第三章__水动力学基础

第三章 水动力学基础

本章研究液体机械运动的基本规律及其在工程中的初步应用。根据物理学和理论力学中的质量守恒原律、牛顿运动定律及动量定理等，建立水动力学的基本方程，为以后各章的学习奠定理论基础。

液体的机械运动规律也适用于流速远小于音速（约340 m/s）的低速运动气体。因为当气体的运动速度不大于约50m/s时，其密度变化率不超过1%，这种情况下的气体也可认为是不可压缩流体，其运动规律与液体相同。

研究液体的运动规律，也就是要确定描述液体运动状态的物理量，如速度、加速度、压强、切应力等运动要素随空间与时间的变化规律以及相互关系。

由于实际液体存在粘性，使得水流运动分析十分复杂，所以工程上通常先以忽略粘性的理想液体为研究对象，然后进一步研究实际液体。在某些工程问题上，也可将实际液体近似地按理想液体估算。

§3-1 描述液体运动的两种方法

描述液体运动的方法有拉格朗日（J.L.Lagrange）法和欧拉（L.Euler）法两种。 1．拉格朗日法（Lagrangian View） 拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(Kinematic Parameter)随时间的变化规律。每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。

用拉格朗日法描述液体的运动时，运动坐标不是独立变量，设某质点在初始时刻t=t0时的空间坐标为a、b、c（称为起始坐标），则它在任意时刻t的运动坐标x、y、z可表示为确定这个质点的起始坐标与时间变量的函数，即

x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t)? z?z(a,b,c,t)?? (3-1-1)

变量a，b，c，t统称为拉格朗日变量。显然，对于不同的质点，起始坐标a，b，c是不同的。根据式（3-1-1），将某质点运动坐标时间历程描绘出来就得到该质点的迹线(Trace)。

在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即

ux?uyuz?x??t???y????t??z????t? (3-1-2)

给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即

axayaz2?x????2?t?t?2??uy?y?????t?t?2?uz?z????2?t?t???ux (3-1-3)

由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。

2．欧拉法(Eulerian View) 欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场(Flow Field)为对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。

用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x，y，z与时间变量t的连续可微函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为

ux?ux(x,y,z,t)??uy?uy(x,y,z,t)??uz?uz(x,y,z,t)? (3-1-4)

各空间点的压强所组成的压强场可表示为

p?p(x,y,z,t)

(3-1-5)

加速度应是速度对时间的全导数。注意到式（3-1-4）中x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t的函数。根据复合函数求导规则，得

ax?dudtx??ux?t??ux?x?dxdt??ux?y?dydt??ux?z?dzdt

式中

dxdt?ux；

dydt?uy；

dzdt?uz

故

?ux?tax?dudtx??uxt?ux?ux?x?uy?ux?y?uz?ux?z

(3-1-6)

同理

ay?az?,?uy?tdudtdudt,y???uy?t?uz?t?ux?ux?uy?x?uz?x?uy?uy?uy?y?uz?x?uz?uy?uy?z?uz?zz上式右边第一项

?uz?t表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，

称为当地加速度：等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。所以，用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度与迁移加速度之和。例如，由水箱侧壁开口并接出一根收缩管（图3-1-1），水经该管流出。由于水箱中的水位逐渐下降，收缩管内同一点的流速随时间不断减小；另一方面，由于管段收缩，同一时刻收缩管内各点的流速又沿程增加（理由见§3-3）。前者引起的加速度就是当地加速度（在本例中为负值），后者引起的加速度就是迁移加速度（在本例中为正值）。

图3-1-1

§3-2 欧拉法的几个基本概念

1．恒定流与非恒定流(Steady Flow and Unsteady Flow) 液体运动可分为恒定流与非恒定流两类。若流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变，这种流动称为恒定流。否则，就叫做非恒定流。例如，图3-1-1中水箱里的水位不恒定时，水流中各点的流速与压强等运动要素随时间而变化，这样的流动就是非恒定流。若设法使箱内水位保持恒定，则液体的运动就成为恒定流。

