即b2?3b?4?0，解得b??4或b?1．

bb故这样的直线l存在，方程为x?y?4?0或x?y?1?0

(三)排列、组合与二项式定理

一、知识点总结

1、两个原理:乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。

（1）分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

（2）分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？

(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？

(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？

(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？

例2、在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）

A、25个 B、36个 C、100个 D、225个例3、(1) 将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？

(2) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)

例4、一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法?

⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有多少种不同的着色方法?例题答案：

44例1.解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）C150 （4）A150例2、解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有

C6?C6?15?15?225个， 故选D。

5

7

6

22例3、解：（1）6 （2）电话号码首位不为0：9×10－9×10＝8.1×10

67

例4、解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有A6?720种着色方法.

255⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C6C6A5种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有6C6A5;因此满足条件的着色方法共有

25555C6C6A5?6C6A5?6480种着色方法.

552、排列：元素是有顺序的

（1）对排列定义.：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排．．．．．．成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数公式：Am?n(n?1)?(n?m?1)?注意：n?n!?(n?1)!?n!规定0! = 1 （3）含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,?...an其中有限重复数为n1、n2??nk，且

n = n1+n2+??nk , 则S的排列个数等于n?n!.

n1!n2!...nk!n!(m?n,n,m?N) (n?m)!例1、有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分, 将这9个球排成一列有 ____ 种不同的方法.

例2、5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．

(2) 甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．

(3) 甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．

(4)甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．(6)女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．

(7)甲与乙丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种．(8) 甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有种．(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有种．

例3、(1) 从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，问其中甲不跑倒数第一棒的安排方法有多少种？

(2)一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？

例题答案：

例1、解：9个球排成一列有故共有排法

A99种排法,再除去2红、3黄、4白的顺序即可,

AAAA22933944?1260种。 答案:1260

12例2、解：(1)8！, 8×8！ (2) 2×8！,6×7！(3) ×9！, A9×1, A9×2×1 (4) A7×7!8！＋7×7×7！(5) 2×5！×4！(6) 5！×A6, 5！×4！×2

2664(7) 9！－2×8！×2＋2×7！, 3×6！×A7×2(8) 9！－A7×6！ (9) 捆绑法．2×P74×4！也可用枚举法2×4×7！

[来23例3、解：（1）①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5×A5＝300种 （2）假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素C1，C2，C3，

42?A5C4间题转化为A，B，C1，C2，C3，C4排列，条件A，B不相邻，有A4＝480种.

33、组合：元素没有顺序之分

（1）组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Ann(n?1)?(n?m?1)（2）组合数公式：Cm??Cmnn?mAmm!n?mm?1mm（3）两个性质：①Cmn?Cn; ②Cn?Cn?Cn?1

mn!

m!(n?m)!例1、某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动. (1)如果班长和副班长必须在内有多少种选派法. (2)如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法. (3)如果班长和副班长都不在内有多少种派法. (4)如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.

例2、从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有 A．140

[来源:学§科§网Z§X§X§K]（ ）

B．120 C．35 D．34

例3、 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )

A、108种 B、186种 C.216种 D、270种

例4、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 （） A．210种 例题答案：

415355例1、解(1)C22C13＝286 (2)C2C13＝1430 (3)C13＝1287(4)C15－C13＝1716

B．420种 C．630种 D．840种

例2、解：D

例3、解：没有女生的选法有所以选派方案总共有：31×例4、解：B

C333, 至少有1名女生的选法有4C7?C4?31种,

33A=186种。 故选B.

4、排列、组合综合 解题方法：（1）直接法（2）间接法（3）捆绑法（4）插空法（5）占位法（6）调序法（7）平均法 （8）隔板法（9）定位问题（10）指定元素排列组合问题

例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （1）甲必须在排头；

（2）甲必须在排头，并且乙在排尾； （3）甲、乙必须在两端；

（4）甲不在排头，并且乙不在排尾； （5）甲、乙不在两端； （6）甲在乙前；

（7）甲在乙前，并且乙在丙前； （8）甲、乙相邻；

（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻； （10）甲、乙、丙不全相邻

解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有A1种，再排其它4个位置1有

A4种，所以共有：A1×41A44=24种

3（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：A1×A1×A3=6种 11（3）首先排两端有

A2种，再排中间有2A23种，

[xx_k.Com]所以甲、乙必须在两端排法种数为：

A2×2A23=12种

（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：

A5－25A4+=78种 4A33（5）因为两端位置符合条件的排法有所以甲、乙不在两端排法种数为

A23种，中间位置符合条件的排法有A3种，

3A×A3=36种 323（6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：（7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序， 所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：（8）把甲、乙看成一个人来排有种数为

A55÷2！=60种

A55÷3！=20种

A44种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法

A4×4A22=48种

（9）首先排甲、乙、丙外的两个有这3个空中的两个有法种数为

A22，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入

A23，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排

22A×32A×32A=24种

33（10）因为甲、乙、丙相邻有A3×A3， 所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为

A5－A3×A3=84种 533例2.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能s去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？

244A4?A6?600种 解：分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有C55、二项式定理.

