2014-2015学年湖南省永州市祁阳县八年级下期末数学试卷

2014-2015学年湖南省永州市祁阳县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（下面每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确，请将正确的答案填在答题卡中对应题号的表格内．每小题4分，共40分） 1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（ ） A． 44° B． 34° C． 54° D． 64°

2．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A． AB∥CD，AD=BC B． ∠A=∠B，∠C=∠D C． AB=CD，AD=BC D． AB=AD，CB=CD

3．正八边形的每个内角为（ ） A． 120° B． 135° C． 140° D． 144°

4．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（ ） A． （﹣2，﹣3） B． （2，﹣3） C． （﹣2，3） D． （2，3）

5．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形；

②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形； ④矩形、平行四边形都是轴对称图形． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

6．已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则这个函数的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

7．甲、乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四条信息，其中错误的是（ ）

A． 这是一次1500m赛跑 B． 甲、乙同时起跑

第1页（共20页）

C． 甲、乙两人中先到达终点的是乙 D． 甲在这次赛跑中的速度为5m/s

8．顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形

9．八年级某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，那么这个班1月份出生的同学有（ ） A． 15 B． 14 C． 13 D． 12

10．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A．

cm

B．

cm

C． cm

D． cm

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；④，，2．其中可以为直角三角形三边长的有 ．（把所有你认为正确的序号都写上）

12．若矩形的对角线长为2cm，两条对角线相交所成的一个夹角为60°，则该矩形的面积为 ．

13．函数y=

中自变量x的取值范围是 ．

14．在平面直角坐标系中，点P（a﹣4，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是 ．

15．函数y=2x﹣6的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ．

16．如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积

是 ．

三、解答题：（本大题共9小题，共81分，解答过程要求写出证明步骤或解答过程，把解答过程书写在答题卡对应题号内.）

第2页（共20页）

17．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠B=∠F．

18．如图，在?ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．

19．已知：一次函数的图象经过M（0，3），N（2，﹣1）两点． （1）求这个一次函数的解析式；

（2）将该函数的图象向上平行移动3个单位，求平行移动后的图象与x轴交点的坐标．

20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）求出△ABC的面积；

（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标．

21．2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表 分数段 频数 频率 50.5﹣60.5 16 0.08 60.5﹣70.5 40 0.2 70.5﹣80.5 50 0.25 80.5﹣90.5 m 0.35 90.5﹣100.5 24 n

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（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

22．一农民带上若干千克自产的西红柿进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的西红柿千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题． （1）农民自带的零钱是多少？

（2）求降价前y与x之间的函数关系关系式．

（3）降价后他按每千克3元将剩余西红柿售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是200元，试问他一共带了多少千克西红柿？

23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使得EF=BE，连接CF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形．

（2）若DE=4cm，∠EBC=60°，求菱形BCFE的面积．

第4页（共20页）

24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：

A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

25．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

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2014-2015学年湖南省永州市祁阳县八年级（下）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下面每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确，请将正确的答案填在答题卡中对应题号的表格内．每小题4分，共40分） 1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（ ） A． 44° B． 34° C． 54° D． 64°

考点： 直角三角形的性质． 分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 解答： 解：∵∠C=90°，∠B=46°， ∴∠A=90°﹣46°=44°． 故选A． 点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

2．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A． AB∥CD，AD=BC B． ∠A=∠B，∠C=∠D C． AB=CD，AD=BC D． AB=AD，CB=CD

考点： 平行四边形的判定． 分析： 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可． 解答： 解：如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件． 故选C．

点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

3．正八边形的每个内角为（ ） A． 120° B． 135° C． 140° D． 144°

考点： 多边形内角与外角． 专题： 压轴题． 分析： 根据正多边形的内角求法，得出每个内角的表示方法，即可得出答案．

解答： 解：根据正八边形的内角公式得出：[（n﹣2）×180]÷n=[（8﹣2）×180]÷8=135°．

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故选：B． 点评： 此题主要考查了正多边形的内角公式运用，正确的记忆正多边形的内角求法公式是解决问题的关键．

4．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（ ） A． （﹣2，﹣3） B． （2，﹣3） C． （﹣2，3） D． （2，3）

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标． 分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 解答： 解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点坐标为（2，3）． 故选：D．

点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

5．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形；

②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形； ④矩形、平行四边形都是轴对称图形． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 命题与定理． 分析： 分别利用矩形、菱形、正方形的相关性质以及其判定方法进而得出答案． 解答： 解：①四条边相等的四边形是菱形，故此命题错误，符合题意； ②两组邻边分别相等的四边形无法确定形状，故此命题错误，符合题意； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意；

④矩形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，故此命题错误，符合题意． 故选：C． 点评： 此题主要考查了命题与定理，正确掌握矩形、菱形、正方形的相关性质是解题关键．

6．已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则这个函数的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

考点： 一次函数的图象． 专题： 计算题． 分析： 根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＞0，则b＜0，所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴下方．

解答： 解：∵一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，

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∴k＜0，

∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＞0， ∴b＜0，

∴图象与y轴的交点在x轴下方，

∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 故选B． 点评： 本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

