十一学校数学小升初内部讲义电子版1

目 录

第一讲 逻辑推理初步??????????????2 第二讲 循环小数化分数?????????????4 第三讲 分数计算（一）?????????????10 第四讲 分数计算（二）?????????????13 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲

分数、百分数应用题（一）????????17 分数、百分数应用题（二）????????22 生活中的经济问题????????????27 工程问题????????????????29 圆的周长与面积?????????????32 不定方程????????????????40

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第一讲 逻辑推理初步

学习提示：

本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。 典型题解

下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。

例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。学生回答如下：

甲：2是泰山 ，3是华山 乙：4是衡山，2是嵩山 丙：1是衡山，5是恒山 丁：4是恒山，3是嵩山 戊：2是华山，5是泰山。

老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？ 例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。乙说：“他的书不到1000本”。丙说：“他至少有一本书”。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？

例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。

例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知： （1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。则图中的8张牌各是什么牌？

例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字： 张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略” 李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦” 王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼” 陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略”

老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？

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例6 在一次有3人参加的讲话中，小张指责小王和小李：“你们都在说谎。”小李却说：“小张正在说谎。”小王则说：“小李正在说谎。”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？ 例7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知道下面三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工 请问他们各是什么工种？

例8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共13张牌），已知某人手中的牌如下： （1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；（2）各种花色的牌，张数不同；（3）红桃和黑桃共有6张；（4）红桃和方块共有5张；（5）有两张主牌（将牌） 问这手牌以什么花色为主牌？

逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。

例9 同住一间宿舍的A、B、C、D四名女大学生，正在听一组乐曲。她们当中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。已知：

（1）A不在修指甲，也不在看书 （2）B不在化妆，也不在修指甲 （3）如果A补在化妆，那么C不在修指甲 （4）D不在看书，也不在修指甲。问她们各自在做什么？

例10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课。现知道：

（1）化学老师和数学老师住在一起，（2）甲老师是三位老师中最年轻的，（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手，（4）物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻，（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？

例11 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译，B、C、D不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？

例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，经过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。现已知： （1）甲最后读的书是乙读的第二本，（2）丙读的第二本甲在一开始就读了，（3）丙最后读的书是乙读的第四本，（4）丁读的最后一本是丙读的第三本，（5）乙读的第四本是戊读的第三本，（6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。请判断出读这五本书的顺序。

例13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道： （1）小东不在一中，（2）小兰不在二中，（3）爱好排球的不在三中，（4）爱好游泳的在一中，（5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？ 例14 宾馆里住着A、B、C、D、E、F六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、俄国和意大利，现在知道： （1）A和美国人是医生，（2）E和俄国人是教师（3）C和德国人是工程师 （4）B和F都曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比A年龄要大（7）C比意大利人年龄小 （8）B同美国人到英国去旅行（9）C同法国人要到瑞士去度假。问：A、B、C、D、E、F各是哪国人？

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第二讲 循环小数化分数

学习提示：

在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。

典型题解

一、 循环小数化成分数 1、 纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数：

? (2)3.102?? (1)0.6??10?6.6666解：（1）0.6? 0.6=0.6666??9?6 两式相减得 0.6?6?2 所以0.6=93

?1?0?0.1?02解：（2）3.先看小数部分2???1000?102.102.102…… 0.102???0.102.102 0.102???999?102 两式相减得 0.102???102?34 所以0.102999333???3102?334 3.102999333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个

循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

2、 混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2 把混循环小数化分数

??? （1）0.215 （2） 6.353 4

???1000=215.1515……解：（1）0.215???10=2.151515…… 0.215???990=215?2 两式相减得0.215??215-2?213?71 0.215=990990330?解：（2）先看小数部分0.353??1000=353.333…… 0.353??100=35.333…… 0.353??900=353?35 两式相减得0.353?353-35?318?53 0.353=900900150?353-35?6318?653 所以 6.353=6900900150 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分

子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

练习：1、化纯循环小数为分数。

????? （1）0.23 （2）0.1072、 化下列混循环小数为分数。

????? （1）0.312 （2）0.003 （3）0.2316

二、 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。 例3 计算下面各题：

????-1.32 ??（1）2.45+3.13 （2）2.609

?????(3)4.3?2.4 (4)1.24?0.3解：先把循环小数化成分数后计算。

5297+3=5 111516561322839（2）原式=2-1=1 100999900

1416(3)原式=4?2=10 3927818(4)原式=1?=3 33311（1）原式=2 5

三、 循环小数作加法

循环小数能直接作加法运算吗？

（1） 有限小数加循环小数 考察下面的例子。计算：

? 0.2???30.2?0.38?0.?0. 7 0.4 2?? 0.67?? 5?30.98?0.458?0.?0. 0.6 8 目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。

??1?1?8?0.53? 0.2?0.35315??7?7?238?1.057? 0.28?0.7259225???2?32?358?0.7232?? 0.4?0.32599495???49?5?789?1.4345?? 0.98?0.455011550???339?6?6729?1.223454?? 0.678?0.54500115500??3?35?89?0.98? 0.6?0.3859090 现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。

??0.2?0.33??0.53? 0.2?0.3??0.28?0.777??1.057? 0.28?0.7???0.4?0.3232???0.7232?? 0.4?0.32???0.98?0.4545???1.4345?? 0.98?0.45???0.678?0.545454???1.223454?? 0.678?0.54??0.98? 0.6?0.38怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。我们利用类似的方法还可以去研

究其他的几种情形。

（2） 两个循环节位数相同的纯循环小数相加。 考察下面的一些例子。

??0.3??2?3?5?0.5? 0.2999???0.405???123?405?528?0.528?? 0.123999999999 6

??0.6??3?6?1 0.399??0.7? ??8?7?5?1.60.8993???58?49?107?1.08?? ???0.490.58999999???0.584???978?584?1562?1.563?? 0.978999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ （3） 两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。 考察下面的例子：

??0.21???3?21?54?0.54?? 0.399999??0.212???6?212?878?0.878?? 0.69999999???0.324???23?324?556647?0.556647?? 0.2399999999999???5?98?153?1.54? ??0.980.599999???0.498???67?498?1175265?1.175266?? 0.6799999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？ 如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环

小数之间的加法运算就不是一件难事了。

★ 规律

（1） 有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节

相同。法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节??补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。

（2） 两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是：

用两个循环节相加的和除于99??9（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。

（3） 两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节

的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小数，再按照法则（2）进行计算。

练习 1． 直接计算下列各题

??0.3? 0.43???0.35?? 0.?9? 80.4?0.???0.89?? 0.?4????80.98?0.9?0. 8 0.?5 9

7

???0.234?? 0.?4????50.1235?6?0.8 6 0.?7??0.789? 7?? 0.?8?0.42?5?0.

