对数函数的图像与性质

南郊中学高一促中第六讲 邓鹰 王党爱

1 专题9 对数函数的图像与性质

考点1 对数函数的概念

1．函数()()25log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ??

???等于( )

A ．3

B ． 3-

C ．3log 6-

D ．3log 8-

2．下列函数是对数函数的是（ ）

A ．log (2)a y x =

B ．2log 2x

y = C ．2log 1y x =+ D ．lg y x =

考点2 对数函数的定义域与值域

3．函数()x y lg 42=-的定义域是( )

A ．()2,4

B ．()2,∞+

C ．()0,2

D ．(),2∞-

4．函数1log 82x x y 的定义域是（ ）

A ．()1,3-

B ．()0,30

C ．()3,1-

D ．()()1,00,3-

5．函数

y = ）

A ．3,4??-∞ ???

B ．3

,14?

? ??? C ．(,1]-∞ D ．3

,14?? ???

6．已知集合}{13≤<-=x x A ，集合(){}2|lg 2B x y x ==-，则A B =（ ）

A ．[

B ．(

C ．[-

D ．(-

7．下列函数中，与函数y =( )

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2 A ．()ln f x x = B ．()1

f x x = C ．()||f x x = D ．() x f x e =

考点3 反函数

8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数________.

9．函数1()2x f x +=的反函数______

考点4 对数函数的图像

10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( ) A ．B ．C ． D ． 11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．

13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（

）

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3

A ．a

B ．b

C ．d D ．c

考点5 对数函数的性质 14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2log y x =

B ．3y x x =+

C ．3x y =

D ．1y x =-

15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．a b c <<

D ．b a c <<

易错专攻

易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错）

16.若

，则a 的取值范围是________．

易错点2 （易错点提醒：忽略复合函数中函数的定义域而致错） 17.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.

易错点3 （易错点提醒：忽略符合函数中的值域而致错）

18.已知函数??

? ?????? ??=x x x f 4log 2log )(5.02

，(x ∈，求： （1）求x 2log 的取值范围；（2）求)(x f 的值域．

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4 19.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．[2，＋∞) C ．1[,2]2-

D ．1(,2]2

-

易错点4 （易错点提醒：忽略分段函数的定义域分界点而致错） 20．设函数()()21

2

log ,0

{log ,0x x f x x x >=-<，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．

∪ B ．∪

C ．

∪ D ．∪ 21．3(21),1()2log ,1

a a x a x f x x x ?--

B ．(1,2]

C ．11,73??????

D ．1,17??????

22．已知函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ?--≤=?

+>?，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．312a <<

B ．312a <≤

C ．32a >

D ．32

a ≥

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5 专题9 对数函数的图像与性质

考点1 对数函数的概念

1．函数()()25log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ??

???

等于( ) A ．3

B ． 3-

C ．3log 6-

D ．3log 8-

【答案】B

【解析】

【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入

18

得出结果． 【详解】

因为函数()f x 为对数函数， 所以函数()f x 系数为1，即251a a +-=，

即2a =或3-， 因为对数函数底数大于0，

所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ??=- ???

． 【点睛】

对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1． 2．下列函数是对数函数的是（ ）

A ．log (2)a y x =

B ．2log 2x y =

C ．2log 1y x =+

D ．lg y x =

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数函数的定义即可判断.

【详解】

由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合.

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6 故选D

【点睛】 本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义.

考点2 对数函数的定义域与值域

3．函数()x y lg 42

=-的定义域是( ) A ．()2,4

B ．()2,∞+

C ．()0,2

D ．(),2∞- 【答案】D

【解析】

【分析】

由对数函数的定义域以及指数函数的性质可得函数()x y lg 42

=-的定义域． 【详解】

由函数()x y lg 42=-，

得到x 420->，即x 2242<=，

解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，

故选D ．

【点睛】

本题考查了对数函数的定义域以及指数函数的性质，是基础题目．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()

f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.

4．函数1log 82x x y 的定义域是（ ）

A ．()1,3-

B ．()0,30

C ．()3,1-

D ．()

()1,00,3- 【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数底以及真数限制条件列不等式，解得结果

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7 【详解】

3820(1,0)(0,3)1,0

10,11x x x x x x x ?∴∴∈-???>-≠+>+≠??，选D. 【点睛】

本题考查对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题。

5．函数

y =

） A ．3,4?