7．甲、乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四条信息，其中错误的是（ ）

A． 这是一次1500m赛跑 B． 甲、乙同时起跑

C． 甲、乙两人中先到达终点的是乙 D． 甲在这次赛跑中的速度为5m/s

考点： 函数的图象． 专题： 数形结合． 分析： 根据函数图象对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答： 解：A、路程为1500m后不在增加，所以，这是一次1500m赛跑，正确，故本选项错误； B、加起跑后一段时间乙开始起跑，错误，故本选项正确；

C、乙计时283秒到达终点，甲计时300秒到达终点，正确，故本选项错误； D、甲在这次赛跑中的速度为

=5m/s，正确，故本选项错误．

故选B． 点评： 本题考查了函数图象，读函数的图象时首先要理解横、纵坐标表示的含义．

8．顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形

考点： 中点四边形． 分析： 根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．

解答： 解：如图，四边形ABCD是菱形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

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则EH∥FG∥BD，EF=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，AC⊥BD． 故四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD，

∴EH⊥EF，∠HEF=90° ∴边形EFGH是矩形． 故选：B．

点评： 本题考查了中点四边形．能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．

9．八年级某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，那么这个班1月份出生的同学有（ ） A． 15 B． 14 C． 13 D． 12

考点： 频数与频率． 分析： 根据频率的求法，频率=

．计算可得答案．

解答： 解：50×0.30=15 故选A． 点评： 本题主要考查了频率的计算公式，是需要识记的内容．

10．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A．

cm

B．

cm

C． cm

D． cm

考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 计算题． 分析： 根据折叠的性质得DA=DB，设CD=xcm，则BD=AD=（8﹣x）cm，在Rt△ACD中利用勾股

222

定理得到x+6=（8﹣x），然后解方程即可．

解答： 解：∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴DA=DB，

设CD=xcm，则BD=AD=（8﹣x）cm，

第9页（共20页）

在Rt△ACD中，∵CD+AC=AD， ∴x+6=（8﹣x），解得x=， 即CD的长为．

故选C． 点评： 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；④，，2．其中可以为直角三角形三边长的有 ②③④ ．（把所有你认为正确的序号都写上）

考点： 勾股定理的逆定理．

222

分析： 根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a+b=c时，则三角形为直角三角形．据此可解本题．

222

解答： 解：①∵4+5≠8，不能构成直角三角形；

222

②7+24=25，能构成直角三角形；

222

③6+8=10，能构成直角三角形；

222

④（）+（）=2，能构成直角三角形． 所以可以为直角三角形三边长的有②③④． 故答案为：②③④． 点评： 此题考查勾股定理的逆定理的运用，掌握三边关系是判定一个三角形是否是直角三角形的关键．

12．若矩形的对角线长为2cm，两条对角线相交所成的一个夹角为60°，则该矩形的面积为 ．

考点： 矩形的性质． 分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=1，由勾股定理求出BC，矩形的面积=AB?BC，即可得出结果． 解答： 解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=AC=1，OB=BD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∴BC=

=

=

， =

；

2

2

2

222

∴矩形ABCD的面积=AB?BC=1×故答案为：．

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点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

13．函数y=

中自变量x的取值范围是 x≥2 ．

考点： 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件． 分析： 因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围． 解答： 解：2x﹣4≥0 解得x≥2． 点评： 此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

14．在平面直角坐标系中，点P（a﹣4，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是 0＜a＜4 ．

考点： 点的坐标；解一元一次不等式组． 分析： 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 解答： 解：∵点P（a﹣4，a）是第二象限内的点， ∴

，

解得0＜a＜4．

故答案为：0＜a＜4． 点评： 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

15．函数y=2x﹣6的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 9 ．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征． 分析： 首先求出直线y=2x﹣6与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式得出结果． 解答： 解：因为直线y=2x﹣6中，﹣=﹣

=3，b=﹣6，

所以直线与x轴、y轴的交点的坐标分别为A（3，0），B（0，﹣6）， 故S△AOB=×3×6=9． 故答案为：9．

点评： 此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，b）．

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16．如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是

）

n﹣1

．

考点： 正方形的性质；三角形中位线定理． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 根据正方形的性质及三角形中位线的定理可分别求得第二个，第三个正方形的面积从而不难发现规律，根据规律即可求得第n个正方形的面积． 解答： 解：根据三角形中位线定理得，第二个正方形的边长为

2

=，面积为，

第三个正方形的面积为=（），以此类推，第n个正方形的面积为．

点评： 根据中位线定理和正方形的性质计算出正方形的面积，找出规律，即可解答．

三、解答题：（本大题共9小题，共81分，解答过程要求写出证明步骤或解答过程，把解答过程书写在答题卡对应题号内.）

17．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：∠B=∠F．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 先证出BC=FE，由HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE，得出对应边相等即可． 解答： 证明：∵BE=FC， ∴BE+CE=FC+CE， 即BC=FE，

