2016年北京市高考数学试卷（理科）

2016年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）若x，y满足

，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

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）

A． B． C． D．1 7．（5分）将函数y=sin（2x﹣

）图象上的点P（

，t）向左平移s（s＞0）

个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ） A．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为

B．t= D．t=

，s的最小值为，s的最小值为

8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．

10．（5分）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答） 11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣A，B两点，则|AB|= ．

12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．

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ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于

13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，

OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a= ． 14．（5分）设函数f（x）=

①若a=0，则f（x）的最大值为 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）在△ABC中，a2+c2=b2+（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求

cosA+cosC的最大值．

ac．

．

16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A班 B班 C班 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明） 17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求

第3页（共19页）

．

的值，若不

存在，说明理由．

18．（13分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4， （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间． 19．（14分）已知椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，A（a，0），

B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|?|BM|为定值．

20．（13分）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠?；

（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．

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2016年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} 解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}， B={﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，0，1}． 故选：C．

D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）（2016?北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

对应的平面区域如图：（阴影部分）．

解：作出不等式组

设z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由

，解得

，即A（1，2），

代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4． 即目标函数z=2x+y的最大值为4． 故选：C．

第5页（共19页）

3．（5分）（2016?北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：输入的a值为1，则b=1，

第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件， 故输出的k值为2， 故选：B

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4．（5分）（2016?北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形； 若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形； 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件； 故选：D．

5．（5分）（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则＜

，即

﹣

，sinx与siny的大小关系不确定，

＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．

故选：C．

6．（5分）（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．1

解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 棱锥的底面面积S=×1×1=，

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高为1， 故棱锥的体积V=故选：A

7．（5分）（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣

）图象上的点P（

，t）向左

=，

平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为解：将x=

B．t= D．t=

=，

，s的最小值为，s的最小值为

代入得：t=sin

将函数y=sin（2x﹣得到P′（

）图象上的点P向左平移s个单位，

﹣s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上， 则sin（则2s=则s=

﹣2s）=cos2s=， +2kπ，k∈Z， +kπ，k∈Z，

，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为故选：A．

8．（5分）（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

第8页（共19页）

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解：取两个球共有4种情况： ①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．

则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x； 丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y； 黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j

由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球． 故选B．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2016?北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ﹣1 ．

解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，

若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则a+1=0， 解得：a=﹣1， 故答案为：﹣1

10．（5分）（2016?北京）在（1﹣2x）的展开式中，x的系数为 60 ．（用数字作答）

解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=令r=2，则x2的系数=故答案为：60．

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6

2

（﹣2x）r=（﹣2）rxr，

=60．

11．（5分）（2016?北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|= 2 ． 解：直线ρcosθ﹣

ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣

ρsinθ﹣1=0与圆

y﹣1=0．

圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．

则圆心C在直线上，∴|AB|=2． 故答案为：2．

12．（5分）（2016?北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= 6 ．

解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和． a1=6，a3+a5=0， ∴a1+2d+a1+4d=0， ∴12+6d=0， 解得d=﹣2， ∴S6=

故答案为：6．

13．（5分）（2016?北京）双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形

=36﹣30=6．

OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a= 2 ．

解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x， 即a=b，

∵正方形OABC的边长为2， ∴OB=2

，即c=2

，

则a2+b2=c2=8， 即2a2=8，

第10页（共19页）

则a2=4，a=2， 故答案为：2

14．（5分）（2016?北京）设函数f（x）=①若a=0，则f（x）的最大值为 2 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ． 解：①若a=0，则f（x）=

，

．

则f′（x）=，

当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数， 当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数， 故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2； ②f′（x）=

，

令f′（x）=0，则x=±1，

若f（x）无最大值，则，或，

解得：a∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）

第11页（共19页）

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）（2016?北京）在△ABC中，a2+c2=b2+（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求

cosA+cosC的最大值．

ac．

ac．

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+∴a2+c2﹣b2=∴cosB=∴B=

ac．

=

=

，

（Ⅱ）由（I）得：C=∴==

cosA+cosC=cosA﹣cosA+

﹣A，

﹣A）

cosA+cos（

sinA

cosA+sinA ）．

），

=sin（A+∵A∈（0，∴A+故当A+即

∈（=

，π）， 时，sin（A+

）取最大值1，

cosA+cosC的最大值为1．

16．（13分）（2016?北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A班 B班 C班 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数；

第12页（共19页）

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明） 解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个， 故抽样比K=

=，

故C班有学生8÷=40人，

（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人， 共有5×8=40种情况，

而且这些情况是等可能发生的，

当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况； 当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=（Ⅲ）μ0＞μ1．

17．（14分）（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求存在，说明理由．

的值，若不

．

=；

第13页（共19页）

（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD?平面PAD， ∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO， ∵CD=AC=

