机械基本绘图知识

高考历史、文综历史专题复习【全部完成】

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§2-3
1．直线的投影
A
直线的投影
直线的投影一般仍 为直线。 为直线。 C 只有当直线垂直于 某一投影面时， 某一投影面时，它的 投影才积聚成一点。 投影才积聚成一点。
D
一、直线和直线上点的投影特性
B
a b c(d)
H
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两点确定一条直线。 两点确定一条直线。 只需作出直线上两端点的投影， 只需作出直线上两端点的投影，然后连接 其同面投影 。
o
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2．直线上点的投影特性
若点在直线上， 从属性 若点在直线上，则点的各投影必在该直线的各 同面投影上，且符合点的投影规律。 同面投影上，且符合点的投影规律。 直线上的点分割线段之比， ⑵ 定比性 直线上的点分割线段之比，等于该点的投影分 割线段的同面投影之比 。 A K: K B = a k : k b= a′k′ : k′b′ = a″k″ : k″ b″
⑴
b′ k′ K X a′ A a k b O B
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的正面投影。 [例1] 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 V b′ c′ a′ X A a c H b b B C O X c′ a′ a c 采用定比性 b′
cb ac
O
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解法二 采用从属性 b′ c′
X Z
b′′ c′′
Y
a′ a c b
a′′
O
Y
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[例2] 在已知线段AB上取一点，将AB分成2：1两段， 上取一点， 分成2 两段， 的投影。 求点C 的投影。
b′ （1）过a引一任意直线， 引一任意直线， 并在其上作三等分； 并在其上作三等分； 连接bb （2）连接bb0，再推出平 行线， ab于 行线，交ab于c； a′ （3）由c再求出c′。 再求出c′。 c′ X c′
O
b c
b0
a
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二、各种位置直线的投影特性
分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、 分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位 置直线；前两类又称为特殊位
置直线。 置直线；前两类又称为特殊位置直线。 1．投影面平行线 平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线。 平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线。 可分为： 可分为： 水平线平行于H 平行于 倾斜于V 面的直线； 水平线平行于H面，倾斜于V、W面的直线； 正平线平行于V 平行于

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倾斜于H 面的直线； 正平线平行于V面，倾斜于H、W面的直线； 侧平线平行于W 平行于 倾斜于V 面的直线。 侧平线平行于W面，倾斜于V、H面的直线。 分别表示直线对H 面的倾角。 α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角。
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(1) 水平线 — 平行于水平投影面的直线
z
Z
a′
b′
a″
b″
a′
A X
b′
β
a″
γ
X
O
Y
B
O
b″
a
β γ
a b
Y
b
Y
投影特性： 投影特性：1、a′b′|| OX ; a″b″|| OY 2、ab =AB 3、反映β、γ 角的真实大小
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正平线— （2）正平线 平行于正立投影面的直线
Z b′ a′ b′ Z b″ a″ O Y
γ
B b″ a″ a′ X
α
α γ
A X O
a
b
Y
a
b Y
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投影特性： 投影特性： 1、ab || OX ; a″ b″|| OZ 2、a′ b′ =AB 3、反映α、γ 角的真实大小
侧平线— （3）侧平线 平行于侧立投影面的直线
Z a′ A b′ X a B Y b b Y a″ X b′ O a b″ a′ Z a″
β α
b″
β α
O
Y
投影特性： 投影特性：
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1、a′b′|| OZ ; ab || OY 2、a″b″ = AB 3 、反映 α、β 角的真实大小
2．投影面垂直线 垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。 垂直于一个投影面而平行于另两个投影面的直线。 可分为： 可分为： 铅垂线垂直于H 垂直于 平行于V 面的直线； 铅垂线垂直于H面，平行于V、W面的直线； 正垂线垂直于V 垂直于 平行于H 面的直线； 正垂线垂直于V面，平行于H、W面的直线； 侧垂线垂直于W 垂直于 平行于V 面的直线。 侧垂线垂直于W面，平行于V、H面的直线。
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铅垂线— （1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线
Z a′ A b′ X O B a(b) Y a(b) Y a″ a′ b′ X b″ O Z a″ b″ Y
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投影特性： 投影特性：1、a（b）积聚成一点 2、a′ b ′⊥OX ; a″ b″ ⊥ OY 3、a′ b′ = a″ b″ = AB
正垂线— （2）正垂线 垂直于正立投影面的直线
Z b ′ (c ′ ) C B
O c b Y b Y 投影特性： 投影特性： 1、b′(c′ )积聚成一点 2、bc ⊥ OX ; b″c″ ⊥OZ 3、bc = b″c″ =BC
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b ′ (c′ ) c″ b″ X c O
z
c″
b″
Y
X

