2013学年秀全中学广州市高二数学学业水平测试模拟试卷

2013学年广州市高二数学学业水平测试模拟试卷,非常有针对性

2013学年度秀全中学高二数学学业水平测试模拟题

满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项:

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4．本次考试不允许使用计算器.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U = {a，b，c，d，e}，集合A = {a，b，c，d}，B = {d , e}，则集合 A B = （A）{d} （B）{ a ,b} （C）{b ,c ,d} （D）{a，b，c，d，e} 2．2sin15°cos15° 的值等于

13 （A） 0 （B） （C） 1 （D）

22

2)，b (x，4)，若向量a∥b，则x 3.、已知向量a (1，

(A)

1

2

(B)

1 2

(C) 2 (D)2

4．同时转动如图2所示的两个转盘，记转盘（甲）得

到的数为x，转盘（乙）得到的数为y，则事件

x y 6 的概率为 （甲） 图2 （乙）

3533 （B） （C） （D） 416816

5. 下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),

（A）

3

2

2

2

可知几何体的表面积是

正视图

侧视图

cm2 22

C.18cm D.6 cm

A.18 cm 2

俯视图

2

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6．在 ABC中，若A 120 ，AB = 5，BC = 7，则 ABC的面积S 为

（A）

5153155 （B） （C） （D） 2488

22

7． 已知圆C:x y 1，点A( 2，0)及点B(2,a)，若直线AB与圆C没有公共点， 则a的

取值范围是

（A）( , 1) (1, ) （B）( , 2) (2, )

（C）( ,

434 (, ) （D）( , 4) (4, ) 33

1111

24620

8．以下给出的是计算

其中判断框内应填入的条件是

（A）i 10 （B）i 10

（C）i 20 （D）i 20

图4

图3

9．将棱长相等的正方体按图4所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，…… ，

则第20层正方体的个数是

（A） 420 （B） 440 （C） 210 （D） 220 10．已知函数 f(x) a

x

(a 0且a 1) 在区间 [ 2，2] 上的最大值不大于2 ，

则函数 g(a) log2a 的值域是（ ）

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（A）( , ) (0,] （B）[

1212111111

,0) (0,] （C）[ ,] （D）[ ,0) [, ) 222222

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

11．已知{an}是首项a1 1，公差d 3的等差数列，如果an 2005，则序号n等于 12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x，y∈N*)

则样本在区间 [10，50 ) 上的频率为 2x y 4 0

13．非负实数x,y满足 则x + 3 y的最大值为 ，最小值为

x y 3 0

14．已知点P(x,y)在曲线y

1

上运动，作PM垂直于x轴于M，则 OPM(O为坐标原点)的x

周长的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）

已知函数f(x) sin2x cos(2x

6

)，其中x R .

（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的递增区间． 16．（本小题满分12分）

柜子里有2双不同的鞋，随机地取出2只，求下列事件的概率. （1）取出的鞋不成对； （2）取出的鞋都是同一只脚的.

17．（本小题满分14分）

如图5所示 ，四棱锥P – ABCD的底面为一直角梯形， BA⊥AD， CD⊥AD，CD = 2AB，PA ⊥ 底面ABCD ，

C

E

P

E为PC的中点 .

（1）证明：EB ∥ 平面PAD ；

A

B

（2）若PA = AD ，证明：BE ⊥平面PDC.

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18．（本小题满分14分）

设O为坐标原点，曲线x2 + y2 +2x－6y + 1 = 0上有两点P、Q ，满足关于直线x + my + 4 = 0对称，又满足·OQ = 0 .

（1）求m的值； （2）求直线PQ的方程.

19．（本小题满分14分）

已知等比数列 an 共有m项 ( m ≥ 3 )，且各项均为正数，a1= 1，a1+a2+a3= 7. （1）求数列 an 的通项an；

（2）若数列 bn 是等差数列，且b1 = a1，bm = am，判断数列 an 前m项的和Sm与数列

1

b n 的前m项和Tm的大小并加以证明.

2

20．（本小题满分14分）

设f(x) ax bx c，(a＞b＞c), 且f (1) = 0 , g (x) = ax + b . （1）求证：函数y = f (x) 与y = g (x) 的图象有两个交点；

（2）设f (x) 与g (x) 的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围； （3）求证：当x ≤ － 时，恒有f (x) ＞ g (x) .

