圆锥曲线热点问题

专题限时集训(十七)A

[第17讲 圆锥曲线热点问题]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )[来源:学科网ZXXK]

A．(1,2) B．(0,0) 1?C.??2，1? D．(1,4)

2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与

→→→→

点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( )

3

A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 23

B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) 2

3

C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)

23

D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)

2

1x2y2

3．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，

294

当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )

4A. 91B. 22C. 3

D．与P点位置有关

x2y2

4．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为

2516

(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

2222

1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上

2

图17－1 2．如图17－1，已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A．2 B．3 11C. 537D. 16

3．过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝( )

11

A．－2 B．－ C．－4 D．－

21622xy2

4．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，

ab3

线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0)，设AB的中点为C(x0，y0)，则x0的值为( )

9945A. B. C. D. 5499

1→→

5．若A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则AB·AC

4

等于________．

→→

6．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2OQ＝QP，则点Q的轨迹方程是________．

7.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)

a2

在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．

c

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；

(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

8．如图17－2，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A(0，2)，

3

且离心率等于，过点M(0,2)的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上．

2

(1)求椭圆的标准方程；

→→|PM||MQ|(2)设＝＝λ，试求λ的取值范围．

→→|PN||NQ|

图17－2

专题限时集训(十七)B

[第17讲 圆锥曲线热点问题]

(时间：10分钟＋35分钟)

2→→x

1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足PA·PB＝，则点P的轨迹是( )

2

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线

x2y2

2．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值

ab

范围是( )

33A.?，1? B.?0，?

2??2??

22C.?，1? D.?0，?

2??2??

3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小值是( )

A．5 B．8

C.17－1 D.5＋2

x2y2

4．过点P(－3,0)的直线l与双曲线－＝1交于点A，B，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，

169

弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1·k2＝( )

9316

A. B. C. D．16 1649

22

xy

1．已知椭圆C：＋＝1和直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒

4b

有公共点，则实数b的取值范围是( )[来源:Z|xx|k.Com]

A．[1,4) B．[1，＋∞)

C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)

x2y2

2．已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F

ab

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(1,2)

C．(1,1＋2) D．(2,1＋2) y22

3．设P为双曲线x－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2

12

的面积为12，则∠F1PF2等于( )

ππA. B. 43π2πC. D. 23

→→1→2→

4．已知|AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点

33

P的轨迹方程是( )

x22y22

A.＋y＝1 B．x＋＝1 442xy222

C.＋y＝1 D．x＋＝1 99

5．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，e21＋2

e2的最小值是________．

x2y2→→

6．已知曲线－＝1与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP·OQ＝0(O为原点)，

ab

11

则－的值为________． ab

x2y227.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半ab2

径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

→→

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB→→→25＝tOP(O为坐标原点)，当|PA－PB|＜时，求实数t的取值范围．

3

2

8．如图17－3，已知中心在原点的椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2

2

＝－4x的焦点重合．

(1)求椭圆Ω的方程；

x2y2x0xy0y

(2)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)上以点(x0，y0)为切点的切线方程为：2＋2＝1.

abab

①过直线l：x＝2上点M引椭圆Ω的两条切线、切点分别为A、B.求证：直线AB恒过定点C.

→→→→

②是否存在实数λ，使得|AC|＋|BC|＝λ|AC|·|BC|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

图17－3

专题限时集训(十七)A

【基础演练】

|4x－y－5||4x－4x2－5|

1．C 【解析】 抛物线上的点到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝

17171

x－?2＋44??2?1

，显然这个函数当x＝时取得最小值，此时y＝1.

217

→→

2．A 【解析】 设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由BP＝2PA得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，3→→即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝

23

1.将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．

2

3．A 【解析】 求出点A，B的坐标，设出P点坐标，根据斜率公式和点P的坐标适合双曲线方程进行变换．

?－12，－6?，B?12，6?，P(x，y)， A???700

7?7??7

6636y0－y20－777

则kPA·kPB＝·＝，

12121442x0＋x0－x0－

777

y0＋

而

36

y2＝40－

7

81??x0－1?－36＝4?x2

0－9－7? ?9?79?

2

42144?x－＝?， 9?07?3674

所以kPA·kPB＝＝.

14492x0－7

y20－4．15 【解析】 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，

易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝15.

【提升训练】

1．B 【解析】 圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．

2．A 【解析】 点P到直线l2的距离等于到焦点F的距离，故所求的线段之和的最小10

值就是焦点F到直线l1的距离，即＝2.