恒定流中一切运动要素只是坐标x，y，z的函数，而与时间t无关，因而恒定流中

?ux?t??uy?t??uz?t??p?t?0 (3-2-1)

恒定流中当地加速度等于零，但迁移加速度可以不等于零。

恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t，因而问题要简

单得多。在实际工程中不少非恒定流问题的运动要素随时间非常缓慢地变化，或者是在一段时间内运动要素的平均值几乎不变，此时可近似地把这种流动当作恒定流处理。另外，有些非恒定流经改变坐标系后可变成恒定流。例如，船在静止的河水中等速直线行驶时，船两侧的水流对于岸上的人看来（即对于固结于岸上的坐标系来说）是非恒定流，但对于站在船上的人看来（即对于固结于船上的坐标系来讲）则是恒定流，它相当于船不动，而远处水流以与船相反的方向等速流过来。

2．一元流、二元流与三元流(One_,Two_ and Three_Dimensional Flow) 恒定流与非恒定流是根据欧拉变量中的时间变量对运动要素有无影响来分类的；若考察运动要素与坐标变量的关系，液体的流动可分为一元流、二元流与三元流。

若运动要素是三个空间坐标的函数，这种流动就称为三元流；若是二个坐标（不限于直角坐标）的函数，就叫做二元流；若是一个坐标（如沿流动方向的坐标）的函数，就叫做一元流。

液体一般在三元空间中流动。例如，水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中的流动，水对船体的绕流等等，这类流动属于三元流。

若液体在平行平面间流动，而且在与这些平面垂直的方向上各点的流动状态相同，则称为平面流动。平面流动就属于二元流动。例如，水在非常宽阔的矩形渠道中流动，远离侧边的与xz平面平行的诸铅垂面上（图3-2-1中a-a，b-b，c-c断面）的流动就是直角坐标系中的二元流动。在这些平面上运动要素与直角坐标中的y无关，而只是x，z的函数。又如，实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动（图3-2-2），运动要素只是柱坐标中r，x的函数，而与θ角无关，这也是二元流动。其断面流速分布如图所示，由于液体的粘性及对管壁的附着作用，紧靠管壁的液体质点的流速等于零，而管道轴上的液体质点因受管壁的影响最小，故流速最大，中间是过渡状态。

图3-2-2

若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值（图3-2-3），则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。

显然，坐标变量越少，问题越简单。因此在工程问题中，在保证一定精度的条件下，尽可能将复杂的三元流动简化为二元流动乃至一元流动，求得它的近似解。在水力学中经常运用一元分析法或总流分析法来解决管道与渠道中的许多流动问题。

3．流线，均匀流与非均匀流

（1）流线(Streamline) 为了用欧拉法形象地描绘流速矢量场，引进流线的概念。若某时刻在流速场中画出这样一条空间曲线，它上面所有液体质点的流速矢量都与这一曲线相切，这条曲线就称为该时刻的一条流线。因此，流线表明了某时刻流场中各点的流速方向。流线的作法如下：在流速场中任取一点1（图3-2-4），绘出在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的质点的流速矢量u2??如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6??，若折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场中经过点1的流线。

恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。当然，非恒定管流中流速与流量都要随时间改变。

上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量汇入或分出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。如图3-3-2所示的情况，

Q1?Q2?Q3

(3-3-4)

图3-3-2

例3-2 直径d为100mm的输水管道中有一变截面管段（图3-3-3），若测得管内流量Q为10l/s，变截面弯管段最小截面处的断面平均流速v0=20.3m/s，求输水管的断面平均流速v及最小截面处的直径d0。

图3-3-3

解 由式（3-2-6），

v?Q14?2?310?1014=1.27m/s

2?d?3.14?0.1根据式（3-3-3）

d0?2vv0d2?1.2720.3?0.12=0.000626

故

d0=0.0250m=25mm

§3-4 连续性微分方程(Differential Equation of Continuity)

