4 向量组的线性相关性

第四章 向量

一 内容概要

1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；

3 向量组的线性关系

（1）线性组合：对于给定的向量组?1，?2，?，?s,?；如果存在一组数

k1,?,ks使得：??k1?1?k2?2???ks?s

则称向量?是向量组?1，?2，?，?s的一个线性组合，或称?可以由向量组：

?1，?2，?，?s,线性表示；

（2）线性相关、线性无关的定义

设?1，?2，?，?s,是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k1,?,ks使得：k1?1?k2?2???ks?s?0

则称向量组?1，?2，?，?s,线性相关

指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数k1,?,ks；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。

?，?s,线性无关，即若要 反之 则称向量组?1，?2，k1?1?k2?2???ks?s?0

成立，必有k1?k2???ks?0，则称向量组?1，?2，?，?s,线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系

?，?s,线性关系式k1?1?k2?2???ks?s?0具体表示出来实际向量组?1，?2，上就是一个方程组：

?a11x1?a12x2???a1sxs?0?ax?ax???ax?0?2112222ss ???????am1x1?am2x2???amsxs?0- 1 -

其中：?j?a1j,a2j,?,amj，j?1,2,?,m因此，通俗的话来说，向量组

??T?1，?2，?,?s线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。

这是判断一个向量组?1，?2，?，?s是否线性相关最常用的方法。

（2）向量?可被向量组?1，?2，?，?n线性表示与方程组AX??有解的关系

T 设A???1,?2,?,?n?,???b1,b2,?,bm?,?j的意义同上，则方程组AX??可表

示成：x1?1?x2?2???xn?n??，或

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ????????am1x1?am2x2???amnxn?bm因此向量?可被向量组?1，?2，?，?n线性表示的充要条件是方程组AX??有解。

如果有唯一的解，则?可被向量组?1，?2，?，?n线性表示，且表示法是唯一的。

如果方程组有无穷多组解，则?可被向量组?1，?2，?，?n线性表示，且表示法有无穷多种，此时向量组?1，?2，?，?n线性相关。

如果方程组无解，则?不能被向量组?1，?2，?，?线性表示。 4 关于向量组的等价

（1）设向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s;Ⅱ?1，?2，?，?t;

如果向量组Ⅱ中每一个向量?j可以被向量组Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是：

??1?k11?1?k12?2???k1s?s???k??k????k??22112222ss ????????t?kt1?1?kt2?2???kts?s（2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。

- 2 -

（3）如果向量组Ⅰ与Ⅱ等价，且Ⅱ与Ⅲ等价，则Ⅰ与Ⅲ等价；这就是说，等价具有传递性；

??1???1???????2??????????B??2?,则?1，?2，??m与?1，?2，??m等（4）设A????一系列初等行变换?????????????m??m?价；

若A??A1系列初等列变换A2?An??一??????B??B1B2?Bn?

则向量组A1,A2,?,An与B1,B2,?,Bn等价；

5 向量组的极大线性无关组 （1）极大线性无关组的定义

向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s的一个部分组?i1,?i2,?,?ir本身是线性无关的，其次再任意添进去一个都线性相关，则称?i1,?i2,?,?ir是向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s的一个极大线性无关组；

特别注意：1 一个向量组若仅含有一个0向量，此时不存在极大线性无关组，或称其极大线性无关组所含有向量的个数为0； 2 若向量组本身是线性无关的，则其极大线性无关组就是该向量组本身；3一个向量组的极大线性无关组可能不止一组，可能有很多组；4 如果向量组Ⅲ与Ⅱ都是向量组Ⅰ的极大线性无关组，那么这两个向量组Ⅱ与Ⅲ是等价的，因而所含有的向量的个数是相同的；

6向量组的秩

（1）向量组秩的定义：向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组Ⅰ的秩；

（2）设：Ⅰ：?1，?2，?，?s,Ⅱ?1,?2,?,?t，若Ⅰ可以被Ⅱ线性表示，则

r(Ⅰ)?r(Ⅱ);