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侧垂线— （3）侧垂线 垂直于侧立投影面的直线
Z a′ b′ a″（b″） A X O B X O Y a′ b′ Z a″(b″）
a
b
Y
a
b Y
投影特性： 投影特性：1、a″（b″） 积聚成一点 2、 ab ⊥ OY ; a′b′⊥ OZ 3、 ab = a′b′ =AB
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3．一般位置直线
Z V
b′ B a′
β
b″
W X
b′ a′
Z
b″ a″
X
γ α
O
O
A a H 投影特性: 投影特性:
b
a″
Y
Y
b a
Y
1.对三个投影面都倾斜的直线，其投影长度均小于AB的实长。 1.对三个投影面都倾斜的直线，其投影长度均小于AB的实长。 对三个投影面都倾斜的直线 AB的实长 2.其与投影轴的夹角均不反映该直线对投影面的倾角 其与投影轴的夹角均不反映该直线对投影面的倾角。 2.其与投影轴的夹角均不反映该直线对投影面的倾角。
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(1)求直线的实长及对水平投影面的倾角 (1)求直线的实长及对水平投影面的倾角α
b′ B a′ X A a AB zB-zA a′ X b b′ AB zB-zA ab ZB-ZA
α
α C
b
O
a zB-zA ab
α
AB
α
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(2)求直线的实长及对正立投影面的倾角 (2)求直线的实长及对正立投影面的倾角β
b′ B a′ X YA-YB A a AB C b AB
β
b′
β
O
YA-YB X a′b′
a′ b
β
AB a YA-YB
β
YA-YB
a′b′
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(3)求直线的实长及对侧立投影面的倾角 (3)求直线的实长及对侧立投影面的倾角γ
Z b′ B a′ X A a b″ a′ X b a″ Y XA-XB
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Z b′
b″
γ
O b
O
a″ Y
a Y
[例3] 已知直线 的投影，试在 上定出点 的投影， 例 已知直线AB的投影 试在AB上定出点 的投影， 的投影， 上定出点C的投影 的实长等于已知线段L。 使BC 的实长等于已知线段 。
b′ L AB
c′ a′ X b
L=BC
zA-zB
ab
c a
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三、两直线的相对位置
空间两直线的相
对位置可分为三种情况：平行、 空间两直线的相对位置可分为三种情况：平行、 相交和交叉(既不平行，也不相交) 相交和交叉(既不平行，也不相交)。 其中平行和相交属于共面直线，而交叉为异面 其中平行和相交属于共面直线， 直线。 直线。 另外,空间两直线有相交垂直和交叉垂直两种。 另外 空间两