将质量守恒原理应用于流场中的微元空间，可导得三元流动的连续性微分方程。

假定液体连续地充满着整个流场，从中任取一个以O′（x，y，z）点为中心

的微分六面体（图3-4-1），边长为dx，dy，dz，分别平等于坐标轴x，y，z。设某时刻通过O′点的液体质点的三个流速分量为ux，uy，uz，将它们按泰勒级数展开，并略去高阶小量，可得到该时刻通过六面体的六个表面中心点的质点流速。例如，沿x方向通过左表面中心点M的流速等于

ux?1?ux2?xdx

图3-4-1

通过右表面中心点N的流速等于

ux?1?ux2?xdx

再分析在单位时间内通过六面体的质量变化。因为六面体无限小，可认为其各表面上的流速均匀分布，所以单位时间流进左表面的质量是

1?(?ux)???u?dxx??dydz2?x??

单位时间流出右表面的质量是

1?(?ux)???u?dxx??dydz2?x??

单位时间沿x方向流出与流进六面体的质量差为

?(?ux)1?(?ux)1?(?ux)?????u?dxdydz??u?dxdydz?dxdydzxx????2?x2?x?x????

同理，单位时间沿y方向及z方向，流出与流进六面体的质量差为

?(?uy)?y?(?uz)?zdxdydz

与

dxdydz

若液体是连续的，则根据质量守恒原理，单位时间内流出与流入六面体的质量差应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即

?(?uy)??(?ux)?(?uz)?????dxdydz??dxdydz???x?y?z?t????

整理得

(3-4-1)

???t??(?ux)?x??(?uy)?y??(?uz)?z?0

这就是连续性微分方程的一般形式。 对于恒定流，

???t?0，上式成为

?(?ux)?x??(?uy)?y??(?uz)?z?0 (3-4-2)

对于均匀不可压缩的液体，ρ=常数，式（3-4-1）成为

?ux?x??uy?y??uz?z?0

(3-4-3)

这就是运动液体的连续性微分方程。方程（3-4-3）给出了通过一固定空间点液体的三个流速分量之间的关系，它表明：对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流出与流入的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。

不可压缩液体的连续性微分方程（3-4-3）对于理想液体或实际液体都适用。

液体总流的连续性方程还可通过液体的连续性微分方程对总流体积积分导得。设总流1-1-2-2-1中的体积为V（图3-3-1），其微分体积为dV，则有

?uy??ux?uz??A??y?z???x???dV?0 ??假定总流的表面积为s，其微面积为ds，根据数学分析中的奥斯特洛格拉斯基-高斯 （Отроградский-Gauss）定理，

?uy??ux?uz??A??y?z???x??dV????则

?sunds

式中un为总流表面的法向分速度。

?sunds?0

对于总流的形状不随时间改变的流动，注意到总流侧面上的法向流速等于零，而过水断面上的流速即法向流速，则上式成为

?A2u2dA2??A1u1dA1?0

式中第一项为正值是因u2与A2的外法向一致，而第二项取负值是因u1与A1的外法向相反。

利用断面平均流速的概念，上式可改写为

v1A1?v2A2?Q＝常数

得到总流的连续性方程（3-3-3）。

§3-5 理想液体的运动微分方程(Euler's Equation of Motion)

运用牛顿第二运动定律可导得理想液体三元流动的运动微分方程。 从运动的理想液体中任取一个以O′（x，y，z）点为中心的微分六面体，边长为dx，dy，dz，分别平行于坐标轴x，y，z（图3-5-1），它与推导连续性微分方程时所取的微分六面体不同，微分体不是代表固定空间，而是代表一个运动质点（微团）。

图3-5-1

设O′（x，y，z）点的流速分量为ux，uy，uz；对于理想液体，表面力中不存在切应力，而只有动水压强，它是空间点坐标与时间变量的单值可微函数，故可设O′点的动水压强为p（x，y，z，t）。

