五邑大学 概率论试卷A

五邑大学 试 卷

学期： 2005 至 2006 学年度 第 2 学期 课程： 概率统计 专业： 纺织工程 班级： 姓名： 学号： 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、 (10分) 得分

11设 A , B , C 是 三 个 事 件， 且 P(A) = P(B) = P(C) = ， P(AB) = P(BC) = 0 , P(AC)?，

75求 A , B , C 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率

解: 由 于 P(AB) = P(BC) = 0， 而 ABC?AB ,

由 P(ABC) ? P(AB) = 0 , 所 以 P(ABC) = 0 , 则 P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C)??P(AB)??P(AC)??P(BC)+P(ABC)

111116?0.457 =???0??0?0?5557354分 10分

16 35或 P(A?B?C)?P(B)?P(A?C) = P(B) + P(A) + P(C) ?? P(AC) =

得分二、 (10分)

设 随 机 变 量 X服 从 N(1 , 22 )， 试 求 ： ( 1 ) P{0 ? X <2}； ( 2 ) P{1 ?X <3}, Ф

(1) = 0.8413 , Ф(0.25) = 0.5987 , Ф(0.5) = 0.6915 , Ф(0.75) = 0.7734 , Ф(2) = 0.9772 , Ф(1.5) = 0.9332 ,

0?1??12?1??} = F0.1 (0.5) ??解:( 1 )P{0???2}?P{F0.1 (??0.5) 222 = 2F0.1 (0.5)??1= 2 ? 0.6915 ??1= 0.383

1?1??13?1??}= F0.1 (1)??( 2 ) P{1???3}?P{F0.1 (0) 222 = F0.1 (1)??0.5 = 0.8431??0.5 = 0.3431 三、 (10分) 得分 设 袋 中 装 有 10 件 正 品 4 件 次 品 ， 从 袋 中 无 放 回 地 反 复 抽 取 ， 每 次 取

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一 件， 直 到 取 得 正 品 为 止 ， 求 抽 取 次 数 ? 的 分 布 函 数 ( 假 定 袋 中 余 下 的 每 个 产 品 被 抽 到 的 机 会 均 等 )。

解: ? 的 分 布 律 为 ? p 1 57 2 3 4 5 11001 2010591 91 1001

则 ? 的 分 布 函 数 为 ：

?0 x?1?5?1?x?2?7?852?x?3??91F?x???

90?3?x?4?91?1000? 4?x?5?1001??1 x?5 2分

10分

得分四、 (10分)

在 8 件 产 品 中 有 5 件 是 一 级 品 和 3 件 是 二 级 品 ， 现 从 中 任 取 2 件 ， 求 取 得 的 2 件 中 只 有 一 件 是 一 级 品 的 概 率 如 果 ( 1 ) 2 件 产 品 是 无 放 回 的 逐 次 抽 取

( 2 ) 2 件 产 品 是 有 放 回 的 逐 次抽 取

解:A 表 事 件 “ 取 得 2 件 产 品 只 有 一 件 是 一 级 品 ”

2( 1 ) 基 本 事 件 总 数 n = C8?4?7=28，

11 A 所 包 含 的 基 本 事 件 数 r = C5?C3?5?3=15 P(A) =

15 5分 28( 2 ) 基 本事 件 总 数 n = 8 ? 8=64，

1111 A 所 包 含 的 基 本 事 件 数r = C5=30 P(A) = ?C3?C3?C53015? 10 6432

得分五、 (10分)

yx设 随 机 变 量 (x , y)的 分 布 函 数 为 F(x,y)?A(B?arctg)(C?arctg)求：( 1 )

23系 数 A B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , y)的 联 合 概 率 密 度 ?(x , y)

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解: ( 1 ) F(??,??)?A(B???)(C?)?1 22?? F(??,??)?A(B?)(C?)?0

22?? F(??,??)?A(B?)(C?)?0

221? 由 此 解 得 A?2,B?C?,

2?6( 2 ) ?(x,y)?2

?(4?x2)(9?y2)

5分 10分

得分六、 (10分)