2

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参考答案及评分标准

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

二、填空题：（本大题共4 个小题，每小题5分，共20分）

11、 12、 13、 ， 14、 2 2

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）

15、解：（1）f(x) sin2x cos2xcos

6

sin2xsin

6

12sin2x 3

2cos2x sin2xcos3 cos2xsin3

sin(2x

3

) ∴最小正周期T =2

2 （2）由题意，解不等式

2

2k 2x

3

2

2k 得

k x

5

1212

k (k Z)

f(x)的递增区间是[ 12 k ,5

12

k ](k Z) … 16、（1）解：设两双鞋用(A1,A2),(B1,B2)表示 则基本事件有 (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2) 取出的鞋不成对的事件有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2) 所求的概率是

46 2

3

（2）取出的鞋是同一足脚的事件有(A1,B1),(A2,B2) … … 2 分

… 5 分

… … 7 分 …9分

12分

1分 5分 7分 9分 11分

… …

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所求的概率是

21

12分 63

17、证明：（1）取PD中点Q，连EQ、AQ， … … 1 分

则 ∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB， … … 3 分 又QE

1

CD AB2

则ABEQ是平行四边形, BE∥AQ BE∥平面PAD …6分

又AQ 平面PAD

（2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD … 8 分 ∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD … … 10分 若PA=AD，

∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD … … 12分

A

∵BE∥AQ， ∴BE⊥平面PCD … … 14 分

18、解：（1）曲线方程为（x+1）2 +（y－3）2 = 9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. 2 分

∵点P、Q在圆上且关于直线x + my + 4 = 0对称，

∴圆心（－1，3）在直线上. 代入得 m = －1. … … 4 分 （2）∵直线PQ与直线 y = x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y = －x+b. … … 5 分 将直线y = －x+b代入圆方程，得2x2 +2（4－b）x + b2－6 b + 1 = 0. … … 7 分 Δ = 4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－32<b<2+32. … … 9 分

b2 6b 1

由韦达定理得x1+x2 = －（4－b），x1·x2=. … … 10 分

2

b2 6b 12

∴ y1·y2=b－b（x1+x2）+x1·x2=+4b. … … 11 分

2=0， ∴x1x2+y1y2=0， ∵·

即b2－6b+1+4b=0. … … 12 分 解得b =1 ∈（2－32，2+32）. … … 13 分 ∴ 所求的直线方程为y = －x+1. … … 14 分 19、解：（1）设等比数列 an 的公比为q，则1+q+q2=7，

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∴q = 2或q = －3， … … 2 分 ∵ an 的各项均为正数，∴ q = 2 ……4分 所以an=2n 1… …5分 . （2）由an=2n 1得Sm 2 1. ……6分 数列 bn 是等差数列，b1=a1=1，bm=am=2m1，

－

m

而Tm= (b1－

1111m)+(b2－)+(b3－)+……+(bm－)=（b1+b2+b3+……+bm）－ 22222

1 2m 1m2m 1

=m－=m=m·2m 2 ……9分

222

∵Tm－Sm= m·2m 2－(2m－1)=(m－4) 2m 2+1， ……11分 ∴ 当m = 3时，T3 － S3 = －1，∴T3 ＜ S3.

∴ 当m ≥ 4时，Tm ＞ Sm. ……14分 20、（本小题主要考查函数的性质等有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.） （1）证明：由 y = f (x )= ax2+bx+c

y = g (x) = ax+b

得ax2+(b－a)x+(c－b) = 0 …………… (*)

Δ = (b－a)2－4a (c－b) ∵ f(x) = ax2+bx+c, f(1)=0 ∴ f(1) = a+b+c=0 ………………3分 又a＞b＞c ∴3a＞a+b+c＞3c 即a＞0,c＜0 ∴b－a＜0,c－b＜0,a＞0 ∴Δ = (b－a)2－4a(c－b)＞0

故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点； ………………5分 （2）解：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），

则x1、x2是方程（*）的两根 故x1+x2=－

b ac b

, x1x2=, aa

所以｜A1B1｜=｜x1－x2｜=(x1 x2)2 4x1x2

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(b a)2 4a(c b)b a2c b

=(= ) 4

aaa

又a + b + c = 0,故b = －(a+c)

因而 (b－a)2－4a (c－b) = (－2a－c)2－4a (a+2c) = c2－4ac

c2 4acccc

故｜A1B1｜==()2 4() =( 2)2 4 ……………… 8分

aaaa

∵a＞b＞c, a + b + c = 0 ∴a ＞－(a+c)＞c ∴－2＜∴｜A1B1｜的取值范围是（

c1

＜－

2a

3

，23） ……………… 10分. 2

3

(3) 证明：不妨设x1＞x2,则由（2）知：＜x1－x2＜2 ……… ①

2

b abcbbc

x1+x2=－=1－ 由a＞b＞c得：＜＜1, 故0＜1－＜1－…… 12分

aaaaaac13cb33

又－2＜＜－, 故＜1－＜3, 因而0＜1－≤ 即 0＜ x1 + x2 ≤ … ②

222aaa2

由①、②得：－3＜x2≤0,

即方程（*），也就是方程f(x)－g(x)=0的较小根的范围是（－3，0]. 又a＞0,故当x ≤－时， f(x)－g(x)＞0恒成立，

即当x ≤－3时，恒有f(x)＞g(x) …… 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zucm.html