∵∠A=∠D=90°，

在Rt△ABC和Rt△DFE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）， ∴∠B=∠F． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．

18．如图，在?ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF．

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考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 先由平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加上已知∠BAE=∠DCF可推出△ABE≌△DCF，得证．

解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠ABE=∠CDF， 又已知∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF， ∴BE=DF． 点评： 此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．

19．已知：一次函数的图象经过M（0，3），N（2，﹣1）两点． （1）求这个一次函数的解析式；

（2）将该函数的图象向上平行移动3个单位，求平行移动后的图象与x轴交点的坐标．

考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换．

分析： （1）设一次函数解析式为y=kx+b，将M与N坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）得到平移后的函数解析式，即可得到结果． 解答： 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 将M（0，3），N（2，﹣1）代入得：

，

解得：k=﹣2，b=3，

则一次函数解析式为y=﹣2x+3；

（2）∵将y=﹣2x+3函数的图象向上平行移动3个单位， ∴平行移动后的函数的解析式为：y=﹣2x+6， 在y=﹣2x+6中，令y=0，则x=3，

∴平行移动后的图象与x轴交点的坐标为（3，0）． 点评： 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）求出△ABC的面积；

（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （3）写出点A1，B1，C1的坐标．

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考点： 作图-轴对称变换．

分析： （1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可； （2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据坐标系写出各点坐标即可．

解答： 解：（1）如图所示：△ABC的面积：3×5﹣

（2）如图所示：

（3）A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．

﹣

﹣

=6；

点评： 此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是找出对称点的位置，再顺次连接即可． 21．2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表 分数段 频数 频率 50.5﹣60.5 16 0.08 60.5﹣70.5 40 0.2 70.5﹣80.5 50 0.25 80.5﹣90.5 m 0.35

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90.5﹣100.5 24 n

（1）这次抽取了 200 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= 70 ，n= 0.12 ； （2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 专题： 图表型．

分析： （1）利用50.5﹣﹣60.5的人数除以频率即可得到抽取总人数；m=总人数减去各分数段的人数；n=24除以抽取的总人数；

（2）根据（1）中计算的m的值补图即可；

（3）利用样本估计总体的方法，用总人数1500×抽取的学生中成绩在70分以下（含70分）的学生所占的抽取人数的百分比计算即可． 解答： 解：（1）抽取的学生数：16÷0.08=200（名）， m=200﹣16﹣40﹣50﹣24=70； n=24÷200=0.12；

（2）如图所示：

（3）1500×

=420（人），

答：该校安全意识不强的学生约有420人．

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点评： 此题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．一农民带上若干千克自产的西红柿进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的西红柿千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题． （1）农民自带的零钱是多少？

（2）求降价前y与x之间的函数关系关系式．

（3）降价后他按每千克3元将剩余西红柿售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是200元，试问他一共带了多少千克西红柿？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱．

（2）利用待定系数法求出0到30时线段的函数解析式即可．

（3）计算出降价后买的西红柿的数量，然后加上20千克即可求解． 解答： 解：（1）农民自带的零钱是20元； （2）设函数的解析式是y=kx+b， 则解得：

， ．

则y与x的函数解析式是y=4x+20； （3）（200﹣140）÷3=20（千克）， 则他带的西红柿是30+20=50（千克）． 50千克； 点评： 主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．

23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使得EF=BE，连接CF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形．

（2）若DE=4cm，∠EBC=60°，求菱形BCFE的面积．

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考点： 菱形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： （1）先判断DE为△ABC的中位线得到DE∥BC且2DE=BC，加上BE=2DE，EF=BE，则EF=BC，EF∥BC，所以可判断四边形BCFE是平行四边形，然后再判断四边形BCFE是菱形； （2）先计算出BC=2DE=8，再判断△BCE为等边三角形，根据等边三角形的面积公式得到S△BCE=16，所以菱形BCFE的面积=2S△BCE=32（cm）． 解答： （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC且2DE=BC， 又∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE=FE，

∴四边形BCFE是菱形； （2）解：∵DE=4， ∴BC=2DE=8， ∵∠EBC=60°， 而BE=BC，

∴△BCE为等边三角形， ∴S△BCE=

×8=16

2

2

，

2

∴菱形BCFE的面积=2S△BCE=32（cm）． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了等边三角形的判定与性质．

24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：

A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：

（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

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考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；

（2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案； （3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 解答： 解：（1）由题意，得yA=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270； yB=10×30+3（10x﹣20）=30x+240；

（2）当yA=yB时，27x+270=30x+240，得x=10； 当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10； 当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10

∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．

（3）由题意知x=15，15＞10，

∴选择A超市，yA=27×15+270=675（元），

先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球： （10×15﹣20）×3×0.9=351（元）， 共需要费用10×30+351=651（元）． ∵651元＜675元，

∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 点评： 本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

25．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．

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（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立． （3）解题思路和方法同（2）． 解答： 解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M； ∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形， ∴四边形OECF是正方形， ∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°， ∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°， ∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE， ∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF， ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；

如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．

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点评： 充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．

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