设随机变量X与Y相互独立，X服从区间?0，1?上的均匀分布，Y服从??1的指数分布，令 Z?X?Y，试求随机变量Z的密度函数．由题意，可知?1,0?x?1,fX?x???其它.?0,?e?y,fY?y????0,y?0,y?0.设随机变量Z?X?Y的密度函数为fZ?z?，则有fZ?z???????f?x?f?z?x?dxXYfZ?z???????f?x?f?z?x?dx,XY0?x?1,z?x?0⑴若z?0，fZ?z??0⑵若0?z?1，fZ?z??1?e?⑶若z?1，0z?(z?x)dx?e?z?zx?1?eedx?0zfZ?z???e01?(z?x)dx?e?z?z?1?zx?e?eedx?10综上所述，我们可得Z?X?Y的密度函数为

0??fZ?z???1?e?z?e?z?1?e?z?z?00?z?1z?1

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得分七、 (10分)

?A??????1?x?1?2设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 ?(x)??1?x

?0??? 求： ( 1 ) 系 数 A； ( 2 ) Ex，D(x)。 解: ( 1 ) 由??(x)dx?1， 则

???? 2A?111?x2????0 故 A?dx?2Aarcsinx|10??A?1

1 3分 ? ( 2 ) E???x?(x)dx?0

D?=E??(E?)?E???x?(x)dx= 2?1221= ?[x1?x|0??0?5分

2

22221dx???xd1?x2

??0?0?1?x22111?x2dx]= ??? 10分

?42??1x2

得分八、 (10分)

?(??1)x?0?x?1,???1设 总 体 X的 密 度 为 :f(x)??求 参 数 ?的 极 大 似

? ?0?????然 估 计

解:设 子 样 为 ?1,?2,?,?n, 似 然 函 数 为:

nn?nlnL(?)?nln(??1)???ln?ilnL(?)???ln?i??1i?1i?1 ?? n1???1?[ 解 之 得 ?的 极 大 似 然 估 计 ?ln?i]?1 10分 ?ni?1i?1i?1nnL(B)??(??1)??(??1)???i?in4分 7分

得分 九、 (10分) 从 一 批 零 件 中 随 机 抽 取 100只 , 抽 得 零 件 的 平 均 寿 命 x?1000小 时 , 样 本 标 准 差 观 察 值 S = 40小 时 ,试 求零 件 的 平 均 寿 命?的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 .{{已 知Ф(2) = 0.9772 , Ф(1.96) = 0.975Ф(1.645) = 0.95Ф(2.5) = 0.9939}

解: 样 本 容 量 n=100, 可 用 大 样 本 统 计 , 又

??E?S/n近 似 N(0 , 1)

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?P(?U1??2????S/n?U1??2)?1??

5分

置 信 度 为 1 - ? 的 置 信 区 间 近 似 为 :

(??Us1??2ns,??Us1??2n)

40?992.16 1040?1007.84 10 10分

6分

x?U1??2ns?1000?1.96x?U1??2n?1000?1.968分

?置 信 区 间 为 (992.16 , 1007.84) 十、 (10分) 得分

某 厂 生 产 的 某 种 产 品 ， 由 以 往 经 验 知 其 强 力 标 准 差 为 7.5 kg 且 强 力 服 从 正 态 分 布 ， 改 用 新 原 料 后 ， 从 新 产 品 中 抽 取 25 件 作 强 力 试 验 ， 算 得 s = 9.5 kg ， 问 新 产 品 的 强 力 标 准 差 是 否 有 显 著 变 化？??0.05,0.01

22( 已 知?0,?0.05?24??36.415.01?24??42.98

2222?0,?0,?0,?0, ) .95?24??13.848.99?24??10.856.975?24??12.401.995?24??9.886解: 要 检 验 的 假 设 为

22 H0:?2??0?7.52H1:?2??0?7.52

2分

?2?n?1?s2?2?024?9.52??38.5127.5

F4分

在 ? = 0.05 时 ， x 2 =38.51 > 36.415 == x0.952 ( 24 ) = x1-?2 ( n1 )故 在 ? = 0.05 时 ， 拒 绝 H0 认 为 新 产 品 的 强 力 的 差 较 原 来 的 有 显 著 增 大 。 7分

当 ? = 0.01 时 ， ? 2 =38.51 < 42.98 == ?0.992 ( 24 ) = ?1-?2 ( n??1 ) 故 在 ? = 0.01 下 接 受 H0，认 为 新 产 品 的 强 力 的 标 准 差 与 原 来 的 无 显 著 差 异 。 10分 注 ：H1： ?2 > ?02 = 7.52 改 为 H1： ?2 ? ?02 = 7.52 也 可

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