2． 直接计算下列各题

?1?0. 2??0.435? 0.3?0.238?9???0.283?? 0.?20??0.754633． 将分数化成小数计算

????0.93?7?0. 8 0.2 8?0??0.7?8 ? 2 0.6?? 70.6251(1)?0.85 (2)??0.38 369254917583113(3)???? (4)0.3????

36911998999999四、 循环小数与整数作乘法

我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下面分两种情形来讨论。

（1） 纯循环小数乘以整数。 考察下面例子：

??2?3?2?0.6? 0.3??4?3?4?1.3? 0.3998373348?????2?43?2?0.86?? 0.?8?0.433?7?4?4??3. 35199999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？

（2） 混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进

行计算。例如，计算

??5?(0.32??10?5)?10?(3.2??5)?10?16.1??10?1.61? 0.32 任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法

则。

★ 规律

（1） 纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数

中的循环节位数相同。法则是：用循环节乘以整数的积除以99??9（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。

（2） 混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，

按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。

练习

1、 计算下列各题

??2 0.0????6 0.44 4 0.24

8

??8 0.?5?????5 0.3246 3 0.056???7 0.1256???9 0.?5?0.2560?6 82、 计算

??0.9 0.87???0.65 0.85?0.6??13 0.88??8 7??? 1?17?0.35 125?0.8?74?9?0. 7.09

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第三讲 分数计算（一）

学习提示：

在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和知识掌握的灵活程度。 典型题解 例1 1120111934???3.003 20919195分析 我们在五年级学过数的整除，看到209、119、195这样的数，不难想起7、11、13、19等质数，3.003好象与1001有关系，它可是有7、11、13这三个质因数，好象能约分，可以试一试。

250019343003???

20911919510002500192?173?7?11?13??? ?

11?197?173?5?131000 = 1

原式?太好了，约完分正好等于1。看到一个数字，你能想起哪些数学知识，这也可以说是数感吧！

?例2 200420042004?20051 2006分析：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母2004?2005?2004，这算式可以运用乘法分配律等于2004?2006，又可以约分。

原式=2004?2004?20061?

2005200620051?2004?2006200620051 ? ?20062006?1=2004?真好，又等于1。聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出2004?2005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到1?1法就留给你们吧！

200420051也是很好算的，这一方20058例3 31.?17.?9?199?44?4. 32.1分析 算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法

算式中分别有两个因数7.9和2.1，但是另一个因数不相同，可以把44.3拆成31.8与12.5的和后反复运用乘法分配律。

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1原式=31.8?7.9?19?9?(31.8?12.5)?2.14

1=31.?87.?9?19?94?31.?8(7.?9?31.?82.?112.52.11?2.1?)1?99?12.52.14?318?1?9?(81.?25)?1.252.1?1?9?8?19 ?318?318?15?2?520怎么样，合理运用和、差、积、商的变化规律进行拆分、转化创造条件运用运算定律，可以使计算变的简单吧。

例4

1.?25?1.252. 121)?318?15?21.?25?(19501?2?3?4+2?4?6?8+4?8?12?16

1?3?5?7+2?6?10?14+4?12?20?28分析 看起来数很大、很复杂，但排列很有规律性。1?2?3?4自不用说，

2?4?6?8?1?2?2?2?2?3?2?4=24?1?2?3?4;哇！分母也有这一规律，用乘法分配律又可以约分了。

4?8?12?16=44?1?2?3?4.14?1?2?3?4?24?1?2?3?4+44?1?2?3?4原式=4

1?1?3?5?7+24?1?3?5?7+44?1?3?5?71?2?3?4?(14+24+44) ? 4441?3?5?7?(1+2+4) ?例5

8 352004?4 22004?2003?2005分析 20042即2004?2004表示2004个2004,2003?2005表示2005个2003,也可以看成2004个2003再加上一个2003,这样分母就转变为2004?(2004-2003)-2003=12004?4 2004?2004?2003?2004?20032004 =?4

2004?(2004?2003)?2003 =2004+4 =2008

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原式?

其实此题运用的就是例3中拆数的方法，正反运用乘法分配律。 分数计算千变万化，但万变不离其宗，除了要掌握分数运算的计算法则、定律、性质外，还要有以下两种意识：

1、 约分。约简分子、分母中的公因数及公因式。

2、 灵活运用定律、性质。这里说的主要是运用乘法分配律。对于形如乘加(减)乘的算

式及乘法算式，有一个因数可以凑整时，分析另一个因数的特点，必要时进行拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

同学们，通过以上讲解，不知对你是否有些启发，试一下怎么样。 课后自测：

1、 5.61?9.9?0.38?(0.19?33?1.1)1033142、 3?2.84?3?(1?1.42)?14525199813、 1998?1998?199920001534、 ?（3.47??3.6?7.53 3)91854231195、 1?(18?)?20?193412231391.3?3.9?11.7?3?9?27???1717176、 1231.3?2.6?3.9?3?6?9???1717171111117、 1?1?1?1???1?123459989991?2?3?4?5?6?7?8?9?8?7?6?5?4?3?2?18、

9999999992

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第四讲 分数计算（二）

学习提示

在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目：

1111???，如果直接1?22?33?44?514?。通过拆分，使得一部分分数55通分计算，是对的，但是显然很麻烦。我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计

（?）?（?）?（?）?（?）=1?算：原式=

1112112311341145相互抵消，从而简便计算。两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数叫做埃及分数。埃及分数在分数计算中有着重要的规律。

如

111（）1??a?(a?1)aa?11111(2)?(?)?(a,b为两个连续自然数，且a?b)a?babb?a1111(3)??(?)(a,b,c为三个连续自然数，且a?b?c)a?b?c2a?bb?c1111(4)??(?)(a,b,c,d为四个连续自然数，且a?b?c?d)a?b?c?d3a?b?cb?c?d这一讲，我们就来研究通过分数的拆分，计算较复杂的分数计算题。

典型题解 例1、

11111?????? 1?22?33?498?9999?100分析 每项分子都是1，分母都是两个连续自然数的乘积，所以每项都可以拆成两个单位分数的差，一部分分数相互抵消，从而使计算简便。

1111111111?????????? 1223349899991001 ?1?

