电磁场论分离变量法习题课08

柱坐标系中的拉普拉斯方程：

1 Φ 1 2Φ 2Φ ρ ρ + ρ2 2 + z2 = 0 ρ ρ 通解为：Φ =∞

(m + m2z)(m3 + m4 ln ρ) + 1

( An + Bn z)(Cn cos n + Dn sin n )(Fnρn +Gnρ n ) ∑n= 1 ∞

∑( A ' ch kz + B ' sh kz)(C' cosl + D' sin l )×[F 'Jl (kρ) + Gkl'Nl (kρ)] kln= 1 k k l l

若仅与ρ 有关,拉普拉斯方程为：

1 Φ ρ ρ = 0 ρ ρ

解为：

Φ(ρ) = Aln ρ + B1 Φ =0 2 2 ρ 2

若仅与 有关,拉普拉斯方程为： 解为：

Φ( ) = C + D

若仅与z 有关,拉普拉斯方程为： 解为：

Φ(z) = C'z + D'

2Φ =0 2 z

球坐标系中的拉普拉斯方程：

1 2 Φ 1 Φ 1 2Φ =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r r r r sin θ θ θ r sin θ 通解为：

B (1 D (2 Φ(r,θ, ) = ∑ Anmrn + nnm Ynm) (θ, ) + Cnmrn+1 + nnm Ynm) (θ, ) r +1 r +1 n,m 式中球谐函数

(1 Ynm) (θ, ) = Pm(cosθ ) cos m n (2 Ynm) (θ, ) = Pm(cosθ )sin m n

缔合勒让德多项式：

Pm(cosθ ) = 1 cos2 θ n勒让德多项式：

(

)n

m 2

d P (cosθ ) nm

d(cosθ )2

m

1 d cos θ 1 P (cosθ ) = n n n 2 n! d(cosθ )

(

)

n

若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：

Φ 1 2 Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 θ r r r r sin θ θ 通解为： Φ(r,θ ) =

Bn A rn + n+1 P (cosθ ) ∑ n r n n=0

∞

若具有球对称性，Φ与θ , 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：

B Φ = A+ r

解为： Φ = C

θ + C2 1 ln tan 2

1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ

【例1】一个内径和外 径分别为R2 和R3的导体 球壳，带电量Q,同心 的包围着一个半径为R1 的导体球( R1 < R2 ), 如图。若使这个导体球 接地，求空间各点的电 势和这个导体球的感生 电荷。设导体球壳外电势为Φ1 , 壳内为Φ2

n1 n2

er Q

O R1

Φ2R3 R2

Φ1

图 3.8-1 带电导体球壳中的导体球

平面角

dl dθ = r

立体角

dS d = 2 r

分离变量法解题步骤：1.因 ρ e = 0,则 Φ i = 0 2.分析对称性，选取坐标系，列出通解。 3.根据定解条件，由通解推导特解。 定解条件： 1)边界条件 2)边值关系 3)势函数的性质 4.计算步骤 5.根据结果写势函数 6.有关物理量的计算2

z r a O

P

【例2】一半径为a, 电容率为ε2的介质球 体，放在均匀外电场 E0中，球外充满电容 率为ε1的另一种均匀 介质，如图。求球内 外的电势分布。设介质球外电势为Φ1 , 球内为Φ2

θ Φ2 ε2 Φ1 ε1y

x

E0图 3.8-2 均匀电场中的介质球体

z P r a O

θ ε2 Φ2 Φ1 ε1y

x

E0

勒让德多项式：

1 d cos θ 1 P (cosθ ) = n n 2 n! d(cosθ )nn 2

(

)

n

n 0 1 2 3 4 5

Pn(cosθ) 1 cosθ

3 1 cos2 θ 2 2 5 3 3 cos θ cosθ 2 2 35 15 3 cos4 θ cos2 θ + 8 4 8 63 35 15 5 3 cos θ cos θ + cosθ 8 4 8

解的物理意义： (1)球外电势由两部分叠加： 匀强电场产生的电势+极化电荷产生的电势

ε2 ε1 E0a3 cosθ Φ(r,θ ) = E0r cosθ + r2 ε2 + 2ε1 ε2 ε1 E0a3 cosθ ΦP = ε2 + 2ε1 r2 P cosθ 电偶极子产生的电势 Φ= e 4πε0r2 ε2 ε1 与球心处 P = 4πε0 E0a3 的电偶极子产生的电势等效 e ε2 + 2ε1

(2)球内电势也由两部分叠加： 匀强电场产生的电势+极化电荷产生的电势

ε2 ε1 Φ(r,θ ) = E0r cosθ + E0r cosθ ε2 + 2ε1 ε2 ε1 ΦP = E0r cosθ ε2 + 2ε1极化电荷在球内产生的为匀强场，对应的电场强度为

r ε2 ε1 r EP = E0 ε2 + 2ε1

E0

图 3.8-3 均匀电场中的电介质球附近的电场

z r

P

【例3】均匀电场中 的导体球。

a O

θ Φ1 εy

ε→∞

x

E0

E0

图 3.8-4 均匀场放一导体球后的电场分布

若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：

Φ 1 2 Φ 1 r + 2 sin θ =0 2 θ r r r r sin θ θ 通解为：

Bn Φ(r,θ ) = ∑ A rn + n+1 P (cosθ ) n n r n=0

∞

若具有球对称性，Φ与θ , 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：

B Φ = A+ r

解为： Φ = C

θ + C2 1 ln tan 2

1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ

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