5

11

0，?，设直线AB的方程为y＝kx＋，代入抛3．D 【解析】 抛物线的焦点坐标是??8?811

物线方程得2x2－kx－＝0，根据韦达定理得x1x2＝－. 816

x2y2

4．B 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于点A，B在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，所

ab

22

?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?x1y2x2y212以2＋2＝1，2＋2＝1，两式相减得＋＝0.设直线AB的斜率ababa2b2b2x0a2y0为k，则得k＝－2，从而线段AB的垂直平分线的斜率为2，线段AB的垂直平分线的方

ay0bx0a2y0a2y0

程为y－y0＝2(x－x0)．由于线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0)，所以0－y0＝2(1

bx0bx0a2a2a2?1?29

－x0)，解得x0＝22.又22＝2＝?e?，所以x0＝. 4a－ba－bc

5．－3 【解析】 抛物线方程为x2＝4y，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)，设直

线BC的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程整理得x2－4kx－4＝0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，→→→→则AB·AC＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1，根据韦达定理代入得AB·AC＝－3.

→

6．2x＋4y＋1＝0 【解析】 设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2OQ

??x1＝3x，→

＝QP得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即?

?y1＝3y.?

∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y

＋1＝0，即为所求轨迹方程．

1＋c2a2a2

7．【解答】 (1)由题知b＝1，由点M在直线x＝上，得＝2，故＝2，∴c＝1，

cccx22

从而a＝2，所以椭圆方程为＋y＝1.

2

(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0， ttt

y－?2＝＋1，其圆心为?1，?， 即(x－1)＋??2?4?2?

2

2

半径r＝

t2＋1. 4

因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，

|3－2t－5|t

所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝r2－1＝，解得t＝4，所求圆的

52方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

(3)证法一：设OM，FN交于点K，由平面几何知识知 |ON|2＝|OK||OM|，

t2

直线OM：y＝x，直线FN：y＝－(x－1)，

2t

?y＝2x，

由?2

y＝－?t?x－1?

∴|ON|＝

2

t

24

得xK＝2，

t＋4

22

4?1＋t?xK·?1＋t?xM＝?1＋t?·2＝2， 2?4??4??4?t＋4·

所以线段ON的长为定值2. 证法二：设N(x0，y0)，则

→→→

FN＝(x0－1，y0)，OM＝(2，t)，MN＝(x0－2，y0－t)， →

ON＝(x0，y0)，[来源:Z+xx+k.Com]

→→

∵FN⊥OM，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2， →→

又∵MN⊥ON，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，

2∴x0＋y20＝2x0＋ty0＝2.

→2所以|ON|＝x20＋y0＝2为定值．

x2y28．【解答】 (1)设椭圆的标准方程是2＋2＝1(a>b>0)．

ab

3c

由于椭圆的一个顶点是A(0，2)，故b＝2，根据离心率是得＝2a

2

a2－b23

，解2＝a2

得a2＝8.

x2y2

所以椭圆的标准方程是＋＝1.

82(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)．

→→

|PM||MQ|2－22＋2

①若直线l与y轴重合，则＝＝＝，解得y0＝1，得λ＝2；

→→2－y2＋y00|PN||NQ|若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立消去y得

(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，根据韦达定理得 16k8

x1＋x2＝－. 2，x1x2＝1＋4k1＋4k2→→

0－x10－x2|PM||MQ|

由＝，得＝， →→x0－x1x2－x0|PN||NQ|整理得2x1x2＝x0(x1＋x2)， 1

把上面的等式代入得x0＝－.

k

1

－?＋2＝1，于是有1

λ＝＝－1，由12＋1， y1－1y1－1y1－1所以λ>2. 综上所述λ≥2.

专题限时集训(十七)B

【基础演练】

→→

1．B 【解析】 由题知PA＝(1－x,1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)，

x2x2y2→→2222

所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x＋y－2.由已知x＋y－2＝，即＋242＝1，

所以点P的轨迹为椭圆．

c

2．D 【解析】 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c?b2>c2，即a2>2c2?

a<2. 2

3．C 【解析】 点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．

4．A 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M的坐标是?

x1＋x2y1＋y2??2，2?，

2

y2－y1y1＋y2y292－y1AB的斜率k1＝，OM的斜率k2＝，故k1·k2＝22，根据双曲线方程y2＝(x2

16x2－x1x1＋x2x2－x12

－16)，故y22－y1＝

9229

(x2－x1)，故k1·k2＝. 1616

【提升训练】

1．C 【解析】 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.

π

2．B 【解析】 根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程

4b2?b4b2πb2?得y＝2，取点A?－c，a?，则|AF|＝，|EF|＝a＋c.只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即

aa4a

2

＋c，即b21，故1

3．C 【解析】 方法一：F1(－13，0)，F2(13，0)，|F1F2|＝213，设P(x0，y0)，则

2

1252122

△PF1F2的面积S＝×213|y0|＝12，故y0＝，代入双曲线方程得x0＝.