10099 ?

100解答 原式??怎么样，够简单吧。 例2、

111111????? 2?55?88?1111?1414?1717?20

分析 每项分子都是1，分母排列很有规律，但不是连续的自然数，差均为3，拆分时不要忘

1 3111111111111111) 解答 原式=?(?)??(?)??(?)????(?)??(?32535838113141731720了每一项都乘以

13

111??(?)3220

3?20例3、

20042004200420042004???? 545117221357分析 哇！数太大了吧。别急！仔细看看，分子可都是2004，不就可以看成2004乘分子都是1的分数了吗。那分母呢？5?1?5,45?5?9,117?9?13,221?13?17,357?17?21，分母是两个差是4的自然数的乘积形式，可以拆分分数了。不过，可别忘了2004乘

解答 原式?2004?(?1 4151111???) 45117221357111111?2004?(????)?1?55?99?1313?1717?21411 ?2004?(1?)?

2143340?7题目的形式变了，可逃不脱同学们敏锐的观察力，总可以转化成我们学习过的形式。艺高人胆大，胆大可还要心细哟！

1111????例4、1?2?32?3?43?4?518?19?20

分析 这道题的每一项的分子都是1，分母均为3个连续自然数相乘的形式，可以用拆分分数的方法。怎么拆？比如第一项：了三个连续自然数都乘

解答 原式?(1111?(?)?，依此类推，噢对了，别忘

1?2?31?22?321 2111111111?)??(?)????(?)? 1?22?322?33?4218?1919?2021111111?(???????)?1?22?32?33?418?1919?202111?(?)?23802

1891??3802189?760

14

11113994例5、2? ????1111111111?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)?(1?)2232342399分析 没见过这么复杂的题，太难了！没关系，找不到思路的话可以一项一项的试算一下看

有没有什么规律：

12?1?3?1?2?2122232?31?2111223 ?3???1134343?4(1?)(1?)?23231112244????111345454?5(1?)(1?)(1?)??234234发现了，发现了，都可以转化为分子都是2，而分母是两个连续自然数乘积的形式，那么最

2，就如同例3，可以拆分分数了。

99?1001111994解答 原式?2?3? ???3343453451????????22323423499后一项就是

2222?????2?33?44?599?100111111?2?(???????)233499100

11?2?(?)210049?50?怎么样，还不算难把。灵活利用埃及分数的拆分规律，可以简便这一些看起来很复杂的分数数列计算。但要特别注意以下几点：

1、 认真审题。找准规律，灵活应用简算方法。

2、 对于比较陌生的题目，可采用试算找规律的方法，转化为学习过的题目。 3、 掌握基本方法的同时，勇于创新，寻找新的解题方法。

好了，开始我们的练习，在练习中巩固你学会的方法，并开始你新的探索！

15

课后自测：

1111????? 2?33?44?52003?20041111111?????? 2、

1220304256729011113、1?2?3???20

2612420555555?????(首届《六一》杯六年级决赛试题）4、 14842043745948642222?????5、

1?2?32?3?43?4?528?29?301、6

、

234100?????1?（1+2）(1+2)?（1+2+3）(1+2+3)?（1+2+3+4）(1+2+?+99)?（1+2+?+100）1111????? 1+21?2?31?2?3?41?2?3???191111?????8、

1?2?3?42?3?4?53?4?5?611?12?13?141121231234112399?????9、1??????????????

233444555561001001001007、

12?2222?3232?4242?5220022?2003220032?20042???????10、 1?22?33?44?52002?20032003?2004

16

第五讲 分数百分数应用题（一）

学习提示：

分数，百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学的重点和难点之一。学好分数，百分数应用题对发展能力，提高解题技能，具有非常重要的作用。解答分数，百分数应用题的关键是确定单位“1”，能够准确找出量与率之间的对应关系。分数，百分数应用题涉及的知识广泛，数量关系变化莫测，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，能灵活的应用一些解题方法。

基本训练：

（1），男生人数占全班人数的

5，你想到了什么？ 11分析 这句话就是我们平时所说的“带有分率的句子”，它包含了丰富的数量关系，看到这句话我们能想到： 1， 把全班人数看作单位“1”，把全班人数平均分成11份，男生相当于其中的5份，女

生相当于其中的6份。 2， 3， 4，

女生人数占全班人数的男生人数占女生人数

6。 115。 66女生人数是男生人数倍。

52，还剩多少页？ 3。。。。。。

（2），读一本120页的书，读了这本书的分析 1，

读了这本书的

22，以这本书的页数为单位“1”，没读的占这本书的1?，单位“1”332?2?的对应量： 120??1???40（页）。量与率的3?3?2，以这本书的页数为单位“1”，把3的量是已知的为120页，求1?对应是解答分数，百分数的应用题的关键。

2，

我们还可以换一个角度来思考：读了这本书的

单位“1”平均分成3份，读了其中的2份，还有（3-2）份没读，120?3??3?2??40（页）这样就把一个分数应用题转化为整数应用题，这是解答分数，百分数应用题的一个重要思路。

（3），读一本120页的书，第一天读了这本书的少页没有读？

分析 把百分数化成分数，分析的方法与上题相同。120??1?1，第二天读了这本书的2500，还剩下多3??1?。 ?2500??50（页）

3?（2），（3）题的数量关系基本是相同的：单位“1”的量?分率=分率的对应量。

17

（4），读一本120页的书，第一天读了这本书的页没读，这本书一共多少页？

1，第二天读了这本书的2500，还剩下503分析 以这本书的总页数为单位“1”，还与剩下的50页对应的分率是1?位“1”的量，用除法计算：50??1?1?2500，求单3??1?。 ?2500??120（页）