- 3 -

(3)若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，则其秩相同，即等价的向量组其秩是相同的；但注意反之是不能成立的，即两个向量组的秩相同，但未必等价。

7 关于线性相关性常用的结论

关的；（1）若一个向量组仅含有一个向量?，且??0，则此向量组是线性无

（2）若一个向量组含有0向量，则此向量组一定线性相关；

（3）若一个向量组仅含有两个向量，则此向量组线性相关的充要条件是对应分量成比例；

（4）向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s线性相关的充要条件是：至少有一个向量可被其余向量线性表示；

（5）若向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s线性无关，而向量组：?1，?2，?，?s，?线性相关，则向量?一定可以被?1，?2，?，?s线性表示，且表示式是唯一的；

（6）若向量?一定可以被?1，?2，?，?s线性表示，且表示式是唯一的，则向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s一定线性无关；

（7）若Ⅰ：?1，?2，?，?s中有部分组线性相关，则原向量组一定线性相关；若原向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关；

（8）若Ⅰ：?1，?2，?，?s可被向量组Ⅱ?1，?2，?，?t线性表示，且s>t,则Ⅰ：?1，?2，?，?s必是线性相关的；即多的能被少的线性表示，则多的向量组一定线性相关；这个定理是比较重要的。

（9）若Ⅰ：?1，?2，?，?s是一个n维向量组，且s>n，则此向量组一定线

?1??0??0???????01?????0?性相关；这是因为Ⅰ：?1，?2，?，?s可被?1???，?2???，?，?n???线性表

??????????0??0??1???????示；例如：在三维几何空间中，任意四个向量都是线性相关的，而在二维空间平面上，任意三个向量都是线性相关的；

- 4 -

（10）若Ⅰ：?1，?2，?，?s可被向量组Ⅱ?1，?2，?，?t线性表示，且Ⅰ线性无关，则必有s?t;这只要反证即可：即若s>t ，则应用上面的结论，则Ⅰ线性相关，与条件矛盾；

（11）若Ⅰ：?1，?2，?，?s与向量组Ⅱ?1，?2，?，?t是等价的，且这两个向量组都是线性无关的，则必有s=t；这只要应用上面的结论即可；

（12）若Ⅰ：?1，?2，?，?s与向量组Ⅱ?1，?2，?，?t是等价的，则其秩相同。这是因为Ⅰ与Ⅱ等价，那么它们的极大线性无关组也是等价的，因而其秩相同；从而向量组Ⅰ的不同的极大线性无关组所含有向量个数相等；

?a11??a12??a1s????????a21??a22??a2s?，?，??（13）若Ⅰ：?1???，?2??s???线性无关，则它的延伸组??????????a??a??a??m1??m2??ms??a11??a12??a1s????????a21??a22??a2s??????????????，?2???????也必是线性无关，反之若Ⅱ线性相关，Ⅱ：?1?，?sam1am2?，a?????ms???????????a??a??a??l1??l2??ls?则原向量组也必是线性相关；

事实上，这只要考虑方程组Ⅰ：x1?1?x2?2???xs?s?0

??x2?2????xs?s??0的解集关系即可。显然Z(Ⅱ)?Z(Ⅰ) 与方程组Ⅱ：x1?1若向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s线性无关

Z(Ⅰ)=?(0,0,?,0)?,

（0，0，?，0）?Z(Ⅱ),故Z(Ⅱ)=?(0,0,?,0)?；另一个同理可证。 又

?a11??a12??a1m????????a21??a22??a2m?，?，??（14）设Ⅰ：?1???，?2???，?mm???，则Ⅰ：?1，?2，??????????a??a??a??m1??m2??mm?线性无关的充要条件是：

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a11aA?21?am1a12a22??a1m?a2m?0

??am2?amm证明：设x1?1?x2?2???xs?s?0

若Ⅰ：?1，?2， ?，?s线性无关?上述方程组仅有0解?A?0,反之也成立；由这个结论可以得到一个常见问题的一般解法：例如，三个三维向量

?2??1??4????????1??1?，?2??5?，?2??5?

