2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2006?镇江）下列计算正确的是（ ） A．3x﹣2x=1 B．x?x=x C．2x+2x=2x D．（﹣a）=﹣a

2

2．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，抛物线y=ax+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（ ）

2

2

3

2

4

A．ac+1=b

B．ab+1=c

C．bc+1=a

D．+1=c

3．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．3 C．2 D．1 5．（3分）（2006?绍兴）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（ ）

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A．（

D．（

，

，

）

B．（）

，

）

C．（

，

）

6．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 7．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，圆锥的母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为（ ）

A．90° B．100° C．120° D．150° 8．（3分）（2003?宁波）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）个．

第2页（共28页）

A．25 B．66 C．91 D．120 9．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（ ）

A．3 B．6 C． D． 10．（3分）（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 11．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点F在DC边上运动，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，设BE=y，AF=x，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C．

2

D．

12．（3分）（2013?重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（ ）

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A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0

二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们

2

称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x+bx﹣4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是 ． 14．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为 ．

15．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：

．根据这个规则，则方程2*x=9的解为 ．

16．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率等于 ．

17．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）有理数a≠1，我们把的差倒数是

，﹣1的差倒数是

．如果

称为a的差倒数，如：2

，a2是a1的差倒

数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a2012= ． 18．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

①图形中全等的三角形只有两对；

②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； ③CD+CE=OA；

22

④AD+BE=2OP?OC．

其中，正确结论的序号是 ．

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三.解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 19．（16分）（2014?涪城区校级自主招生）解答下列各题： （1）解不等式组

，并把其解集在数轴上表示出来．

（2）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，记成，定义，上述记号就

叫做2阶行列式．若，求x的值．

20．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．南山中学为了搞好“创建”活动的宣传，校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（Ⅰ）求该校共有多少名学生； （Ⅱ）将条形统计图补充完整；

（Ⅲ）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数； （Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？

21．（12分）（2012?广安）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=； （1）求双曲线和直线的解析式； （2）求△AOB的面积．

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22．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．

23．（12分）（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

24．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．

例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数

（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点

D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；

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（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

2

25．（14分）（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2006?镇江）下列计算正确的是（ ）

22324

A．3x﹣2x=1 B．x?x=x C．2x+2x=2x D．（﹣a）=﹣a 【解答】解：A、错误，应为3x﹣2x=x；

2

B、x?x=x，正确；

C、错误，应为2x+2x=4x；

D、错误，应为（﹣a）=a=a． 故选B．

【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方的性质，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．

2．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，抛物线y=ax+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（ ）

2

3

2

3×2

6

A．ac+1=b

B．ab+1=c

C．bc+1=a

D．+1=c

【解答】解：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OA，

22

所以A（﹣c，0），把它代入y=ax+bx+c，即ac﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故本题选A．

【点评】根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系． 3．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）

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A． B． C． D．

【解答】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，且从P点开始到M点为止， 故选：D．

【点评】本题着重考查学生对立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．要注意空间想象哦，哪一个平面展开图对面图案都相同． 4．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．3 C．2 D．1

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，∠EDB=∠CBD； ∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD≌△FOB； ∴S△BOF=S△DOE；

∴S阴影=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△AOE+S△EOD+S△COD=S△ACD； ∵S△ACD=AD?CD=3；

∴S阴影=3；故选B．

【点评】此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法． 5．（3分）（2006?绍兴）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（ ）

A．（

D．（

，

，

）

B．（）

，

）

C．（

，

）

第9页（共28页）

【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上， ∴点B的坐标为（1，1）． 设点E的纵坐标为y， ∴点E的横坐标为：1+y， ∴y×（1+y）=1， 即y+y﹣1=0， 即y=∵y＞0， ∴y=

，

=

． =

，

2

∴点E的横坐标为1+

故选A．

【点评】本题结合坐标考查了反比例函数的性质，注意结合图形，灵活运用反比例函数知识解决问题． 6．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：由图象可知，a＞0，故①正确； b＞0，故②正确；

