正交试验设计原理与实例教程

理工类必修专业技能,正交试验设计原理与实例教程

正交试验设计

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在试验研究中，对于单因素或两因素试验， 因其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简 单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个或3 个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则试验的 规模将很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施 。 正 交设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组 合 的一种高效率试验设计方法。

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1 正交试验设计的意义 正交试验属于试验设计方法的一种。简单 地讲，试验设计是研究如何科学安排试验， 以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的 信息。 试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功 半，甚至达不到预期目的。因此，如何进行 试验设计是一个至关重要的问题。

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正交试验设计是试验优化的常用技 术。所谓试验优化，是指在最优化思想 的指导下，进行最优设计的一种优化方 法。它从不同的优良性出发，合理设计 试验方案，有效控制试验干扰，科学处 理试验数据，全面进行优化分析，直接 实现优化目标，已成为现代优化技术的 一个重要方面。

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正交设计的基本特点是：用部分试验

来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

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1.1试验为什么要设计

全面试验包含的水平组合数较多，工作 量大 ，由于受试验场地、试验材料、经费等 限制而难于实施 。例如，有6个因素： 每 因素取 5个水平，全面试验就需要56=15625 个组合。

若试验的主要目的是 寻 求 最 优 水平组合 ，则 可利用正交 设计来安排试验。

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1.2 正交拉丁方

在试验安排中 ，每个因素在研究的 范围内选几个水平，就好比在选优区内打上 网格 ，如果网上的每个点都做试验，就是全 面试验。3个因素的选优区可以用一个立方体 表示(图11-2),3个因素各取 3个水平，把立 方体划分成27个格点，反映在 图11上就是立 方体内的27个“.”。若27个网格点都试验， 就是全面试验，其试验方案如表11所示。

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3 因 素 3 水 平 的 全 面试验水平 组合数为33=27,4 因素3水平的全面试验水 平组合数为34=81 ,5因素3水平的全面试验 水平组合数为35=243,这在试验中是不可能 做到的。

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正交设计就是从选优区全面试

验点(水平组合)中挑选出有代表性的部分试验点(水平组合)来进行试验。

图11-A中标有试验号的九个“(·)”,就是利用正交表L9(34)从27个试验点中

挑选出来的9个试验点。即：

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关于正交的直观印象

数据点分布是均匀的 每一个面都有3个点 每一条线都有1个点

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1.3 正交试验设计 正 交 试 验 设 计 也 称 正 交 设 计 (orthogonal design),是用

来科学地设计多因素试验的一种 方法。它利用一套规格化的正交表(orthogonal table)安排试验，得到的试验结果再用数理统 计方法进行处理，使之得出科学结论。正交表 是试验设计的基本工具，它是根据均衡分布的 思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格， 均衡分布性是正交表的核心。

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19世纪20年代，英国统计学家R. A. Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用排 列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试 验条件，获得成功，并创立了“试验设计” 这一新兴学科。“均衡分布”思想在20世纪 50年代应用于工业领域， 60年代应用于农 业领域，使正交试验在科研生产实际中得到 推广。

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2、正交表 2.1 正交表 -正交拉丁方的自然推广 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用 正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。 安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外 一种形式，见正交表 L9(34)(表11-6) 。可以由此得到 系列正交表(orthogonal table)。

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常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进 行 正 交 设 计 时 选 用 。 2 水 平 正 交 表 除 L8(27) 外 ， 还 有 L4(23) 、 L16(215) 等 ； 3 水 平 正 交 表 有 L9(34) 、 L27(213) 等(详见附表17及有关参考书)。

表11-6是一张正交表，记号为L9(34), 其中“L”代表正交表；L右下角的数字“9”表 示有9行 ，用这张正交表安排试验包含3个处理 (水平组合) ;括号内的底数“3” 表示因素的 水平数，括号内3的指数“4”表示有4列 ，也指 安排的因素数，用这张正交表最多可以安排4个3 水平因素。

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2.2 正交表的表示符号 ①正交表记号所表示的含义归纳如下：

Ln (tq)式中：L为正交表符号，是Latin的第一个字母；n为 试验次数，即正交表行数；t为因素的水平数，即1 列中出现不同数字的个数;q为最多能安排的因素数， 即正交表的列数。

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L9

正交表表示方法 4) (3正交表列数 一列中出现的数字个数 正交表行数 正交表的代号

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②正交表中1列可以安排1个因素，因此它可安排的因 素数可以小于或等于q,但不能大于q。 ③括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面 试验的水平组合数(即处理数)。因为安排因素个数不 能大于q,所以n /tq为最小部分实施。 显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用 它最多能安排3个2水平因素的试验。部分试验为4次， 全面试验为8次，最小部分实施为1/2,即用它安排试验 可比全面试验少做1/2。所以，当试验因素数q及每个因 素的水平数t增加时n /tq则下降，节省试验次数的效果更 明显。

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④一般非等水平正交表表示为Ln (t1q1 X t2 q2) (q

1不等于q2)Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3)(q1q2q 3 ),它们各代表一个具体的数字表格。又 称混合型正交表。 当用非等水平正交表示为Ln (t1q1 X t2 q2 )安 排试验时。则因素数应不大于q1 +q2 ,且t1水 平的因素数不大于q1 ,t2水平的因素数不大 于q2,最小部分实施为n/(t1q1+t2 q2)。

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2.3 常用正交表的分类及特点 1、标准表(相同水平正交表) 2水平:L4(23),L8 (27),L16 (215),… 3水平:L9 (34),L27(313),L81(340),… 4水平：L16 (45),L64 (4 21),L256 (485),… 5水平：L25(56),L125(5 31),L625 (5156),… 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2,称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最 大数字为3,称为3水平正交表。凡是标准表，水平数都 相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有7水平，9 水平的标准表，没有6水平，8水平的标准表。

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