?4??6??7???????214要判断它是否线性相关，这只要考虑A?155是否为0即可，如果等于

4670，那么它是线性相关的，若不是0，则是线性无关的。

8 关于向量空间（数一用）

（1）定义：设V是一个n维向量的一个集合，且非空，如果集合V中的向量对于向量的加法，和数乘仍然还在集合V中，即对于任意的

?，???????V,k??V

则称V是一个向量空间。 （2）关于向量空间的例：

例1 V1?X|AX?0,A??aij?m?n，则V1是一个向量空间，通常称为方程组AX=0的解空间；

这是因为：对于任意

???，??V1?A??0,A??0

?A??????A??A??0,A(k?)?0?????V1,k??V1.例2：V2??k1?1?k2?2???ks?s|其中，ki是实数?，则V2是一个向量空间，通常称为由向量组?1，?2，?，?s生成的向量空间；

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例3 V3??X|其中X是AX?b的解，且b?0?，则V3不是一个向量空间。 这是因为：?，??V3?A??b,A??b?A(???)?A??A??b?b?b，?从而，????V3.

例4 通常所说的三维几何空间满足上述空间的要求。

最常见的向量空间是实数域上n维向量的全体构成的集合，记为V?Rn。 （3）子空间

如果W,V都是n维向量空间，且W?V,则称W是V的子空间。 例如，上述的例1中V1是V?Rn的一个子空间，例3也是； （4）基、维数、与坐标

基的定义：设V是一个向量空间，如果?1，?2， ?，?s?V,且满足：?都可以被其线性表示，则称?1，?2，?，?s线性无关，V中的任意一个向量向量组?1，?2，?，?s是V的一组基。

例如：在V?Rn中?1??10?0?，?2??01?0?，??n??00?1?是V的一组基，通常称为是V?Rn的自然基。

一个向量空间中可能有很多组基，例如在上述的例1中V1就有很多组基，每一个基础解系就是它的一组基；在V?Rn中除了自然基外，还有其他的基。

一般地，向量空间V中不同基中所含有向量的个数是相同的。

维数:在向量空间V中，一组基中基向量的个数称为向量空间V的维数； 例如：在V?Rn中，基向量的个数是n个，所以V?Rn称为是n维向量空间，而在上述的例1中,V1的基（基础解系）向量的个数是n-r个，所以V1是n-r维向量空间。

坐标：设?1，?2， ?，?n是V的一组基，?是V中的任意一个向量，若??x1?1?x2?2???xn?n

则称?x1,x2,?,xn?是向量?在基?1，?2，?，?n下的坐标。 注意：同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。

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（5）向量空间V中两组不同的基之间的关系：（基变换） 设?1，?2，?，?n与?1，?2，?，?n分别是V的两组基，若

??1?a11?1?a21?2???an1?n???a??a????a??2121222n2n ????????n?a1n?1?a2n?2???ann?n或者表示为：??1?2??n????1?2?a11??a??n??21???a?n1?a1n??a22?a2n? ?????an2?ann??a12a22?an2?a1n???a2n?是由基

?????ann??a12即??1?2??n????1?2?a11??a21??n?A,则称A?????a?n1?1，?2，?，?n到基?1，?2，?，?n的过渡矩阵。

注意：这里过渡矩阵中元素的次序与两组基的表示式之间的关系。过渡矩阵都是可逆的。

V?Rn中一般过渡矩阵A的求法

以例说明此具体求法：

例：设?1??111?，?2??124?，?3??139?是V?R3的一组基，而V的另一组基为?1??100?，?2??110?，?3??111?，求由?1，?2，?3到基

?1，?2，?3的过渡矩阵A。

解 设?1，?2，?3是R3的一组自然基，显然

（?1，?2，?3）???1?2?111????3??123????1?2?149????3?A1

（?1，?2，?3）???1?2?111????3??011????1?2?001????3?A2

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从而：??1?2?3????1?2?3?A1?1

故（?1，?2，?3）???1?2?3?A2???1?2?3?A1?1A2

则矩阵A1?1A2就是所求的由?1，?2，?3到基?1，?2，?3的过渡矩阵A。

9 向量的内积（数一用）

内积的定义：设???a1a2?an?,???b1b2?bn?，则

??T?a1b1?a2b2???anbn

称为向量?与?的内积，记为（。 ?，?）上述向量的内积的定义正是三维几何空间中向量内积的定义的推广。

22?a12?a2???an向量的长度：??（?，?）

两向量的夹角：

??，???cos?，此时的?称为向量?与???的夹角。

由此可以计算向量?与?的夹角；也记为?，?