3?1，第二天读了这本书的2500，第一天比第二天多3（5），读一本书，第一天读了这本书的读了10页，这本书一共多少页？ 分析 第一天比第二天多占这本书的

1?2500，与第一天比第二天多看的10页相对应，求3单位“1”的量，用除法计算10???1?。 ?2500??120（页）

?3?（4）（5）（6）题的数量关系基本相同，分率的对应量?分率=单位“1”的量。在认真读题

的基础上，首先确定谁为单位“1”，再结合线段图确定量率对应关系。这是解决较为复杂分数，百分数应用题的基础。

典型题解

例1．读一本书，第一天读了这本书的下43页没读，这本书一共多少页？

11还多10页，第二天读了这本书的少3页，还剩3411。第二天正好读了这本书的，3411那么还剩的页数就是43+10-3，转化为型如题（4），量率对应便清晰了：43+10-3与1??34分析 假设第一天多读的10页没有读，这好事这本书的相对应，求这本书的总页数，用除法计算。 解答

11??43?10?3????1????34?

?50??120512答：这本书共有120页。 例2

用两天读完一本130页的书，第一天读的页数比第二天的

1多10页，第一天读了2多少页？

分析 由题意知道第二天读的页数是单位“1”，画线段图如下：

18

假设第一天读的页数正好是第二天的两天共读的占第二天的（1+

1，则全书的页数为（130-10）页，从图中可以看出，21），与（130-10）相对应，求单位“1”的量用除法计算，求21） 2出第二天读的页数后。再求第一 天读的页数。 解法1 第二天 （130-10）?（1+ =120?3 2 =80（页）

第一天 130-80=50（页） 答：第一天读了50页。

解法2 本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答 （130-10）?（1+2）+10 =120?3?10 =50（页）

答：第一天读了50页。 例3

阳光水果店运来荔枝，香蕉，苹果共1600千克。当卖出荔枝总数的

5和150千克7香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。原来运来这三种水果各多少千克？

分析 由题意可知以荔枝的总数为单位“1”，卖出荔枝总数的

52，还剩荔枝总数的。卖出77150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。说明香蕉的数量相当于荔枝总数的

22还多150千克。苹果的数量相当于荔枝总数的少200千克。77假设运水果时少运150千克香蕉，多运200千克苹果，即1600-150+200=1650（千克），这1650千克正好对应荔枝总数的?1???22???，所以有： 77???22??? 77?解答 荔枝的数量：（1600-150+200）??1? 19

=1650?11 7 =1050（千克）

21050??150 香蕉的数量： 7?300?150 =450（千克） 苹果的数量：1050?2?200 7 =300-200 =100（千克）

答：水果店原来运来荔枝1050千克，香蕉450千克，苹果100千克。 提示：本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答，很好解的哦，就留给同学们吧。 例4

小华读一本故事书，第一天读了这本书的220页，这本书一共多少页？

分析 以这本书的总页数为单位“1”，第二天读了余下的

13，第二天读了余下的，两天一共读了35313，也就是读了1?的，第535二天读了这本书的?1?????121?32?，两天共读的220页与两天共读的分率?相对应。

353?55解答 220????1????

?1??3?1?3?3?5? =220?? =220??12??? ?35?11 15 =300（页） 答：这本书共有300页。 例5

甲，乙两人分别有人民币若干元，甲比乙多

14，当甲给乙9元时，乙反而比甲多，35问甲乙两人原来分别有人民币多少元？

分析 注意到本题中甲乙两人持有的人民币的总和没变，因此把两个人的钱数总和看作单位

144”可以知道甲占两人总数的，后来“乙反而比甲多”，甲占总数375455的，由此可以确定与?的差相对的量是9元。

71414“1”，由“甲比乙多解答： 9???1????1?????1??3??1??4???1??1??1??1???42（元） 3??5??20

甲原来有42?4?24（元），乙原来有42?24?18（元） 7答： 甲原来有24元，乙原来有18元。

课后自测 1．

小华看一本故事书，每天看60页，3天后还剩下这本书的页？

2．

小芳读一本故事书，第一天读了这本书

5，这本故事书共有多少811还多6页，第二天读了这本书的少8页，681，9最后还剩下172页没读，这本故事书一共多少页？

3．

参加六年级数学竞赛的学生共有577人，其中未获奖的女同学占女同学人数的

未获奖的男同学有33人，获奖的男女同学人数相等，问参赛的女同学共有多少人？

4．

有红黄两种颜色的球共130个，拿出红球的

1，再拿出4个黄球，剩下的红球和黄53，下半年完成7球个数正好相等，原来红球和黄球各有多少个？

5．

某发电厂去年计划发电140万千瓦时，结果上半年完成全年计划的全年计划的

6．

3，去年超额发电多少千瓦时？ 53菜农的西红柿大丰收，收下全部的时，装满了4筐还多50千克，收完其余部分时，

8又刚还装满8筐，求共收西红柿多少千克？

某校共有五，六年级学生210人，五年级有21人参加了七一文艺演出，六年级有2500的学生参加了文艺演出，这是两年级剩下的人数相等。五，六年级各有学生多少人？ 某种彩色电视机要让利销售，如果按销售价打九折出售，还可盈利210元，如果按销售价打八折出售，就要亏损120元，那么这种电视机的进价是到少元？ 有红，黄两种颜色的球，红球的5000与黄球的红球的

7．

8．

9．

1合在一起是130颗，黄球的5000与31合在一起是120颗，红球和黄球各有多少个？ 310． 甲，乙两个仓库存有若干吨玉米，如果从甲舱运24吨到乙仓，则甲仓的玉米比乙仓少

35，如果从乙舱运24吨到甲仓，则乙仓的玉米比甲仓少，甲乙两仓共存玉米78多少吨？

21

第六讲 分数百分数应用题（二）

学习提示

在解答分数，百分数应用题时，确定单位“1” 是关键，但题目中常常出现几个不同的单位“1”，这时需要将它们转化为统一的单位“1”，以便于比较和发现数量关系。转化时应注意认真审题，首先明辨题目中有哪几个单位“1”，以其中一个量为单位“1”，以这个单位“1”为标准，看一看其他几个量相当于单位“1”的几分之几（或几倍）。