作用于理想液体微分六面体的外力有表面力与质量力，根据牛顿第二运动定律，作用于六面体的外力在某轴方向投影之代数和，等于该液体质量乘以在同轴方向的加速度ΣF=ma。x轴方向有

1?p1?p????dx?dydz??p?dx?dydz?X?dxdydz?p?2?x2?x??????dxdydzdudtx

两边除以ρdxdydz（即对单位质量而言），整理得

????xdt?duy?1?p?Y?????ydt?duz?1?pZ?????zdt??X??x1?pdu同理 (3-5-1)

若将上式右侧按式（3-1-6）展开，得

X?1?p??x1?p??ux?t?uy?t?uz?t?ux?ux?ux?ux?x?uy?x?uz?x?ux?ux?uxY?Z???y1?p????z?ux???y?z??uy?uy???uz??y?z??uz?uz??uz??y?z???uz?ux (3-5-2)

方程（3-5-1）或（3-5-2）称为理想液体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。该方程对于恒定流或非恒定流，对于不可压缩流体或可压缩流体都适用。当液体平衡时，

dudtx?dudty?dudtz?0，则得欧拉平衡微分方程式（2-2-1）。

欧拉运动微分方程只适用于理想液体。对于实际液体，需进一步考虑切应力的作用。实际液体的运动微分方程的一般形式称为纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。因其推导繁复，故在此仅介绍所得结果。

X?1?p??dt?duy???? dt?duz???dt??x??x1?p???ux????uy???uz222duY?Z???y1?p (3-5-3)

??z式中?2??22??22??22?x?y?z称为拉普拉斯（Laplace）算子符，?为液体的运动粘性

系数，??2u表示切应力作用的粘性项。

§3-6 理想液体运动微分方程的伯诺里积分

对于不可压缩液体，理想液体运动微分方程中有四个未知数：ux，uy，uz与p，它与连续性微分方程一起共四个方程，因而从原则上讲，理想液体运动微分方程是可解的。但是，由于它是一个一阶非线性的偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知函数与其偏导数的乘积），所以至今仍未能找到它的通解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。

水力学中最常见的伯诺里（D.Bernoulli）积分，是在以下具体条件下积分得到的：

（1）恒定流，此时因而

?ux?t?p?x??uy?t?p?y??uz?t?0

dx?dy??p?zdz?dp（2）液体是均质不可压缩的，即ρ=常数

（3）质量力有势。设W（x，y，z）为质量力的力势函数（见式（2-2-4））则

X??W?xY??W?yZ??W?z

对于恒定的有势质量力，

通常使z≥0。

图3-10-3

图3-10-4

下面举例说明总流伯诺里方程的应用。

例3-3 自流管从水库取水（如图3-10-3），已知H=12m，管径d=100mm，水头损失hw=8

v22g，求自流管流量Q。

解：1．基准面（下游水面）；

2．渐变流端断面（如图）； 3．代表点：水面。 建立能量方程：

z1?p122???1v12g?z2?p2???2v22g?hw

H?0?0?0?0?0?hw

H?hw?8v22g,hw?8v22g

v=5.42m/s Q?vA?42.61/s

例3-4 如图断面突然缩小管道，已知d1=200mm，d2=150mm，Q=50l/s，水银比压计读数h=500mmHg，求hw。

解：1．基准面（任取）；

2．渐变流端断面（如图3-10-4）； 3．代表点（管轴线）。 建立能量方程

z1?p1???1v12g2?z2?p2???2v22g2?hw

（1）由连续方程：

v1?v2?QA1QA2=1.59m/s， =2.83m/s，

v122gv22=0.129m =0.408m

2g（2）由水银比压计公式：

(z1?p1?)?(z2?p2?)??????h?12.6h=0.63m

代入能量方程

hw2?p1?v11??z1????y?2??p2?v22???z????2?y???? ??取 α1≈α2≈α≈1.0 hw=0.35m

§3-11 恒定总流的动量方程

恒定总流的动量方程是继总流的连续性方程与伯诺里方程之后，研究液体一元流动的又一基本方程，统称水力学三大方程。

工程实践中往往需要计算运动液体与固体边壁间的相互作用力，若利用伯诺里方程，通过确定接触面上的压强分布与切应力分布而后积分的方法求解，则计算比较复杂，特别是当有些流动的水头损失以及压强与切应力分布难以确定时无法求解。为此，需要利用动量方程。该方程将运动液体与固体边壁间的作用力，直接与运动液体的动量变化联系起来，它的优点是不必知道流动范围内部的流动过程，而只需知道端面上的流动状况。