向量的正交：设?，?是两个非0的向量，当???，??正交的。

正交是三维几何空间中向量垂直的推广；

关于正交向量的例：设方程组a1x1?a2x2???anxn?0的任意一个非0解为

?2时称为?与?是

???c1c2?cn?，则向量???a1a2?an?与???c1c2?cn?是正交的；

正交向量组的性质：设?1，?2，?，?s中任意两个向量都是正交的，则称此向量组是正交向量组。正交向量组都是线性无关向量组。

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向量组的规范正交化：设?1，?2，?，?s是一组线性无关向量组，由此得到一组单位正交向量组，称为向量组的单位正交化，又称施密特正交化方法。

以具体的例说明此种方法的具体程序

例 设?1??110?，?2??120?，?3??111?为一组线性无关向量组，由此求一组单位正交向量组?1，?2，?3。

第一步先将向量组正交化

令?1??1

?2??2?k21?1,因为??1，?2??0???2，?1??k21??1,?1??0

?k21???2,?1?

??1,?1?1?0? 2?即?2??2???2，?1??,??1??1，?1?120??31?110?????2?2同理：?3??3???3,?2?????3,?1??

??2,?2?2??1,?1?11?20???110???001? 2?2?3??111??0?1??12?2再将?1，?2，?3单位化，?1?1?1?1，?2?1?2?2，?3?1?3?3，即可得到单位正交

向量组?1，?2，?3。具体单位化略。

二 题型归纳

1 有关向量组的线性相关性及其线性表示的问题

例1 设向量组?1??1022?，?2??1135?，?3??1?1a?21?，

性相关？线性无关？ ?4??124a?9?，当a为何值时，此向量组线- 10 -

解 注意此向量组是4维的，且有四个向量，因此应用条件：?1，?2，?3，?4?1?2?0，由此可以求出a的值。具体略。 线性相关的充要条件是?3?4例2 已知向量组?1，?2，?3线性无关，则下列向量组线性相关的是：

（1）?1??2,?2??3,?3??1;(2)?1??2,?2??3,?3??1

（3）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1;(4)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

解 方法1 直接观察可得（1）的向量组是线性相关的；

方法2 若直接观察有困难，可按照定义来进行，此种方法较繁，利用

?1，?2，?3线性无关的条件，考察方程组：x1?1?x2?2?x3?3?0是否仅有0解，若

仅有0解，就是线性无关，若有非0解，则就是线性相关（具体略）；

方法3：注意

（?1??2,?2??3,?3??1）???1?2?101????3??110????1?2?3?A2 ?011???而A2是可逆的，因此向量组?1，?2，?3与（2）是等价的，等价的向量组其秩相等，而?1，?2，?3线性无关，故（2）也是线性无关的。

同理向量组（3）、（4）都是线性无关的

例3 设Ⅰ：?1，?2，?，?s均为n维列向量，A是m?n矩阵，则下列正确的是：

（1）若Ⅰ线性无关，则Ⅱ:A?1,A?2,?,A?S线性相关； （2）若Ⅰ线性相关，则Ⅱ也线性相关； （3）若Ⅰ线性无关，则Ⅱ也线性无关； （4）若Ⅰ线性相关，则Ⅱ也线性无关

解：注意这里不知道矩阵A的条件如何，而向量组Ⅱ的线性相关性不仅与向量组Ⅰ：?1，?2，?，?s的线性相关性相关，且与矩阵A的秩也有关系。

- 11 -

按定义进行：设x1A?1?x2A?2???xsA?s?0

?x1??x1??????x??x??A?s??2??A??1?2??s??2??0，此方程组未必仅

???????x??x??s??s???A?1A?2有0解，可能仅有0解，也可能有非0解。

若仅有0解，则?s?r(A?1,A?2,?,A?s)?r(A(?1,?2,?,?s))