基本训练：

甲乙两数是不相等的两个自然数，甲数的分析： 方法1， 以分数的意义来理解

由于

43与乙数的相等，甲乙两数哪个大？ 为什么？ 5443?，可知：甲数较多的部分与乙数较少的部分相等，所以乙数大于甲数。 54 方法2， 图解法

从图中很容易看出，黑色部分是相等的部分，而乙数大于甲数。如果把相等的部分都平均分成12份，使每一份的大小都相等，则甲数平均分为15份，乙数平均分为16份，乙数大于甲数。还可以得出甲乙两数之间的关系：甲数占乙数的

方法3， 用具体数字举例 假设甲数是30，则乙数=30?方法4， 代数法

根据已知条件可以得到下面这个等式：甲数?1516，乙数是甲数的倍。 161543??32，乙数大于甲数。 5443=乙数?，等式两边同时乘以4和5的最54小公倍数20可得：甲数?16=乙数?15，写成比例式：甲数：乙数=15：16，于是可得甲乙两数之间的关系：甲数占乙数的

1516，乙数是甲数的倍。 1615 我们不难总结出一个规律而得到甲乙两数的关系：

4316?? 54153415 以乙为单位“1”：甲数是乙数的??。

4516 以甲为单位“1”：乙数是甲数的

典型题解

[例1]哥哥和弟弟共有人民币19.8元，哥哥用去自己钱数的75%，弟弟用去自己钱数的80%，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？

分析：由题意可知，弟弟钱数的（1-75%）与弟弟钱数的（1-80%）相等，通过基本训练中掌

22

握的方法可以找到兄弟二人钱数之间的关系，哥哥的钱数是弟弟的（1-80%）?（1-75%）=与19.8对应的分率是兄弟二人分率之和1?哥哥的钱数是19.8?11?8.8（元）。

解法一：19.8?[1?(1?80%)?(1?75%)]?11（元） 19.8?11?8.8（元）

4，544。因此，弟弟钱数为19.8?(1?)?11（元），55解法二：19.8?[1?(1?75%)?(1?80%)]?8.8（元）（想一想，单位“1”代表那种量） 答：哥哥原来有8.8元。

试一试，还有不同的解法吗？

[例2]甲、乙两个班共有120人，甲班人数的人？

分析 已知条件中的两个分率对应的是不同的单位“1”。由甲班人数的10人已知：给甲的每个

23比乙班人数的少10人，两个班各有多少5723比乙班人数的少571都添上10?2?5人，即给甲的人数添上5?5?25人，这时总人523数为120+25人，可使得甲班人数的与乙班人数的相等，乙班人数占甲班人数的

57231414??，两班人数的和占甲班人数的1?，这与120+25相对应，用除法计算可得单571515位“1”甲班的人数，但不要忘记减去后添上的25人。

(120?10?2?5)?(1?解答 ?145?(1?23?)57

14)15?145?2915 =75（人）

75?10?2?5?50（人） 120?50?70（人）

答：甲班原有50人，乙班原有70人。

[例3]柳荫街小学的校园里，原来柳树的棵树是全校树木总棵树的树。这样，柳树的棵树就占全校树木总棵树的

2。今年又种了50棵柳55。柳荫街小学原来一共有多少棵树？ 11分析 题目中两个分数的单位“1”是不同的，需要统一单位“1”。由已知条件可知：其它

25与现在树木的1-相等。以原来树木的棵树5112511为单位“1”，即现在树木的棵树占原来的(1?)?(1?)?；以现在树木的数量为单

51110树木的数量是不变的，说明原来树木的1-

23

位“1”，即原来树木的棵树占现在的(1?解法1 以原来树木的棵树为单位“1”

5210)?(1?)?。 115112550?[(1?)?(1?)?1]

51111?50?[?1]

101?50?

10?500（棵）

解法2 以现在树木的数量为单位“1”

50?[1?(1?52)?(1?)] 11510?50?[1?]

111?50?

11?550（棵）

550-50=500（棵）

解法3 以不变量——其它树木的棵树为单位“1”

5250?(?)

11?55?31?50?

6?300（棵）

2300?(1?)

53?300?

5?500（棵）

答：柳荫树小学原有500棵树。 [例4]水果店运进一批桔子，第一天卖出全部的两天总数的150%，这时还剩下全部的

1，第二天卖了24千克，第三天卖的是前61，水果店运进的这批桔子共有多少千克？ 4分析 题目中有两个不同的单位“1”，需要统一成以水果店运进的这批桔子的总数为单位

1?150%及（24?150%）千克。 6111解答 (24?24?150%)?(1???150%?)

664111 ?(24?36)?(1???)

6441 ?60?

3“1”。第三天卖出全部的

24

?180（千克）

答：水果店运进的这批桔子共有180千克。

[例5]有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润率来定价，乙店按15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜11.2元。问甲店的进货价是多少元？

分析：设乙店的进货价为单位“1”，则甲店的进货价就是（1-10%），甲店的定价为

(1-10%)?(1?20%)?1.08，乙店的定价为1?(1?15%)?1.15，与11.2对应的分率就

是1.15与1.08的差。

解答：11.2?[1?(1?15%)?(1?10%)?(1?20%)]?160（元）

160?(1?10%)?144（元）

答：甲店的进货价为144元。

说明：以上例题所给出的全部是算术解法，许多题目用方程来解也很方便，方程解法也是一个十分重要的解题思路，由于在五年级教材中及后面的章节中都已讲到，在此没有给出方程的解法，就留给同学们思考吧，一题多解可是提高解题能力的一条重要途径哟！

[例6]某商店原来将一批苹果按100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样售出了40%。此时因害怕果腐烂变质，又再次降价，售出了剩下的全部水果。结果，实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来的百分之几？