当x＞﹣2是直线y=3x+b在直线y=ax﹣2的上方，即x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2，故③正确． 故选D．

【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握． 7．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，圆锥的母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为（ ）

第10页（共28页）

A．90° B．100° C．120° D．150° 【解答】解：∵底面半径CB=2， ∴圆锥的底面圆的周长=2π?2=4π， ∴4π=

，

∴α=120°． 故选C．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：l=

（n为扇形的圆心

角，R为半径）． 8．（3分）（2003?宁波）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）个．

A．25 B．66 C．91 D．120 【解答】解：根据题意可得知： 图（1）中有1×1=1个小正方体；

图（2）中有1×2+4×1=6个小正方体；

图（3）中有1×3+4×2+4×1=15个小正方体；

以此类推第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是91个． 故选C．

【点评】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．注意此题中第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×7+4×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1=7+4×（6+5+4+3+2+1）=91个． 9．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（ ）

第11页（共28页）

A．3 B．6 C． D．

【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6， ∴∠A=30°，

∴AC=3，∠A=∠D=30° ∴CE：DE=1：2， ∵AE=DE，

∴CE：AC=1：3， ∴CE=． 故选择D．

【点评】本题主要考查翻折变换的性质、直角三角形的性质，解题的关键在根据直角三角形三边的关系求出内角的度数，既而求出CE和AC的比例． 10．（3分）（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD，

∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∵∠ACD=∠ACD， ∴△ACD∽△DCE， ∴

=

，即=

，

解得：x=5． 故选B．

【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE． 11．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点F在DC边上运动，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，设BE=y，AF=x，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）

第12页（共28页）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知△ADF∽△BEA； ∴=； ∴xy=12，y=

，为反比例函数，

应从C，D里面进行选择．

由于x最小应不＜AD，最大不超过BD，所以3≤x≤5． 故选C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用相似求得y与x的函数关系式，特别是要确定自变量的取值范围．

12．（3分）（2013?重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（ ）

2

A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0

【解答】解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0）， ∴﹣2a+b=0， ∴b=2a．

∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0， ∴b＞0．

∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴k＞0．

A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0， ∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．

第13页（共28页）

故A选项错误； B、∵k＞0，b=2a， ∴b+k＞b， 即b+k＞2a，

∴a=b+k不成立． 故B选项错误； C、∵a＞0，b=2a， ∴b＞a＞0． 故C选项错误；

D、观察二次函数y=ax+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣y=﹣k＞﹣

=﹣

=﹣a，即k＜a，

2

=﹣=﹣1时，

∵a＞0，k＞0， ∴a＞k＞0． 故D选项正确； 故选：D．

【点评】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．

二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们

2

称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x+bx﹣4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是 8 ．

2

【解答】解：∵二次函数y=x+bx﹣4是“偶函数”， ∴﹣

=0，

解得b=0，

所以，函数解析式为y=x﹣4，

2

令y=0，则x﹣4=0， 解得x1=﹣2，x2=2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AB=2﹣（﹣2）=4， 令x=0，则y=﹣4，

∴点P的坐标为（0，﹣4），

第14页（共28页）

2

∴△ABP的面积=×4×4=8．

故答案为：8．

【点评】本题考查了二次函数的性质，读懂题目信息，理解“偶函数”的定义，列式求出b的值是解题的关键． 14．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为 （6，0） ．

【解答】解：连接BD， ∵∠DOC=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠BCD=30°， ∴BC=2BD=4， ∴OC=OB+BC=6，

故点C的坐标为（6，0）． 故答案是：（6，0）．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 15．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：

．根据这个规则，则方程2*x=9的解为 x=﹣3或

【解答】解：由题意得：

2

当x≤2时，2*x=x=9，

解得：x1=3（不合题意舍去），x2=﹣3， 则x=﹣3，

2

当x＞2时：2*x=x+x=9， 解得：x1=则x=

，

第15页（共28页）

．

，x2=

（不合题意舍去），

故答案为：x=﹣3或．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是看懂公式所表示的意义，根据公式列出一元二次方程． 16．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率等于