，

∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD．

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则

，

设为平面PCD的法向量，

则由，得，则． 设

PB

与

平

面

PCD

的

夹

角

为

θ

=；

第14页（共19页）

，

则 ，

（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），

，

则有∴

∵BM∥平面PCD，∴

，即

，可得M（0，1﹣λ，λ），

，

，M（0，y1，z1），

，B（1，1，0），

为平面PCD的法向量， ，解得

．

综上，存在点M，即当时，M点即为所求．

18．（13分）（2016?北京）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4， （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4， ∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2， 同时f′（2）=e﹣1， ∵f（x）=xea﹣x+bx， ∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，

第15页（共19页）

则

即a=2，b=e； （Ⅱ）∵a=2，b=e； ∴f（x）=xe2﹣x+ex，

，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e， f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x， 由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0， ∴f′（x）＞0恒成立， 即函数f（x）是增函数，

即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．

19．（14分）（2016?北京）已知椭圆C：

+

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

，

A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|?|BM|为定值． 解：（Ⅰ）由题意可得e==

，

又△OAB的面积为1，可得ab=1， 且a2﹣b2=c2， 解得a=2，b=1，c=可得椭圆C的方程为

， +y2=1；

（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0）， 可得x02+4y02=4， 直线PA：y=

（x﹣2），令x=0，可得y=﹣

，

第16页（共19页）

则|BM|=|1+|；

直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，

则|AN|=|2+|．

可得|AN|?|BM|=|2+|?|1+|

=||=||

=||=4，

即有|AN|?|BM|为定值4．

证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π）， 直线PA：y=则|BM|=|直线PB：y=则|AN|=|即有|AN|?|BM|=|=2|=2|

则|AN|?|BM|为定值4．

20．（13分）（2016?北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

第17页（共19页）

（x﹣2），令x=0，可得y=﹣|；

x+1，令y=0，可得x=﹣

|．

|?|

| |

|=4．

，

，

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠?；

（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．

解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2满足条件，a2＞a3不满足条件，3不满足条件，

a2＞a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．

（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠?； （Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i1＜i2＜…＜ik， 对于第一个“G时刻”i1，有

﹣a1≤

﹣

≤1．

＞

≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则 ＞a1≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则

对于第二个“G时刻”i1，有

﹣类似的

≤﹣

﹣

≤1．

≤1，…，﹣

）+（

﹣

﹣

≤1．

）+L+（

﹣

）+（

﹣a1）=

于是，k≥（﹣a1．

对于aN，若N∈G（A），则若N?G（A），则aN≤

=aN．

，

，L，aN，中存在“G时刻”

，否则由（2）知

与只有k个“G时刻”矛盾． 从而k≥

合同管理制度 ﹣a1≥aN﹣a1．

1 范围 本标准规定了龙腾公司合同管理工作的管理机构、职责、合同的授权委托、洽谈、承办、会签、订阅、履行和变更、终止及争议处理和合同管理的处罚、奖励； 第18页（共19页）

本标准适用于龙腾公司项目建设期间的各类合同管理工作，厂内各类合同的管理，厂内所属各具法人资格的部门，参照本标准执行。 2 规范性引用 《中华人民共和国合同法》 《龙腾公司合同管理办法》 3 定义、符号、缩略语 无 4 职责 4.1 总经理：龙腾公司经营管理的法定代表人。负责对厂内各类合同管理工作实行统一领导。以法人代表名义或授权委托他人签订各类合法合同，并对电厂负责。 4.2 工程部：是发电厂建设施工安装等工程合同签订管理部门；负责签订管理基建、安装、人工技术的工程合同。 4.3 经营部：是合同签订管理部门，负责管理设备、材料、物资的订购合同。 4.5 合同管理部门履行以下职责： 4.5.1 建立健全合同管理办法并逐步完善规范； 4.5.2 参与合同的洽谈、起草、审查、签约、变更、解除以及合同的签证、公证、调解、诉讼等活动，全程跟踪和检查合同的履行质量； 4.5.3 审查、登记合同对方单位代表资格及单位资质，包括营业执照、经营范围、技术装备、信誉、越区域经营许可等证件及履约能力（必要时要求对方提供担保），检查合同的履行情况； 4.5.4 保管法人代表授权委托书、合同专用章，并按编号归口使用； 4.5.5 建立合同管理台帐，对合同文本资料进行编号统计管理； 4.5.6 组织对法规、制度的学习和贯彻执行，定期向有关领导和部门报告工作； 4.5.7 在总经理领导下，做好合同管理的其他工作， 4.6 工程技术部：专职合同管理员及材料、燃料供应部兼职合同管理员履行以下职责： 4.6.1 在主任领导下，做好本部门负责的各项合同的管理工作，负责保管“法人授权委托书”； 4.6.2 签订合同时，检查对方的有关证件，对合同文本内容依照法规进行检查，检查合同标的数量、金额、日期、地点、质量要求、安全责任、违约责任是否明确，并提出补充及修改意见。重大问题应及时向有关领导报告，提出解决方案； 4.6.3 对专业对口的合同统一编号、登记、建立台帐，分类整理归档。对合同承办部门提供相关法规咨询和日常协作服务工作； 4.6.4 工程技术部专职合同管理员负责收集整理各类合同，建立合同统计台帐，并负责

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