又因为r(A?1,A?2,?,A?s)?r(A(?1,?2,?,?s))?r(A),从而?r(A)?，但是矩阵A的条件如何并不知道,因此，结论（2）是正确的。

例3 设向量组

?1，?2，?3线性无关，向量?1可有?1，?2，?3线性表示，而?2不能由?1，?2，?3线

性表示，则对于任意的常数k有：

（1）向量组?1，?2，?3，k1?1??2线性相关； （2）向量组?1，?2，?3，k1?1??2线性无关； （3）向量组?1，?2，?3，?1?k2?2线性相关； （4）向量组?1，?2，?3，?1?k2?2线性无关；

解：注意这里的k是任意的，因此（1）、（3）、（4）都是不正确的，（2）对；事实上，由条件可得:

?1?c1?1?c2?2?c3?3

?1??0?2??0??0?01000k1c1??0k2c2?

1k3c3??01????1?2?3k1?1??2????1?2?3由此可知?1，?2，?3，k1?1??2与向量组?1，?2，?3，?2等价，因而（2）是正确的，同理此方法可用于其他3个的判断。（注意：等价的向量组其秩相同）

- 12 -

?a???2???1??1?????????例4 设向量组?1??2?,?2??1?,?3??1?,???0?，试问：当a,c为何值

?10??5??4??c?????????时，（1）?可由?1，?2，?3线性表示，且表示法唯 一？（2）?不能由?1，?2，?3线性表示？

（3）?可由?1，?2，?3线性表示，但表示法不 是唯一的？解：设x1?1?x2?2?x3?3??，那么上述的问题分别是：（1）此方程组有唯一的解；（2）此方程组无解；（3）有无穷多组解；

a?2?1131??a?4 4由于系数行列式A?210因此，（1）当a??4时，方程组有唯一的解； ；~（2）当a??4时，对增广矩阵 A作初等行变换：??4?2?11??210?1?????~~A??2110??初等行变换?????0011??B

?105?000c?1?4c?????~由B可知，当c?1?0时，方程组无解，因而?不能被?1，?2，?3线性表示；

（3）当c?1?0时，方程组有无穷多组解，因而?能被?1，?2，?3线性表示；且表示法不是唯一的。

例5 设向量组?1，?2，?3，?4和向量组?1，?2，?3，?4用分量表示分别是：

?1??a11?a1i?a1j?a1n?，?2??a21?a2i?a2j?a2n?， ?3??a31?a3i?a3j?a3n?，?4??a41?a4i?a4j?a4n?

?1??a11?a1i?a1j?ka1i?a1n?， ?2??a21?a2i?a2j?ka2i?a2n?， ?3??a31?a3i?a3j?ka3i?a3n?， ?4??a41?a4i?a4j?ka4i?a4n?，- 13 -

证明：若?1，?2，?3，?4线性无关，则 ?1，?2，?3，?4也线性无关，反之也是??1???1???????2???2?i行?k?第j行?????B, 证明：令A???,B???;显然：A?第???3??3????????4??4?这就是说：向量组?1，?2，?3，?4与向量组?1，?2，?3，?4是等价的；而等价向量组其秩相同。故结论成立。

例6 设A是m?n矩阵，而B是n?m矩阵，若AB?Em，证明矩阵B的列向量组线性无关。

证明：方法1：设B???1?2??m?,若有x1,x2,?,xm使得：

x1?1?x2?2???xm?m?0 即??1?2??m?X?0或BX?0

两边同时左乘以A可得：ABX?0又AB?E?X?0，故结论成立。 方法2：因为m?r(Em)?r(AB)?r(A)?m,m?r(Em)?r(AB)?r(B)?m，从而

?r(B)?m?B的列向量组的秩是m,故结论成立。

题型2：有关向量组的极大线性无关组的问题 1 求已知向量组的极大线性无关组的问题

?1??7??2??5?????????30-1???????1?例 设?1???，?2???，?3???，?4???，求此向量组的一个极大线性无

21406?????????0??3??1??2?????????关组，并将其余的向量用极大线性无关组表示。

?1725???30?11???4???21406?