恒定总流的动量方程是根据理论力学动量定理导得的。这一定理可表述为：物体的动量变化率

dKdt等于所受外力的合力F，即

dKdt?d(?mu)dt?F

它是个矢量方程，同时方程中不出现内力。

从恒定总流中任取一束元流（图3-11-1），初始时刻在1-2位置，经dt时段运动到1′-2′位置，设通过过水断面1-1与2-2的流速分别为u1与u2。

图3-11-1

dt时段内元流的动量增量dK等于1′-2′段与1-2段液体各质点动量的矢量和之差，由于恒定流公共部分1′-2段的形状与位置及其动量不随时间改变，因而元流段的动量增量等于2-2′段动量与1′-1段动量之矢量差。根据质量守恒原理，2-2′段的质量与1′-1段的质量相等（设为dM），则元流的动量增量

dK?dMu2?dMu1?dM?u2?u1?

对于不可压缩的液体，dQ1?dQ2?dQ，故

dK??dQdt?u2?u1?

根据动量定理，得恒定元流的动量方程

?dQ?u2?u1??F

(3-11-1)

式中F是作用在元流段1-2上外力的合力。

再建立恒定总流的动量方程。总流的动量变化ΣdK等于所有元流的动量变化之矢量和，若将总流段端断面取在渐变流上，则dt时间段总流的动量变化等于元流积分

?dK??A?dQdtu2??A?dQdtu1

??dt?Au2u2dA2?Au1u1dA1? ??2121由于流速u在过水断面上的分布一般难以确定，故用断面平均流速v来计算总流的动量增量，得

?dK??dt??2v2v2A2??1v1v1A1?

按断面平均流速计算的动量ρv2A与实际动量存在差异，为此需要修正。因断面1-1与断面2-2是渐变流过水断面，即v方向与各点u方向几乎相同，则可引入动量修正系数β——实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。β值总是大于1。β值决定于总流过水断面的流速分布，一般渐变流动的β=1.02～1.05，但有时可达到1.33（见§5-4）或更大，工程上常取β=1。 注意到 v1A1?v2A2?Q，则

?dK???Qdt??2v2??1v1?

?dKdt??F根据质点系的动量定理，对于总流有，得

??F?A2u2u2dA2???A1u1u1dA1 (3-11-2′)

或

?Q??2v2??1v1??F?

(3-11-2)

式中 ΣF是作用在总流段1-2上所有外力的合力。

现在用欧拉法研究液体的流动，可认为单位时间内恒定总流的动量变化等于不随流体一起运动的封闭曲面Ⅰ-Ⅰ-Ⅱ-Ⅱ-Ⅰ内在该时段的动量变化（流出动量与流入动量之差），这一封闭曲面称为控制面。相应地，ΣF应等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力（对于惯性坐标系即为重力）ΣFm与作用在该控制面上所有表面力ΣFs的合力，即

?F??Fm??Fs

(3-11-3)

恒定总流的动量方程(3-11-2′)或(3-11-2)表明：总流作恒定流动时，单位时间控制面内总流的动量变化（流出与流入的动量之差），等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力与作用在该控制面上的表面力的合力。

恒定流动的动量方程不仅适用于理想液体，而且也适用于实际液体。 实际上，即使是非恒定流，只要流体在控制面内的动量不随时间改变（例如泵与风机中的流动），这一方程仍可适用。