．

【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） 所有等可能的情况有25种，其中两个指针同时落在偶数上的情况有6种， 则P=

．

5 （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 故答案为：

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

17．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）有理数a≠1，我们把的差倒数是

，﹣1的差倒数是

．如果

称为a的差倒数，如：2

，a2是a1的差倒 ．

数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a2012= 【解答】解：a1=﹣， a2=

=，

a3=

=4，

第16页（共28页）

a4=

=﹣，

…，

依此类推，每三个数为一个循环组进行循环， ∵2012÷3=670…2，

∴第2012个数与第2个数相同，为． 故答案为：．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，差倒数的定义，读懂题目信息，根据差倒数的定义进行计算并求出每三个数为一个循环组进行循环是解题的关键． 18．（4分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：

①图形中全等的三角形只有两对；

②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； ③CD+CE=OA；

22

④AD+BE=2OP?OC．

其中，正确结论的序号是 ②③④ ．

【解答】解：结论①错误．理由如下：

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC． ∵OC⊥AB，OD⊥OE， ∴∠AOD=∠COE． 在△AOD与△COE中，

，

∴△AOD≌△COE（ASA）． 同理可证：△COD≌△BOE． 结论②正确．理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴S△AOD=S△COE，

∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．

第17页（共28页）

结论③正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴CE=AD，

∴CD+CE=CD+AD=AC=OA． 结论④正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴AD=CE；

∵△COD≌△BOE， ∴BE=CD．

222

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD+CE=DE，

222

∴AD+BE=DE． ∵△AOD≌△COE， ∴OD=OE， 又∵OD⊥OE，

∴△DOE为等腰直角三角形，

22

∴DE=2OE，∠DEO=45°．

∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE， ∴△OEP∽△OCE， ∴

=

2

，即OP?OC=OE．

2

2

∴DE=2OE=2OP?OC，

22

∴AD+BE=2OP?OC．

综上所述，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④．

【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论④的判断，其中对于“OP?OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．

三.解答题：本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 19．（16分）（2014?涪城区校级自主招生）解答下列各题： （1）解不等式组

，并把其解集在数轴上表示出来．

（2）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，记成，定义，上述记号就

叫做2阶行列式．若，求x的值．

【解答】（1）解不等式，得x≤3，

解不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x，得x＞﹣2． 故原不等式组的解集是﹣2＜x≤3． 在数轴上表示为：

第18页（共28页）

；

（2）∵

=ad﹣bc，

∴=6，

2

2

∴可以转化为（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（1﹣x）=6，即（x+1）+（x﹣1）=6， 2

∴x=2，即x=±．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解不等式的基本步骤是解答此题的关键． 20．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．南山中学为了搞好“创建”活动的宣传，校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（Ⅰ）求该校共有多少名学生； （Ⅱ）将条形统计图补充完整；

（Ⅲ）在扇形统计图中，计算出“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数； （Ⅳ）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90﹣100分”的概率是多少？ 【解答】解：（Ⅰ）该学校的学生人数是：300÷30%=1000（人）． （Ⅱ）A类的人数是：1000×10%=100（人）， D类的人数是：1000×35%=350（人）． 条形统计图如图所示．

（Ⅲ）在扇形统计图中，“60﹣69分”部分所对应的圆心角的度数是：360°×

第19页（共28页）

=72°．

（Ⅳ）从该校中任选一名学生，

其测试成绩为“90﹣100分”的概率是：5%．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（12分）（2012?广安）如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=； （1）求双曲线和直线的解析式； （2）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）∵B在双曲线y=上，B点的坐标是（2，﹣3）， ∴k=﹣6，∴双曲线的解析式为：y=﹣． ∵AC垂直y轴于点C，AC=， ∴点C的横坐标为﹣， 则纵坐标为4，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