21313

5131213根据对称性取点P，，此时|PF1|＝

13131812132＋2＝1313

51312132＋132＋＝ 1313

62?32＋22?

＝6，根据双曲线定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝4，即三角形13

π

F1PF2的三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F1PF2＝.

2

??|x－y|＝2，→→

方法二：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则有?22化简得xy－xycos

?x＋y－2xycos∠F1PF2＝52，?

1－cos∠F1PF21

∠F1PF2＝24，而xysin∠F1PF2＝12，所以＝1，

2sin∠F1PF2

即sin∠F1PF2＋cos∠F1PF2＝1.

上式平方各得sin∠F1PF2cos∠F1PF2＝0， 而在三角形中sin∠F1PF2≠0， π

故cos∠F1PF2＝0，所以∠F1PF2＝.

2

→→1→

4．A 【解析】 设A(0，a)，B(b,0)，则由|AB|＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由OP＝OA

32→123x222292

＋OB得(x，y)＝(0，a)＋(b,0)，由此得b＝x，a＝3y，代入a＋b＝9得9y＋x＝9?333244＋y2＝1.

5．4 【解析】

a

e21＝

2

＋b22a2＋b2a2＋b2a2＋b2b2a222

，e2＝2，则e1＋e2＝2＋2＝2＋2＋2≥2＋2a2babab

＝4(当且仅当a＝b时等号成立)．

x2y2

6．2 【解析】 将y＝1－x代入－＝1，消去y得，(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设

abP(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.

2a＋2ab2a11所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.

aba－ba－b

22

c2c2a－b122

7．【解答】 (1)由题意知e＝＝，所以e＝2＝2＝.即a2＝2b2.又因为b＝，

a2aa21＋1

所以a2＝2，b2＝1，

a＋ab→→2a

，x1x2＝.OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－a－ba－b

x22

故椭圆C的方程为＋y＝1.

2

(2)由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， y＝k?x－2?，??2由?x得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 2

??2＋y＝11Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，化简得k2<，

28k2－28k2

x1＋x2＝，x·x＝. 1＋2k2121＋2k2→→→

∵OA＋OB＝tOP，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)， x1＋x28k2

∴x＝＝，

tt?1＋2k2?

y1＋y21－4k

∴y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.

ttt?1＋2k2?

?－4k?2?8k2?2

∵点P在椭圆上，∴2＋22＝2，

t?1＋2k2?2t?1＋2k2?2∴16k2＝t2(1＋2k2)．

25→→25∵|PA－PB|＜，∴1＋k2|x1－x2|<，

3320

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1·x2]<，

98k－2?20?64k－4·∴(1＋k)?<， 221＋2k2???1＋2k??9

2

4

2

1

∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>. 411

∴

31＋2k21＋2k22

2626∴－2

33

26??26?

∴实数t的取值范围为?－2，－∪，2.

3??3??x2y2

8．【解答】 (1)设椭圆Ω的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab∵抛物线y2＝－4x的焦点是(－1,0)，∴c＝1. c2又＝， a2∴a＝2，b＝1，

x22

∴椭圆Ω的方程为＋y＝1.

2

(2)①证明：设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M点的坐标为(2，t)， x1xx2x

则切线方程为＋y1y＝1，＋y2y＝1，

22

又两切线均过点M，即x1＋ty1＝1，x2＋ty2＝1.

从而A、B两点都适合方程x＋ty＝1， 而两点确定唯一的一条直线．

故直线AB的方程是x＋ty＝1，当t∈R时，点(1,0)适合方程． 故直线AB恒过定点C(1,0)．

②将直线AB的方程x＝－ty＋1代入椭圆方程消去x，得 (t2＋2)y2－2ty－1＝0，

2t1

∴y1＋y2＝2，y1y2＝－2<0. t＋2t＋2不妨设y1>0，y2<0.[来源:Z+xx+k.Com]

22∴|AC|＝?x1－1?2＋y21＝t＋1y1，|BC|＝－t＋1y2，

111?11?1y2－y1－＝2∴＋＝2· |AC||BC|t＋1?y1y2?t＋1y1y2

?y2－y1?211＝－2·＝－2·y1y2t＋1t＋1＝

1

·8?t2＋1?＝22， 2t＋1

?22t?2＋4?t＋2?t2＋2

1－2t＋2

即|AC|＋|BC|＝22|AC|·|BC|，

→→→→故存在实数λ＝22，便得|AC|＋|BC|＝λ|AC|·|BC|.

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