用动量方程解题的关键在于如何选取控制面，一般应将控制面的一部分取在运动液体与固体边壁的接触面上，另一部分取在渐变流过水断面上，并使控制面封闭。

因动量方程是矢量方程，故在实用上是利用它在某坐标系上的投影式进行计算。为方便起见，应使有的坐标轴垂直于不要求的作用力或动量（速度）。写投影式时应注意各项的正负号。

例3-5 水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止固体壁面，接触壁面后分成两股并沿其表面流动，其水平图如图3-11-2所示。设固壁及其表面液流对称于喷嘴的轴线。若已知喷嘴出口直径d为40mm，喷射流量Q为0.0252m/s，求液流偏转角θ分别等于60°，90°与180°时射流对固壁的冲击力R，并比较它们的大小。

3

图3-11-2

解 利用总流的动量方程计算液体射流对固壁的冲击力。取渐变流过水断面0-0，1-1与2-2以及液流边界面所围的封闭曲面为控制面。

流入与流出控制面的流速，以及作用在控制面上的表面力如图所示，其中R′是固壁对液流的作用力，即为所求射流对固壁冲击力R的反作用力。因固壁及表面的液流对称于喷嘴的轴线，故R′位于喷嘴轴线上。控制面四周大气压强的作用因相互抵消而不需计及。同时，因只研究水平面上的液流，故与其正交的重力也不必考虑。

为方便起见，选喷嘴轴线为x轴（设向右为正）。

若略去水平面上液流的能量损失，则由总流的伯诺里方程得

v1?v2?v0?Q14?20.025214?3.14?0.042=20m/s

?d因液流对称于x轴，故Q1=Q2=Q/2。取β1=β2=1。规定动量及力的投影与坐标轴同向为正，反向为负。总流的动量方程（3-11-2）在x轴上的投影为

?Q2v0cos??t?Q2v0cos???Qv0??R?

得

R??Qvo?1?cos??

(3-11-4)

而R=-R′，即两者大小相等，方向相反。

由式（3-11-4）得： 当θ=60°时（固壁凸向射流），

R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos60°)=252N

当θ=90°时（固壁为垂直平面），

R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos90°)=504N

当θ=180°时（固壁凹向射流），

R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos180°)=1008N

由此可见，三种情况以θ=180°时（固壁凹向射流）的R值最大。斗叶式水轮机的叶片开状就是根据这一原理设计的，以求获得最大的冲击力与输出功率。当然，此时叶片并不固定而作圆周运动，有效作用力应由相对速度所决定。

图3-11-3

例3-6 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d为200mm，弯角为45°（图3-11-3）。管中1-1断面的平均流速v1=4m/s，其形心处的相对压强p1=1个大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力Rx与Ry（坐标轴x与y如图所示）。

解 利用总流的动量方程求解Rx与Ry。取渐变流过水断面1-1与2-2以及管内壁所围成的封闭曲面为控制面。

R?作用在控制面上的表面力，以及流入与流出控制面的流速如图3-11-3所示，其中R?x与y是

弯管对水流的反作用力，p1与p2分别是1-1断面与2-2断面形心处的相对压强。所以作用在这两断面上的总压力分别为P1=p1A1，P2=p2A2。作用在控制面内的水流重力，因与所研究的水平面垂直，故不必考虑。

总流的动量方程（3-11-2）在x轴与y轴上的投影为

?Q(?2v2cos45?Q(?2v2sin45????1v1)?p1A2?p2A2cos45?0)?0?p2A2sin45????R?y???R?x?? ??则

14

2R?x?p1A1?p2A2cos45R?y?p2A2sin45???Q(?2v2cos45???Q?2v2sin45??1v1)??? ?? (3-11-5)