?-∞ ??? B ．3,14?? ??? C ．(,1]-∞ D ．3,14?? ???

【答案】B

【解析】

【分析】 根据偶次方根的被开方数为非负数、对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

【详解】

由题意得到：12log (43)00431430

x x x -≥???<-≤??->?， 解得314x <≤，所以函数的定义域为3,14?? ???

． 故选：B

【点睛】

本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.

6．已知集合{|31}A x x =-<，集合(){}2|lg 2B x y x ==-，则A B =（ ）

A ．[

B ．(

C ．[-

D ．(- 【答案】D

【解析】

【分析】

先化简集合B,再求A

B 得解.

【详解】

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8

由题得(B =，

因为{|31}A x x =-<，

所以(A

B =-. 故选：D

【点睛】

本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7

．下列函数中，与函数y =( ) A ．()ln f x x =

B ．()1f x x =

C ．()||f x x =

D ．() x f x e = 【答案】D

【解析】

【分析】

求出y =. 【详解】

y =(0,)+∞，

0,0y >=>，

y =(0,)+∞， ()ln f x x =值域为R ，选项A 不正确；

()1f x x

=值域为(,0)(0,)-∞+∞，选项B 不正确； ()||f x x =值域为[0,)+∞，选项C 不正确；

() x f x e =值域为(0,)+∞，选项D 正确.

故选:D.

【点睛】

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9 本题考查函数的值域，要熟练掌握简单初等函数的值域，属于基础题.

考点3 反函数

8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数()1f

x -=________. 【答案】()12

1x x -≥

【解析】

【分析】

先求得()f x 的值域,再利用反函数的求法求解即可.

【详解】

∪1x ≥,∪21log 1y x =+≥,

由21log y x =+,解得12y x -=,

故()()1121x f x x --=≥. 故答案为：()12

1x x -≥.

【点睛】 本题主要考查了反函数的求解方法,属于基础题型.

9．函数1()2x f x +=的反函数1()f

x -=______ 【答案】2log 1(0)x x ->

【解析】

【分析】

由120x y +=>可得2log 1(0)x y y =->，x 、y 互换，即可求得反函数.

【详解】

因为120x y +=>，所以2log 1(0)x y y =->，

交换x 、y 的位置可得函数12

x y +=的反函数1()f x -=2log 1(0)x x ->，

故答案为：2log 1(0)x x ->.

【点睛】 本题考查指数函数的反函数的求法，属于基础题，解题时注意对数函数和指数函数的相互转化，反函数的

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10 定义域是原函数的值域.

考点4 对数函数的图像

10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】

先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.

【详解】

先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.

如图所示：

故答案为C

【点睛】

本题主要考查函数图像的作法和函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析图像能力. 11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

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11 【解析】

【分析】

根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可.

【详解】

解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ，

由20x +>得2x >-，

即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础. 12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1得到a 的取值范围，当0x >时，log a y x =，由函数的单调性即可判断正确答案.

【详解】

由函数||

x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，得01a <<， 所以当0x >时，log a

y x =单调递减，排除A ，C ，D.

故选：B

【点睛】

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12 本题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质，属于基础题. 13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ）

A ．a

B ．b

C ．d D ．c 【答案】D

【解析】

【分析】 利用在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近，即可得解

【详解】

如图所示，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近， 可知0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查对数函数的图象是如何受底数影响的．

考点5 对数函数的性质

14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2log y x =

B ．3y x x =+

C ．3x y =

D ．1y x =- 【答案】B

【解析】

【分析】

逐一判断各选项中函数的奇偶性及单调性，可得出结论.

【详解】

对于A 选项，令()2log f x x =，定义域为{}0x x ≠，()()22log log f x x x f x -=-==

，该函数为偶

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13 函数，当0x >时，()2log f x x =，

所以，函数()2log f x x =在区间()0,∞+上为增函数，在区间(),0-∞上为减函数；

对于B 选项，令()3g x x x =+，定义域为R ，()()()()3

3g x x x x x g x -=-+-=--=-， 该函数为奇函数，由于函数31y x =和2y x =均为R 上的增函数，

所以，函数()3

g x x x =+为R 上的增函数； 对于C 选项，函数3x y =为非奇非偶函数，且在R 上为增函数；

对于D 选项，函数1y x

=-是定义域为{}0x x ≠，该函数为奇函数，且在定义域上不单调. 故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.

