2019高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1课时坐标系练习理

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 第1课时 坐标系

??x′＝5x，22

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?后，曲线C变为曲线x′＋y′＝1，则曲线C的方程

?y′＝3y?

为( )

A．25x＋9y＝1 C．25x＋9y＝1 答案 A

2．化极坐标方程ρcosθ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A．x＋y＝0或y＝1 C．x＋y＝0或x＝1 答案 C

π

3．在极坐标系中，极坐标为(2，)的点到极点和极轴的距离分别为( )

6A．1，1 C．2，1 答案 C

π

解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点(2，)到极点和极轴的距离分别为2，

6π

2sin＝1.

6

4．在极坐标系中，点(2，－A．2 C.π9＋

9

22

2

2

2

2

2

2

B．9x＋25y＝1 xy

D.＋＝1 259

2

2

22

B．x＝1 D．y＝1

B．1，2 D．2，2

π

)到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为( ) 3

B.

π4＋ 9

2D.7

答案 D

π22

解析 在直角坐标系中，点(2，－)的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cosθ的直角坐标方程为x＋y＝

3－2x，即(x＋1)＋y＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）＋（－3－0）＝7.故选D. 5．(2017·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为( ) π

A．(2，)

6π

C．(4，)

6答案 A

解析 ρ(3cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程3x－y＝2，即y＝3x－2.

1

2

2

2

2

π

B．(2，) 3π

D．(4，) 3

ρ＝4sinθ可化为x＋y＝4y，把y＝3x－2代入x＋y＝4y，得4x－83x＋12＝0，即x－23x＋3＝0，所以x＝3，y＝1.

所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，

π

)，故选A. 6

222222

6．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是( ) A．ρsinθ＝2 C．ρcosθ＝4 答案 B

解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x＋y－4y＝0. 选项A，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程为y＝2，代入圆的方程，得x＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项B，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，代入圆的方程，得(y－2)＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．

方法二：如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，

2

2

2

2

2

B．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－4

CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，直线l和圆相切， l交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点， |OB|2

则有cosθ＝＝，得ρcosθ＝2.

|OP|ρ

7．在极坐标系中，曲线ρ－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于( ) A.3 C．215 答案 B

解析 化极坐标方程为直角坐标方程得x＋y－6x－2y＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝23.

2

2

2

B．23 D．4

π

8．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的

4极坐标是________． π

答案 (1，0)，(2，) 4

解析 ρ＝2cosθ表示以点(1，0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1，0)．

2

ππ

当θ＝时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，)．

44

9．(2018·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝23，则实数a的值为________． 答案 －5或－1

解析 将直线ρ(sinθ－cosθ)＝a化为普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，将曲线ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化为普通方程，得x＋y＝2x－4y，即(x－1)＋(y＋2)＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r＝5.设圆心到直线AB的距离为d，由勾股定理可得d＝

|AB|22

r－（）＝

2

232

5－（）＝2，而d＝

2

2

2

2

2

|1－（－2）＋a||a＋3|

＝＝2，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1. 22

1＋（－1）210．(2017·天津，理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ－答案 2

解析 依题意，得4ρ(31

cosθ＋sinθ)＋1＝0，即23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直线的直角坐标22

2

2

2

2

π

)＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________． 6

方程为23x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ＝2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x＋y＝2y，即x＋(y32

－1)＝1，其圆心(0，1)到直线23x＋2y＋1＝0的距离d＝<1，则直线与圆的公共点的个数是2.

411．在极坐标系中，曲线ρ－10ρcosθ－2ρsinθ＋10＝0与极轴交于M、N两点，则|MN|＝________． 答案 215

解析 ∵M、N两点在极轴上，

∴其极角θ＝0°，代入方程中得ρ－10ρ＋10＝0， ∴(ρ－5)＝15，ρ＝5±15，

令M、N对应极径为ρM和ρN，则|MN|＝|ρM－ρN|＝215.

12．(2018·河北冀州中学月考)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________． 答案

3

2

2

2

2

2

解析 直线的方程为2x＝1，圆的方程为x＋y－2x＝0，圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝|2－1|

112l22＝.设所求的弦长为l，则1＝()＋()，解得l＝3. 2

222＋02

13．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．

π2

答案 ρsinθ＋ρcosθ＝1(或ρsin(θ＋)＝)

42

解析 曲线C1：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，曲线C2：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x＋y

2

2

2

2

－2x＝0，所以AB的方程为－x＋y＝0.又易知AB的垂直平分线斜率为－1，经过圆C1的圆心(0，1)，所以ABπ2

的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成ρsin(θ＋)＝.

42

3

π

14．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

4答案 43

π22

解析 直线ρsin(θ＋)＝2的直角坐标方程为x＋y－22＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x＋y＝16.圆

4心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d＝截得的弦长是24－2＝43.

π

15．(2018·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲线C在点(2，)处的切

4线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________． 答案 x＋y－22＝0

π22

解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2?x＋y＝4，点(2，)?(2，2)．因为点(2，

42)在圆x＋y＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x＋2y＝4?x＋y－22＝0，故填x＋y－22＝0.

16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为(2，

π

)，半径r＝2，点P的极坐标为(2，π)，过P作直线l交圆C于A，B两点． 4

2

2

22|－22|

π

＝2，所以直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝422

41＋1

(1)求圆C的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．

答案 (1)(x－1)＋(y－1)＝2 (2)8 解析 (1)圆C的圆心的极坐标C(2，

π

)， 4

2

2

ππ

∴x＝2cos＝1，y＝2sin＝1，

44∴圆C的直角坐标方程为(x－1)＋(y－1)＝2.

(2)点P的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)． 当直线l与圆C相切于点D时，则

|PD|＝|PC|－r＝(－2－1)＋(0－1)－(2)＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|＝8.

17．(2018·河北唐山模拟)在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2. (1)求曲线C2的极坐标方程；

π

(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos(θ＋)＝2距离的最大值．

432

答案 (1)ρ＝2sinθ(ρ≠0) (2)1＋ 2解析 (1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4.

消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为 ρ＝2sinθ(ρ≠0)．

(2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x＋(y－1)＝1，C3：x－y＝2.

32

C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最

232

大值为1＋. 2

18．(2017·广东珠海质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，π

直线l的极坐标方程是ρcos(θ－)＝22，圆C的极坐标方程是ρ＝4sinθ.

4(1)求l与C交点的极坐标；

3??x＝t＋a，

(2)设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是?(t为参数)，求a，

b3??y＝2t＋1b的值．

ππ

答案 (1)(4，)或(22，) (2)a＝－1 b＝2

24

π2

解析 (1)将ρ＝4sinθ代入ρcos(θ－)＝22，得sinθcosθ＝cosθ，所以cosθ＝0或tanθ＝1，

4ππππ

取θ＝或θ＝.再由ρ＝4sinθ得ρ＝4或ρ＝22.所以l与C交点的极坐标是(4，)或(22，)．

2424(2)∵圆C的极坐标方程是ρ＝4sinθ，

∴圆C的直角坐标方程是x＋(y－2)＝4.即P点坐标为(0，2)． 由(1)知l与C交点的直角坐标为(0，4)，(2，2)．

b

即Q点的直角坐标为(1，3)．将PQ的参数方程化为普通方程得y＝(x－a)＋1.将P，Q两点坐标代入，得

2

2

2

2

2

??

解得a＝－1，b＝2. ?b

??3＝2（1－a）＋1，

π

1．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，)到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．

3答案 1

π

解析 点(2，)的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，

3|1＋3×3－6|

所以点(1，3)到直线的距离d＝＝1.

1＋3

ab

2＝－＋1，

2

5

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