解答：设第二次降价是按x%的利润定价的，有总利润的方程：

38%?40%?x%?(1?40%)?30.2%

x?25

所以第二次降价后的价格是原定价的（1+25%）÷2=62.5% 答：第二次降价后的价格是原定价的62.5%

25

课后自测：

1．修路队修一条公路，第一天修了全长的

1，第二天修的长度与第一天的比是4：3，这时51，一车5还剩下800米没修，这条公路全长多少米？

2．某服装厂有三个车间，其中二车间人数占全厂人数的25%，三车间比二车间少间人数比三车间多

3，一车间有130人，这个服装厂共有多少人？ 10113．姐妹共养兔子180只。已知姐姐养的只数的与妹妹的相等，姐妹各养多少只兔子？

4544．在学校阅览室里，女生占全部人数的，后来又进来两名女生，这是女生占全部总人数

99的，阅览室原来有多少人？ 19245．某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人？

35536．甲乙两人共做了84个零件，其中甲做的与乙做的共58个，甲乙两人各做了多少个

84零件？

7．兄弟四人合买一台电视机，老大出的钱数是另外三人总数的一半，老二出了另外三人总

11，老三出了另外三人总数的，老四出了910元，这台电视机共多少元？ 3418．有一桶汽油，第一次用了12升，第二次用了剩下的，第三次用了全桶油的一半，正好

5数的

用完，第二次用了多少升？

9．把100人分成四队，一队人数是二队人数的1倍，一队人数是三队人数的1四队有多少人？

10．某校四年级有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班人数的成新一班，将原一班的

131倍，那么411与原二班人数的组3411与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班43的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？

26

第七讲 生活中的经济问题

学习提示：

经济与数学有着千丝万缕的联系，在我们的日常生活中，数学已不再是单纯的用作计数或统计，还常用于对经济活动中的一些复杂现象进行分析，例如：物价与工资、银行储蓄、购房与买车、股票与债券、保险等等，利用数学的知识与方法进行分析，将有助于我们理解这些经济活动，找出其中的规律，做出决策。

典型题解

例1 问题：有关商场打折

一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？

探索解决问题的方法

设每件服装的成本价为x元，按照题意，有：

每件服装的标价为： ； 每件服装的实际售价为： ； 每件服装的利润为： ； 由此，列出方程为： ； 解方程，得x= 。

因此每件服装的成本价是 元。 巩固练习

（1）某种以八折的优惠价买一套服装省了25元，那么买这套服装实际用了（ ）。 （A）31.25元 （B）60元 （C）125元 （D）100元

（2）某家具的标价为132元，若降价以九折出售，仍可获利10%，则该家具的进价是（ ）。

（A）105 （B）106 （C）108 （D）118

（3）某种商品按原价的8折出售仍可获利20%，若按原价出售，则可获（ ）。 （A）30% （B）40% （C）50% (D )60% 例2 问题探究

若将某商品先涨价10%后再降价10%,所得的价格与原先的价格相比有无变化?不少同学会不假思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？

某种奶粉原价10元/kg，先后两次降价，降价方案有三种： 方案甲：第一次降价2%，第二次降价4%； 方案乙：第一次降价4%，第二次降价2%； 方案丙：每次降价3%；

按哪种方案降价后，现价最便宜？

例3 有一种商品，甲店进货价（成本价）比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润率来定价，乙店按15%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的便宜11.2元，问：甲店的进货价是多少元？

分析：设乙店的进货价为单位“1”，则甲店的进货价就是（1-10%），甲店的定价为（1-10%）?（1+20%）=1.08，乙店的定价是1?（1+15%）=1.15，与11.2对应的分率就是1.15与1.08的差。

27

解答：

11.2???1??1?15%???1?10%???1?20%????160(元）160??1?10%??144?元?

答：甲店的进货价为144元。

说明：以上例题所给出的全部是算术解法，许多题目用方程来解也很方便，方程解法也是一个十分重要的解题思路，由于在五年级教材中及后面的章节中都已讲到，在此没有给出方程的解法，就留给同学们思考吧，一题多解可是提高解题能力的一条重要途径哟!

例4 某商店原来将一批苹果按100%的利润价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按照38%的利润重新定价，这样售出了40%。此时因害怕水果腐烂变质，又再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原价格的百分之几？

解答：设第二次降价是按x%的利润来定价的，由总利润列方程：

38%?40%?x%?（1-40%）=30.2% x=25所以第二次降价后的价格是原定价的（1+25%）?2=62.5%答：第二次降价后的价格是原定价格的62.5%。

例5 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后获得的利息是多少？ 知识要点：储蓄问题中涉及的公式，利息=本金?利率

例6 我国1998年3月银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表 存期 年利率（%） 1年 5.22 2年 5.58 3年 6.21 5年 6.66

老师有20 000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪一种方案获利最多？（我国银行实行单利法）

例7 小华是独生子，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5岁上学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设大学学费每年为4000元，四年大学共需16000元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到18岁时上大学本和利能有16000元，他们开始到银行存入了多少钱？（设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22%、6.21%、6.66%） 课后作业：

1， 一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种商品的成本价

是多少？

2， 某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万

元，那么销售量应增加多少？

3， 某商品的进价是3000元，标价为4500元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，

最低可以打几折售此商品？

4， 按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本金和利息各是多少？（设1年、3年、

5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22%、6.21%、6.66%）

（1） 定期1年，每年满一年，将本利和自动转存下一年，共续存10年； （2） 先连续存三个3年期，9年后将本和利转存一年期，合计共存10年； （3） 连续存两个5年期。

28

第八讲 工程问题

学习提示：

在本讲中，我们要讨论的工程问题的主要特点是：工作总量不给出具体数量，通常把工作总量看作单位“1”，工作效率表示单位时间内完成工作总量的几分之一或者几分之几，然后依据工作效率，工作时间和工作总量之间的相互关系解答应用题。 工程问题的基本数量关系是： 工作效率?工作时间=工作总量 工作总量?工作效率=工作时间

工作总量?工作时间=工作效率

甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙效率和。

典型题解：

例1． 打印一份稿件，小丁一人打印需要14分钟，若和小丽合作打印需要10分钟完成，

如果小丽单独打印这份稿件需要多少分钟？ 分析 把一份稿件的总量看作“1”，两人合作每分钟打印这份稿件的

1，减去小丁每分10钟打印的

1?11?，剩下的是小丽每分钟打印的这份稿件的???。最后看单位“1”里面14?1014?包含着多少个??11???，就可以求出小丽的工作时间。 1014??解答： 1???11????35（分钟） ?1014?答：小丽单独打印这份稿件需要35分钟。