15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ）

A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．a b c <<

D ．b a c << 【答案】B

【解析】

【分析】

与中间值 0和1比较后可得．

【详解】

因为对数函数0.2log y x =是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<. 故选：B.

【点睛】

本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．

易错专攻

易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错）

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14 16.若，则a 的取值范围是________． 【答案】),1()32,0(+∞

【解析】

试题分析：当1>a 时，032log

20<

2,0(+∞ ．

考点：对数函数

【方法点睛】对应此题涉及到解对数不等式中的底数，是中档习题，一般来说，底数是未知数，所以要对底数进行讨论，分1>a 和10<

易错点2 （易错点提醒：忽略复合函数中函数的定义域而致错）

17.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.

【答案】(]1,2

【解析】

【分析】

确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.

【详解】 0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.

故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤.

故答案为：(]1,2.

【点睛】

本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.

易错点3 （易错点提醒：忽略符合函数中的值域而致错）

18.已知函数??

? ?????? ??=x x x f 4log 2log )(5.02

，(x ∈，求： （1）求x 2log 的取值范围；（2）求)(x f 的值域．

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15 【答案】（1）

21log 42x ≤≤（2）1[,6]4

- 【解析】 试题分析：（1）求x 2log 的取值范围即求函数2log y x =

在定义域x ∈下的值域，求解时结合函数单调性可得到其最值；（2）利用对数运算法则将函数式整理变形为关于x 2log 的二次函数，结合x 2log 的范围即二次函数的定义域求解函数的值域

试题解析：（1）设2log y x =

，结合函数为增函数，当x ∈

，y ?∈?

，所以x 2log 的取值范

围为??

（2）()()220.522224()log log log 1log 2(log )3log 22x f x x x x x x ????=?=--=-+ ? ?????

设2log t x =则()232f t t t =-+

2log t x ?=∈?，结合二次函数对称轴32t =可得函数值域为()1[,6]4

f t ∈- 考点：1．对数函数单调性及最值；2．二次函数单调性及最值

19.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，2)

B ．[2，＋∞)

C ．1[,2]2-

D ．1(,2]2- 【答案】D

【解析】

分析：可看出该函数是由23t x ax a =-+和13

log y t =复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义便可建立关于a 的不等式组，解出即可.

详解：令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a,易知f (t )＝log 0.5t 在其定义域上单调递减,要使f (x )＝log 0.5 (x 2－ax ＋3a )在[1,＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1,＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即所以

即－

点睛：本题考查二次函数、对数函数和复合函数的单调性，以及复合函数的定义，对数函数的定义域. 易错点4 （易错点提醒：忽略分段函数的定义域分界点而致错）

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16 20．设函数()()21

2

log ,0

{log ,0x x f x x x >=-<，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 A ．

∪ B ．∪

C ．∪

D ．∪ 【答案】C

【解析】

试题分析：

时，，，当时，，，，

所以有，故选C ． 考点：对数函数的性质，分段函数．

21．3(21),1()2log ,1

a a x a x f x x x ?--

B ．(1,2]

C ．11,73??????

D ．1,17??????

【答案】B

【解析】

【分析】

根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数，再由临界点建立不等关系即可求解

【详解】

()f x 是R 上的增函数，∴满足21013log 1212a a a a a ??->?>???≥--?，解得(1,2]a ∈

故选B

【点睛】

本题考查由函数的单调性求解参数范围，属于基础题

22．已知函数()()211,1log 1,1

a a x x f x x x ?--≤=?+>?，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为

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17 A ．312a <<

B ．312a <≤

C ．32a >

D ．32

a ≥ 【答案】B

【解析】

【分析】 由函数()f x 在定义域R 上单调递增列不等式组求解。

【详解】

因为函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ?--≤=?+>?

， 若函数()f x 在定义域R 上单调递增，

则()2101211log 11a a a a ?->?>??--≤+?，解得：312a <≤ 故选：B

【点睛】

本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点。