0n01n?1rn?rrn0n1. ⑴二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.

展开式具有以下特点： 项数：共有n?1项；

012r系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cnn;

每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.

rn?rr（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnab(0?r?n,r?Z).

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大.

nI. 当n是偶数时，中间项是第?1项，它的二项式系数C2n最大； 2nII. 当n是奇数时，中间项为两项，即第

Cn?12nn?1n?1项和第?1项，二项式系数22?Cn?12n最大.

01nCn?Cn???Cn?2n③系数和：

C?C?C???C?C???25

3

0n2n4n1n3nn?1

例1、(1)若(ax－1)的展开式中x的系数是－80，则实数a的值是． (2)在(x?13x)24的展开式中，x的幂指数是整数的有项．

2

3

6

2

(3) (1+x)+(1+x)+(1+x)+??+(1+x)展开式中x项的系数为． 例2、若多项式

x210,则?x?a0?a1(x?1)???a9(x?1)?a10(x?1)910a9?( )

A、9 B、10 C、－9 D、－10

例3、若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R,求（a0?a1）+（a0?a2）+??+（a0?a2004）

例4、若2x?3A．?1

??3?a0?a1x?a2x2?a3x3，则?a0?a2???a1?a3?的值是

22（ ）

B．1 C．0 D．2

例5、已知二项式(x?2n*)，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 2x比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和；

（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项。

例题答案：

例1、解：（1）－2 （2）5项 （3）35 例2、解：根据左边

9x10的系数为1,易知

a10?1，左边x的系数为0,右边x的系数为

99a9?a10C10?a9?10?0,∴

a9??10 故选D。

例3、解：对于式子：(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R,

令x=0，便得到：a0=1令x=1，得到a0?a1?a2?......?a2004=1 又原式：（a0?a1）+（a0?a2）+??+（a0?a2004）

=2004a0?(a1?a2?......?a2004)?2003a0?(a0?a1?a2?......?a2004) ∴原式：（a0?a1）+（a0?a2）+??+（a0?a2004）=2004 注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系. 例4、解：A

例5、解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，

42nC∴CCCr?18r?184?(?2)n?(?2)2?108，解得n=8令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1 1(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为

Cr?18?2n?r,C8?2r,

r?2r?1,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：

?2n?r≤C8?2r 并且C8?2r?1 ≤C8?2r，解得5≤r≤6；

rr?1r所以系数最大的项为T7=1792?11?；二项式系数最大的项为T=1120 5611xx练习题：

1、从包括甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？（ ）

A．5 B. 6 C. 7 D. 8

2、某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 A．45种

（ ）

B．36种 C．28种 D．25种

3、某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是

（ ）

A．504 B．210 C．336 D．120

4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号码一致的坐法是（） A. 10种 B.20种 C. 30种 D . 60种

5、若(x?1)5?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?...?a5(x?1)5，则a0= （）

A．32 B．1 C．-1 D．-32

n2??6、二项式?3x2?3?(n?N*)展开式中含有常数项，则n的最小取值是（）

x??A.5 B.6 C.7 D. 8

7．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种．

8、在(x2?1)(x?2)7的展开式中x3的系数是．

0139、已知数列{an}的通项公式为an?2n?1?1，则a1Cn+a2Cn+a3Cn??+an?1Cnn=

10、将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.

11、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．

12、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？

(x?12x)n13、已知

的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项．

14、7位同学站成一排．问：(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?

(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?

(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?

15、由0，1，2，3，4，5这六个数字。

（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？

练习题答案：

1、A．52、C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有

2C8＝28

3种；或用插排法．3、A9＝504 故选

A4、B 5、 A 6、 C

21227、34 8、1008 9、2n?3n10、C53?3?A2?C5?3?C4?C2?15011、96

12、解：设男生有x人，则女生有8－x人，依题意，，

∴(8－x)·6=180，x3－9x2＋8x＋60=0，x3－5x2－(4x2－20x)－(12x－60)=0， (x

－5)(x2－4x－12)=0， ∴x1=5，x2=6，x3=－2(舍去)． ∴男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人．

11n2?9n?8?0，解得n＝8，n＝1（舍13、解：（1）由题设，得C0?C2?C1n?n?2?n，即

421?11r?1?1r≥，C≥C，88?rr?1?8?r2(r?1)??2去）（2）．设第r＋1的系数最大，则?2即?解得r＝2或r＝3．所

1111r?1?Cr≥C8.?≥.8rr?1???22?2r9?1以系数最大的项为T3?7x，T4?7x．

59214、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有这样的排法一共有

种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有

种．(2)方法同上，一共有

种方法．所以种．

(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有进行排列有

种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”

种方法．

种方法．所以这样的排法一共有

(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：

(种)．

15、解：（1）A15?A35?300 (2)A35?A12A14A24?156(3)A35?A14A24?A13?1?112

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