例2． 一项工程，甲单独做12天可以完成，如果甲单独做3天，余下的由乙去做，乙再

用6天可以做完。问若甲单独做6天，余下的工作乙要做几天？

分析：要求“余下的工作乙要做几天”，就要求出剩余的工作量和乙的工作效率。 解答：1?11?3?6? 12811(1??6)??4（天）

128例3． 客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货

车多行9.6千米。已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？ 分析：客车与或货车“2小时24分钟相遇”，两辆车共同行完全程需要2行驶全程的

2小时，每小时525。客车行完全程需4小时30分钟，每小时行全程的，由此可以求出货车

91229

每小时行全程的几分之几。再找到与“客车比货车多行9.6千米”相对应的分率，即可求出两车的速度。 解答：[25221?(?)]?2? 91295151?144（千米） 152144??32（千米）

99.6??52?144?????28（千米）

?129?答：客车每小时行32千米，火车每小时行28千米。

例4． 一件工程，甲，乙合作需6天完成，乙，丙合作需9天完成，甲，丙合作需15天

完成，现在甲，乙，丙三人合作需要多少天完成？ 分析：设这件工程总量为“1”，甲，乙的工作效率之和是

11，乙，丙的工作效率之和是，69甲，丙的工作效率之和是

1?111?，所以甲，乙，丙三人的工作效率之和是?????2。15?6915?根据三量之间的关系就可以求出三人合作需要的工作时间。 解答：1?????111??25????2??5（天）

31??6915??25天完成。 31答：甲，乙，丙三人合作需要5例5． 甲乙二人同时从两地出发，相向而行，走完全程甲需６０分钟，乙需４０分钟。

出发５分钟后，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了５分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？

分析：“出发５分钟后，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了５分钟”相当于甲比乙晚出发１５分钟。我们将题目改一下：完成一项工作，甲需要６０分钟，以需要４０分钟，乙先工作１５分钟后甲、乙合作，还需要多长时间？怎么样，这到从表面上看是行程问题的应用题实际上应该用工程问题的解法来解答。 解答：(1?111?15)?(?)?15（分） 404060 答：甲再出发后15分钟两人相遇。

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课后自测：

1． 做一批儿童玩具，甲组单独所10天完成，乙组单独作12天完成，丙组每天可生产64

件，如果让甲乙两组合作4天，则还有256件每完成。现在决定三个组合作这批玩具，需要多少天完成？

2． 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着作20天可以完成；如果甲先做20天，乙接着

做8天可完成。如果甲乙合作多少天可以完成？

3． 一条公路，甲乙两队合修30天完成，甲队单独修了24天，乙队才加入，两队又合修了

12天，这时甲队调走，乙队又继续修了15天才完成，甲队单独修这条路要多少天？ 4． 一项工程，8人作要15天完成，现有18人作了3天，余下的由另一部分人作了3天，

3，问后3天有多少人参加？（每个人的工作效率相同） 415． 一件工程，甲5小时完成，乙6小时完成剩下的一半，余下的部分由甲乙合作，还需

4共完成这项工程的

要多少小时才能完成？

6． 一项工程，甲乙两队合作需要6天完成，现在乙队先做7天然后甲队作4天共完成这项

工程的

13，如果把余下的工程交给乙队单独做，那么还要多少天才能完成？ 157． 单独完成某项工作，甲需6时，乙需2时，如果按照甲、乙、甲、乙。。。。的顺序轮流

工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？

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第九讲 圆的周长与面积

学习提示：

圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。它的魅力、它的独特的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。 我们每人都经常遇见这样的问题：为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。这些都涉及到圆的周长和面积。

圆的周长公式是C?2?r或C??d，圆的面积公式是S??r。求圆的周长和面积的必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把r做为一个条件来求解。圆是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。 典型题解

例题1 如图，求阴影部分的周长（单位：米）。

22

分析 如右图，阴影部分的周长分为三部分：弧AC、线段CB、圆O周长的一半ADB。△DOB是一个等腰直角三角形、角OBD的度数是45度，所以弧AC的所在圆的半径为20厘米，其长度是这个圆的周长的

45。线段CB的长与线段AB的长相等，都是20厘米。圆360O的直径也是20厘米，其周长的一半可求。将三部分的长度相加即为阴影部分的周长。

解答：（1）弧AC的长

（20?2）? 3.14?45?15.7（厘米） 360 （2）圆O周长的一半

4 3.1?2?0?23（厘米）1.4

（3）阴影部分的周长

15.7+20+31.4=67.1（厘米）

32

答：阴影部分的周长67.1厘米

例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？

分析 用绳子捆三圈的长度就是指周长的3倍。这个图形的周长可以分为两类：线段的长度（如线段AB）与弧的长度（如弧BC）。从下图不难看出：共有三条线段，每条线段的长度都等于圆的直径的长度：功有三段弧，三个圆的圆心相连得到一个正三角形，没个内角都是60度，角BOC的度数为360—90×2—60=120。每段弧的长度等于圆的周长的三段弧正好等于一个圆的周长。

1201?，3603

解答 （3.14×2+2×3）×3 =(6.28+6)×3 =12.28×3

=36.84（分米）

答：捆三圈最少也要36.分米长的绳子。

例3、根据图中给出的数据，求阴影部分的面积。

33

分析：将左边阴影部分沿着半径AO翻转，和右图的阴影部分组成了平行四边形ABCD，计算平行四边形面积即可。

解答 2×1=2（平方厘米）

例4、下图是由两个正方形组合成的，其中正方形ABCD的边长4厘米，正方形EFGD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。

分析 扇形EDG是半径6厘米的圆的面积的

1，阴影部分是扇形EDG的一部分，但要先4求出△HDC的面积，就要先求出线段HD的长度，因此连接HA。△BAG的面积减去△BAH的面积可得△HAG的底是4+6厘米，反用三角形面积公式，可得线段HD的长度，进而求出△HDC的面积，阴影部分的面积可求。 解答 连接HA （1）、△HAG的面积=△BAG的面积—△BAH的面积可得 （4+6）×4÷2—4×4÷2=12（平方厘米） （2）、线段HD的长度

