2008考研数学基础班线性代数- 曾祥金

目 录

第一讲 行列式与矩阵 ?????????????????????? 2

第二讲 向量的线性相关性，矩阵的秩 ???????????????? 21

第三讲 线性方程组 ??????????????????????? 36

第四讲 相似矩阵与二次型???????????????????? 51

第一讲 行列式与矩阵

一、内容提要

（一）n阶行列式的定义

?a11?aD??21????an1（二）行列式的性质

a12a22?an2?a1n??a2n???????ann?Tj1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

1．行列式与它的转置行列式相等，即D?D； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；

3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零； 5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即

a11?D?ai1?bi1?an1a11?则

a12??a1n?ai2?bi2?ain?bin，

??an2?a11??an1??anma12?b12??a1n??bin

??a1na12?a12?D?ai1?an1?ain?bi1an2?annan2?ann7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义

去掉n阶行列式D中元素aij所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij

（2）代数余子式的定义

aij的代数余子式的记为Aij,Aij?(?1)i?jMij

2．n阶行列式D依行（列）展开 （1）按行展开公式

2

?（2）按列展开公式

?DaijAkj???0j?1ni?ki?k

?（四）范德蒙行列式

?DaijAis???0i?1nj?s j?s1x1D?x12?x1n?1（五）矩阵的概念 1．矩阵的定义

1x22x2???1xn2?xn??1?i?j?n?(xj?xi)

n?1n?1x2?xn由m×n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)组成的m行n列的矩形数表

?a11??aA??21???a?m1称为m×n矩阵，记为A?(aij)m?n 2．特殊的矩阵

（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；

a12a22?am2?a1n???a2n? ????amn??（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；

（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设A?(aij)mn;（六）矩阵的运算 1．加法

（1）定义：设A?(Aij)mn,B?(bij)mn，则C?A?B?(aij?bij)mn （2）运算规律

① A+B=B+A； ③ A+O=A 2．数与矩阵的乘法

（1）定义：设A?(aij)mn,k为常数，则kA?(kaij)mn

3

B?(bij)mn

若 aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，则称A与B相等，记为A=B。

②（A+B）+C=A+（B+C） ④ A+（-A）=0， –A是A的负矩阵

（2）运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA, ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法

（1）定义：设A?(aij)mn,B?(bij)np.则

AB?C?(Cij)mp,其中Cij?（2）运算规律

?ak?1nikbkj

①(AB)C?A(BC)；②A(B?C)?AB?AC ③(B?C)A?BA?CA （3）方阵的幂

①定义：A?(aij)n，则A?A?A

Kk②运算规律：A?A?A①AB?BA

kkmnm?n；(A)?Amnmn

（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

k②AB?0,不能推出A?0或B?0;

③(AB)?A?B 4．矩阵的转置

（1）定义：设矩阵A=(aij)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为A?(aji)nm， （2）运算规律 ①(A)?A; ③(kA)?KA;

TTTTT②(A?B)?A?B；

④(AB)?BA。

TTTTTTT（3）对称矩阵与反对称矩阵 若A?A,则称A为对称阵；

AT??A，则称A为反对称阵。

5．逆矩阵

（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B?A。

（2）A可逆的元素条件：

A可逆?A?0 （3）可逆阵的性质

①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；

?11?1A； kT?1?1TT

③若A可逆，则A也可逆，且(A)?(A)；

②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且(kA)?1?④若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB)（4）伴随矩阵

①定义：A?(Aij)n，其中Aij为aij的代数余子式， ②性质：

i）AA?AA?AE；

**?1?B?1A?1。

*Tii）A?A*n?1；

4

iii）(A*)*?An?2A；

?1iv）若A可逆，则A也可逆，且(A)**?1?(A?1)*?1A A③用伴随矩阵求逆矩阵公式：A（七）方阵的行列式

?1*A A1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为A或detA。

2．性质：

（1）AT?A，

（2）kA?k

（4）AnA， ?1 A（3）AB?AB，

?1（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵 1．单位阵E：E?1;nE?1?E；

2．数量矩阵kE：kE?k;当k?0时,(kE)?1?3．对角阵：

1E k*??1??????2????,?????n????1???11??1若?1?2??n?0，则????2???1???n?4．上（下）三角阵

则???1?2??n;

????? ?????*?a11???a22??设A???,则A?a11a22?ann ????ann????1若A?0，则A仍为上（下）三角阵

（九）矩阵的初等变换与初等矩阵 1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换 ①交换两行（列）；

②某行（列）乘一个不为零的常数k；

③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。 2．初等矩阵

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