???0312???????234??1解：作A???1?2?3- 14 -

000??1??3-21?714???初等列变换?????20-4-4?

??312??0????7???2???5??213141??10?1??21?3?0?初等列变换?????23?0???1?2?7?1?0?1??21?3?0?初等列变换?????23?0???1?2?7?1?00?4012?1??2??33300?4012?1??2??333??0???4?

0?12??4??1??2?33???0??0?

0?21??4??1??2??3?33?00由此可见：向量组

?1，?2，?3，?4与向量组?1，?2?7?1,?1??2??3,?4??1??2??3 等价，从而向量组

13232313?1，?2，?3，?4与向量组?1，?2?7?1,?1??2??3,?4??1??2??3 有相同的秩，由上显然可见，向量组

13232313???1?2?7?1?11?1??2??3330?10?21??3?210?4??1??2??3???33?4??20?030?0??0?的秩为?0?0??3，而等价的向量组其秩相同，故向量组?1，?2，?3，?4的秩是3，又

?4-?1??2??3?0??4??1??2??3，

因此向量组?1，?2，?3，?4的一个极大线性无关组是?1，?2，?3，，

23132313- 15 -

21且?4??1??2??3，

33??1?????2??????T（T是一个阶梯形如果?1，?2，?3，?4是行向量组，作A????作初等行变换?3??????4?矩阵）方法同上。

例2 已知向量组Ⅰ：?1,?2,?,?s的秩为r，证明Ⅰ中任意r个线性无关的向量

?i1,?i2,?,?ir均是向量组Ⅰ的一个极大线性无关组。

证明：设?j是Ⅰ中的任意一个向量，有条件知道向量组Ⅱ：?i1,?i2,?,?ir，?j线性相关，而?i1,?i2,?,?ir线性无关，因此?j可以被向量组?i1,?i2,?,?ir线性表示，根据极大线性无关组的定义可知：?i1,?i2,?,?ir是向量组Ⅰ的一个极大线性无关组。故结论成立。

题型3 关于向量组的秩

这里提请大家注意：（1）向量组的秩即是向量组所含向量的个数，因此常常与向量组的极大线性无关组相联系；

（2）若向量组Ⅱ可被Ⅰ表示，则r(Ⅱ)?r(Ⅰ)；等价的向量组其秩相同； （3）向量组的秩与其构成的矩阵的秩相等，因此常常与矩阵的秩的性质相联系。一般地

1 若向量组?1,?2,?,?s是具体的m维数字列向量组，求此极大线性无关组和秩，方法如前；

2 对于抽象的向量组（没有给出具体的数字），常用上述原理来转换。

例1 设?1，?2，?3，?4是一个n维向量组，???1??2??3??4，如果向量组

?1????1,?2????2,?3????3,?4????4，证明

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r??1,?2,?3,?4??r??1,?2,?3,?4?

证明:由条件知道?1，?2，?3，?4可被?1，?2，?3，?4线性表示，故

r??1,?2,?3,?4??r??1,?2,?3,?4?

又容易计算：??1?2?3?4????1?2?3?0??1?4??1??1?-1101111011??1? ?1?0??0111又101111011110?0???1?2?3?0??1?4??1??1?111??011????1?2?3?4? ?101?110??这就是说向量组?1，?2，?3，?4与向量组?1，?2，?3，?4等价，故结论成立。

例2证明：r(AB)?min?r(A),r(B)?

该结论大家都知道，但是它的来源并不是很清楚，下面给予证明 证明：设A???1?2??m?,AB???1?2??n?

?b11b12??b21b22??m??????b?m1bm2?b1n???b2n?