34

12×2÷（4+6）=2.4（厘米） （3）、△HDC的面积

6×2.4÷2=7.2（平方厘米） （4）、阴影部分的面积是 3.14×6×

2

1—7.2=21.06(平方厘米) 4 答：图中阴影部分的面积21.06平方厘米。

例5 如图（单位：厘米），OA=OB=OC，AB=10。求图形的面积

分析 图形由两部分构成：扇形COA、△AOB。连接AC，如下图：△AOB、△AOC都是等腰直角三角形，所以△ABC也是等腰直角三角形，由于AB=10，10×10÷2=50（平方分米），可得△ABC的面积，除以2可得△AOB、△AOC两个三角形的面积25平方分米。在

2

△AOC中，OA×OC÷2=25，所以OA×OC=50，既扇形COA所在圆的R=50。扇形面积可求。

解答 连接AC。 （1）、△ABC的面积：10×10÷2=50（平方分米） （2）、△AOB、△AOC的面积：50÷2=25（平方分米）

2

（3）、扇形AOB的面积：R=OA×OC=25×2=50

35

3x?5y?783x?78?5yx??78?5y??3 x?78?5y3根据题意，x一定是一个整数，且不等于0.x是整数，78-5y的值一定是3的倍数，78已经是3的倍数了，则5y的值也一定是3的倍数，那么y=3、6、9、12、15，当y=18时，5y的值大于78，符合题意。所以y可能是3、6、912、15这五种可能，相应的x也有五种可能，从而得出原方程有下面五组解。

?x?21 ?y?3??x?16 ?y?6??x?11 ?y?9??x?6 ?y?12??x?1 ?y?15?在本例中，只列一个方程，却包含两个未知数，结果也不唯一，这样的方程就是不定

方程。在解不定方程是，可将方程变为用代数式表示出其中一个未知数。再根据题意及数字特点讨论可能的解。

例2：在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共45只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？ 解：设蟋蟀有x只，蜘蛛y只

6x+8y=46 6x=46-8y

X=

X、y均为整数，

46?8y 646?8y是一个整数，则46?8y的值是6的倍数。因为46除以6余4，6所以8y除以6也应该余4，那么8乘以几除以6余4呢？可以是2、5.如果再大些则46小于8y，不符合题意。解得：

?x?5 ??y?2?x?1 ??y?5答;蟋蟀有5只，蜘蛛有2只，或者蟋蟀有1只，蜘蛛有5只。

例3、将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个。求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？

解：设大盒用x和，小盒用y个，根据题意列方程

5x+3y=601 5x=601-3y

X=

x、y均为整数，

601?3y 5601?3y是一个整数，则601-3y的值是5的倍数。601除以5余1，3y除5以5也应该余1，则y=2、7、12、···197, y的值是一个首项是2，公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的x值。共有40种不同的安排方法。

说明：本题种讨论y的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴趣的同学可以试一试。

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例4、将426个乒乓球装在三种盒子里。大盒每盒装25个，中盒每盒装20个。小盒每盒装16个。现共装了24盒，求用了多少个大盒？题目中大中小三种盒子，根据共装24盒，可设x个大盒，y个中盒，小盒个数用代数式24-x-y来表示。在根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。

解：设用x个大盒，y个中盒，那么用小盒24-x-y个。列方程有

25x+20y+16（24-x-y）=426

化简整理，得9x+4y=426

由方程9x+4y=42可知，x小于5. 42是偶数，4y的值也是偶数，则9x的值也应该是奥数，那么y也一定是偶数。 解得 ??x?2 答：用了2个大盒。

?y?6例5三峡工程区移民到各乡镇散居，某乡把移民分散到三个自然屯居住。将移民总数的五分之一拨给甲屯，七分之几拨给乙屯，额拨给丙屯的恰好有33人。这个乡的移民共有多少人？ 分析：我们很容易看出这是一个分数应用题，已知分率与分率的对应量，求单位“1”的对应量，但是拨给乙屯的分率是七分之几，这是未知的，便无法用除法 计算出单位“1”移民的总数，因此可设移民共有x人，拨给乙屯解：设这个乡的移民共有x人，拨给乙屯

y，用不定方程来解答。 7y，根据题意列方程 7?1y?33??1????x?57??4y?33?????x?57?28?5y33??x

3535?33x?28?5y5?7?3?11x?28?5y由上式可知，1〈y〈5，x是整数，很容易观察出y=5.

X=5?7?11=385

答：这个乡的移民共有385人。

说明：通过以上例题说明，小学生解不定方程，应该紧紧结合题意及数字特征，灵活运用学习过的知识来确定解的限制范围。

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课后自测：

1， 小明买一只4角9分钱的铅笔，他手上有许多贰分和伍分的硬币，他应该怎样付钱且不

用找钱？

2， 用5米和3米长的管道铺设一段42米长的地下管道，最少需要多少根？

3， 有一个两位数，加上36以后，十位上的数字与个位上上的数字的位置正好交换，求这

个两位数。

4， 大客车能乘坐54人，小客车能乘坐36人，现有378人要乘车，问大小客车各几辆才能

使每个人都能乘上车且各车都正好坐满？

5， 有96名同学去划船，每只小船做6人，每只大船坐10人，要使每位同学都坐上船，而

且大、小船都有且总船数最少，那么需要大船、小船各多少只？ 6， 甲乙两家养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占

35；乙家养的鸡中，母鸡占。甲乙两811家共养鸡多少只？（1999年江苏省吴江市小学数学竞赛试题）

7， 学校将70人分为12反而小组，有8人一组的，有7人一组的，有5人一组的，求8人

组的共有多少组？

8， 一名同学的生日的月份乘31，日期乘12，然后加起来的的和是170，你知道他出生于几

月几日吗？

9， 公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买三种鸡共100只，

问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？

10，有三种不同数字的卡片，上面各写着一个1—10的自然数，小红、小丽和小强各摸取了一张，每人都记下卡片上的数字后把卡片放回，然后每人又从中随意摸取一张，记下这次卡片上的数字后放回，这样反复几次之后，三个人各自记录的数字之和分别是13、15、23.问这三张卡片上的数字分别是几？

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