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直线有相交垂直和交叉垂直两种。 空间两直线有相交垂直和交叉垂直两种
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(1) 平行两直线
b′ c′ a′ X A a B C b c b a d′ D X a′
b′ c′
d′
b c
d
1、若空间两直线互相平行，则其同面投影必互相平行 。 若空间两直线互相平行， 若空间两直线互相平行 2、平行两线段之比等于其投影之比。 平行两线段之比等于其投影之比。 平行两线段之比等于其投影之比
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但当两条直线同时平行于某一投影面时， 但当两条直线同时平行于某一投影面时，虽 然a′b′∥c′d′，ab∥cd，当求出其侧面投影 a′b′∥c′d′，ab∥cd， a″b″≠c″d″ c″d″， AB≠CD CD。 后，因a″b″ c″d″，则AB CD。
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(2) 相交两直线
V c′ a′ C A X a c k b′ d′ K D O d b H B
X
k′
c′ ′ a′ ′
b′ ′ k′ ′ d′ ′
a c k
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点符合 点的投影规律。 点的投影规律。
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点作水平线CD AB相交 CD与 相交, CD长度为50mm。 长度为50mm [例4] 过C点作水平线CD与AB相交,且CD长度为50mm。
b′ ′ c′● a′ ′
X
k′ ′
d′ ′
先作正面投影
a c k
●
d b
量取CD=50 量取
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[例5] 判断两直线是否相交 z c″ b″ a″ d″ Y
交叉两直线
两直线不相交
o
解法一： 解法一：用侧面投影
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Y
[例5] 判断两直线是否相交 解法二： 解法二：用定比性 两直线不相交
交叉两直线
c′ 1′ a′ X a d′ d 1
b′
c 1′d′
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b
1′c′
(3) 交叉两直线
d′ 1′(2′) a′ X A a 2 C c 1 d 1 c′ 2 1′(2′) B D O b a c 2 X a′ c′
d′ b′
b′
b
d 1
凡不满足平行和相交条件的直线均为交叉两直线。 凡不满足平行和相交条件的直线均为交叉两直线。
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b′ V 1′ ′ ′ c ′ 3 (4) d′ 2′ B Ⅳ Ⅰ a′ A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
c′ a′ X a c
′ 3(4 ′)
●
1′
● ●
b′ d′ O
2′

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●
4 1(2)
●
c
3 1(2)
d b
b H
●
3
投影特性： 投影特性：
1.同面投影可能相交，但 “交点”不符合点的投影规律。 1.同面投影可能相交， 交点”不符合点的投影规律。 同面投影可能相交 2.“交点”是两直线上一对重影点的投影， 2. 交点”是两直线上一对重影点的投影，可帮助判断两直线 交点 的空间位置。 的空间位置。
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[例6] 判断两直线重影点的可见性
c′ 2′ a′ X b 4 c a 1(2) 3 d b′ 1′ 3′(4′) d′
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(4) 垂直两直线（直角投影定理） 垂直两直线（直角投影定理）
垂直相交两直线， 垂直相交两直线，若其中一条直线为某投影面的平 行线时，则两直线在该投影面上的投影必定反映直角。 行线时，则两直线在该投影面上的投影必定反映直角。
已知AB⊥BC，其中AB∥H面 BC倾斜于H 已知AB⊥BC，其中AB∥H面，BC倾斜于H面。因AB⊥Bb， AB⊥BC AB∥H 倾斜于 AB⊥Bb， AB⊥BC， AB⊥BbcC平面 又因ab∥AB 所以ab⊥BbcC平面， 平面； ab∥AB， ab⊥BbcC平面 AB⊥BC，则AB⊥BbcC平面；又因ab∥AB，所以ab⊥BbcC平面， 因此ab⊥bc ab⊥bc， 90o 因此ab⊥bc，即∠abc =∠ABC = 90
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试判断下列两直线是否垂直。 [例7] 试判断下列两直线是否垂直。
如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直， 如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其 中有一直线为该投影面的平行线时， 中有一直线为该投影面的平行线时，则这两直线在空间 必定互相垂直。 必定互相垂直。 当两直线是交叉垂直(即两直线垂直但不相交) 当两直线是交叉垂直(即两直线垂直但不相交)时， 也符合直角投影定理。 也符合直角投影定理。
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求交叉两直线AB CD的公垂线 AB、 的公垂线。 [例8] 求交叉两直线AB、CD的公垂线。
交叉两直线的公垂线，就是与AB CD都垂直的直线 AB和 都垂直的直线。 分析 交叉两直线的公垂线，就是与AB和CD都垂直的直线。 由于AB是铅垂线，CD是一般位置直线 AB是铅垂线 是一般位置直线， 由于AB是铅
垂线，CD是一般位置直线，所以其公垂线必为 一条水平线，它与CD的垂直关系在H面上反映。 CD的垂直关系在 一条水平线，它与CD的垂直关系在H面上反映。
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[例9] 已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线， 已知菱形ABCD的

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一条对角线AC为一正平线， ABCD的一条对角线AC为一正平线 菱形的一边AB位于直线AM AB位于直线AM上 求该菱形的投影。 菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影。
分析 菱形的两对角线互相垂直且平分，其对边互相平行。 菱形的两对角线互相垂直且平分，其对边互相平行。
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