解得

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+1；

（2）直线y=﹣2x+1与x轴的交点坐标为（，0）， △AOB的面积=××4+××3=．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

第20页（共28页）

22．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OE， ∵AB=BC且D是AC中点， ∴BD⊥AC，

∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BD， ∵BD⊥AC， ∴OE⊥AC，

∵OE为⊙O半径， ∴AC与⊙O相切．

（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC， ∴BC=10， ∴AB=BC=10，

设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r， ∵AB=BC， ∴∠C=∠A， ∴sinA=sinC=， ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴sinA=∴r=

，

=

=，

第21页（共28页）

答：⊙O的半径是．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想． 23．（12分）（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；

（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

【解答】（1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C，

∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM?tanC=?k=同理：FN=AN?tanA=

， ?k=4k﹣

，

由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，

第22页（共28页）

而EM+FN=+4k﹣=4k，

∴EM+FN=BH；

（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，

所以，S△PCE=x?2x=x，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x），S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，

22

=64﹣x﹣（8﹣x），

2

=﹣2x+16x，

2

配方得，S=﹣2（x﹣4）+32， 所以，当x=4时，S有最大值32．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点． 24．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．

例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数

（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点

2

2

D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式； 2

（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．

【解答】解：（1）（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时： 正方形ABCD的边长为．

（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时： 设正方形边长为a，易得3a=， 解得a=

，此时正方形的边长为

或

． ；

∴所求“伴侣正方形”的边长为

（2）如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F， 易证△ADE≌△BAO≌△CBF．

第23页（共28页）

∵点D的坐标为（2，m），m＜2， ∴DE=OA=BF=m， ∴OB=AE=CF=2﹣m． ∴OF=BF+OB=2，

∴点C的坐标为（2﹣m，2）． ∴2m=2（2﹣m），解得m=1． ∴反比例函数的解析式为y=；

（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣x+

2

；

b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在， c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在 d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y=x+

2

；

e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣

x+

2

；

f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y=x+； 故二次函数的解析式分别为：y=x+

2

2

或y=﹣x+

2

或y=﹣x+

2

或y=x+．

2

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．

25．（14分）（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；

第24页（共28页）

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得： 2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．

（2）令y=0，即

（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，

∴B（﹣2，0），C（4，0） 在C1中，令x=0，得y=2， ∴E（0，2）． ∴S△BCE=BC?OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．

如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）． 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=当x=1时，y=，∴H（1，）．

（4）分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示． 则

2

x+2，

，

∴BC=BE?BF．

由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°， ∴∠CBF=45°，

作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°， ∴BT=TF．

∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上， ∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x+2＞0，

第25页（共28页）

∵x＞0，

∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）． 此时BF=

2

=2（m+1），BE=，BC=m+2，

又∵BC=BE?BF，

2

∴（m+2）=?（m+1）， ∴m=2±， ∵m＞0， ∴m=+2．

②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示． 则

2

，

∴BC=EC?BF． ∵△BEC∽△FCB ∴∠CBF=∠ECO， ∵∠EOC=∠FTB=90°， ∴△BTF∽△COE， ∴

，

（x+2））（x＞0）

∴可令F（x，

又∵点F在抛物线上， ∴

（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，

∴x+2＞0， ∴x=m+2， ∴F（m+2，

2

（m+4）），EC=，BC=m+2，

又BC=EC?BF， ∴（m+2）=

2

?

整理得：0=16，显然不成立．

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．

第26页（共28页）

【点评】本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．

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参与本试卷答题和审题的老师有：算术；zhehe；lbz；sdwdmahongye；MMCH；mmll852；Linaliu；张其铎；gsls；如来佛；wdxwzk；ZHAOJJ；caicl；sjzx；nhx600；星期八；zhjh；sd2011；sks；ZJX；1286697702；zjx111；未来（排名不分先后） 菁优网

2016年4月19日

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