?????bmn??AB???1?2??n????1?2??1，?2，?，?n可被?1，?2，?，?m线性表示，因此

r(AB)?r(A),同理可证r(AB)?r(B),故r(AB)?min?r(A),r(B)?。

A是n?2阶矩阵）例3 设A*是A的伴随矩阵（，证明

?nr(A)?n?rA*??1r(A)?n?1

?0r(A)?n?1???证明：因为AA*?AE,若(1)r(A)?n则A?0,从而?r(A*)?n

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（2）若r(A)?n?1?A?0?AA*?0?r(A)?r(A*)?n

又r(A)?n?1?A中必有一个n?1阶代数余子式Aij?0?r(A*)?1，结合以上可得r(A*)?1

（3）当r(A)?n?1是A的所有代数余子式Aij?0?A*?0

例4 如果r(?1,?2,?,?s)?r(?1,?2,?,?s,?),证明：?可被?1,?2,?,?s线性表示。

证明：设r(?1,?2,?,?s)?r假定?1,?2,?,?r是其一个极大线性无关组，因此

?1，?2，?，?r线性无关，又r(?1,?2,?,?s,?)?r，

因此?1，?2，?，?r也是?1，?2，?，?s,?的极大线性无关组，从而?可被

?1，?2，?，?r线性表示，从而?可被?1，?2，?，?s线性表示。

题型4 与向量空间有关的问题

1 已知Rn的一组基?1，?2，，此问?，?n，求?在基?1，?2，?，?n下的坐标；题就是解方程组：x1?1?x2?2???xn?n??，此方程组的解?k1k2?kn?就是所求。

?，求2 已知线性空间V1??k1?1?k2?2???ks?s|?1,?2,?,?s是已知的向量组此线性空间的一组基；此问题事实上就是求向量组?1，?2，?，?s的一个极大线性无关组；

3 已知线性空间V的两组基，求此两组基之间的过渡矩阵；此类问题前面已经给出例子，以自然基为过渡桥梁；

4 与向量（组）正交的问题。

?1??1??0??0?????????3?1??1?，?2??1?，?3??0?；?1??0?，例1 设V?R的两组基分别为：

?1??1??1??1?????????- 18 -

?0??1??-1????????2??1?，?2??2?，求?1，?2，?3到?1，?2，?3的过渡矩阵，并求???2???1??0??1???????在基?1，?2，?3下的坐标。

解 设?1，?2，?3是V的一组自然基， 显然：??1?2?3????1?2?101????3??110????1?2?111????3?T1

??1?2?3????1?2?101????3??012????1?2?1?10????3?T2

??1?2?3????1?2?3?T1?1T2

?由基?1?2?3到基?1?2又设??k1?1?k2?2?k3?3???1?3的过渡阵A?T1?1T2

?2??1????3??1?2?

?1????2??1??k1??????3??2?，??k2????1?1??k????3?具体求解略。

?1???例2 设?1??1?，求?2，?3使得?1，?2，?3相互正交。

?1????x1???解：先求?2，再求?3；设?2??x2?，由于?1与?2正交，因此

?x??3???1???x1?1?x2??x3?1?0求得一解：?2??1?

?0???再求?3；由于?1，?2与?3正交，因此可以得到：

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?1????y1?1?y2?1?y3?1?0求得?3??1? ??y1?(?1)?y2?1?y3?0?0?-2????1??1?????因此所求得的向量为：?2???1?,?3??1?。

?0???2?????例3 已知?1??11?11?,?2??1?1?11?,?3??2113?，求与

?1，?2，?3都正交的单位向量。

解：设???b1b2b3b4?为所求的正交向量，根据条件可得：

?b1?b2?b3?b4?0??b1?b2?b3?b4?0 ?2b?b?b?3b?04?123解得：???401?3?，再将?单位化即可。

?1??1??2????????2??1??1?例4 设?1???,?2???,?3???,若由向量组?1，?2，?3生成的向量空间V?101???????0??2??a???????的维数是2，求a。

解：因为由向量组?1，?2，?3生成的向量空间的一组基就是?1，?2，?3的一个极大线性无关组，由条件知此极大线性无关组所含有的向量个数是2，即

r(?1,?2,?3)?2

显然?1，?2线性无关，从而?3可被?1，?2线性表示，?a?6(?3?3?2??1)。

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