式中 Q??dv1?14×3.14×0.22×4=0.126m3/s

根据总流的连续性方程（3-3-3），v2=v1=4m/s，同时，因弯管水平，且不计水头损失，则由总流的伯诺里方程得到p2=p1=1大气压=9.8N/cm2，于是

p2A2?p1A1?p11414?d1?9.8?2×3.14×202=3077N

取

β1=β2=1

?2??1000?0.126?4???1?=1049N

?2?2??222?1000?0.126?4?22将它们代入式（3-11-5）得

R?x?3077?3077?R?y?3077?2532N

Rx与R?，Ry与R?y分别大小相等，方向相反。 x

§3-12 恒定总流的动量矩方程

当要确定运动液体与固体边壁相互间作用的力矩时，一般运用恒定总流的动量矩方程。

利用恒定元流的动量方程（3-11-1）对某固定点取矩，可得到恒定元流的动量矩方程

?dQ(r2?u2?r1?u1)?r?F (3-12-1)

式中 r1、r2分别是从固定点到流速矢量u1、u2的作用点的矢径。再在总流过水断面上求矢量积分则得恒定总流的动量矩方程

??A2r2?u2u2dA2???A1r1?u1u1dA1??(r?F) (3-12-2)

这就是说，单位时间里控制面内恒定总流的动量矩变化(流出的动量矩与流入的动量矩之矢和差)等于作用于该控制面内所有液体质点的外力矩之和。

动量矩方程的一个最重要的应用是利用它导出叶片式流体机械(泵、风机、水轮机及涡轮机等)的基本方程。现以离心泵或风机为例作推导。如图3-12-1a所示，流体从叶轮的内缘流入，经叶片槽道于外缘流出。叶轮中流体质点作复合运动：一方面，在离心力的作用下相对叶片流动(相对运动)；另一方面，流体质点受旋转叶片的作用作圆周运动(牵连运动)。流体质点的绝对速度c应等于其相对速度w与牵连速度(又称为圆周速度)u的矢量和，即

c=w+u

(3-12-3)

离心泵或风机的进出口速度三角形如图所示。其中a1与a2分别是进出口绝对速度与相应圆周速度的夹角。

图3-12-1

取进出口轮缘(两圆柱面)为控制面。此时，尽管对于固结在机壳上的惯性坐标系来说，叶轮中流体是非恒定流，但控制面内的动量矩不随时间改变，故仍可运用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)。假定断面流速分布是均匀的(一元流动)，注意到对轮心的外力矩中，重力的合力矩等于零，叶轮进出口圆柱面上的动水压强p1与p2因通过轮心，其力矩也等于零，流体与

叶片间的切应力指向轮心，其力矩仍等于零，只有叶片对流体的作用力对转轴产生了力矩M。利用总流的动量矩方程对轮心取矩得

?Q?c2r2cos?2?c1r1cos?1??M

(3-12-4)

设叶轮的旋转角速度为ω，则叶轮对流体所作功率(输入功率)

N?M???Q?u2c2cos?2?u1c1cos?1?

(3-12-5)

另外，理想流体作一元流动时N=γQHm(输出功率)，则单位重量流体所获得的能量

1 (3-12-6) Hm??u2c2cos?2?u1c1cos?1?

g这就是泵与风机的基本方程。该式首先由欧拉在1754年得到，故又称为欧拉方程。

对于水轮机或涡轮机(图3-12-1b)，流体从叶轮外缘流向内缘，其基本方程类似地为

Hm?1g(u1c1cosa1?u2c2cosa2) (3-12-7)

图3-12-2

例3-7 如图3-12-2所示，水流经管段以均匀流速v2=10m/s从喷嘴出流。喷嘴出口直径d2=20mm，出口截面形心的标高yc=1m。试求管段及喷嘴保持不动时所需对A点之力矩M。假定可不计重力的作用。

解 应用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)，取管段与喷嘴内壁及过水断面1-1与2-2所围成的封闭曲面1-1-2-2-1为控制面，注意到pa等于大气压强，而作用于控制面的大气压强相互抵消，且1-1断面上各点之相对压强与流速矢量对于点A对称，它们对点A之合力矩等于零，再利用已知条件，对A点取矩则得管段及喷嘴对水流的反力矩，即其保持不动所需对A点之力矩

M??2?A2r2u2sin?2u2dA2???2v2?A2ydA2

取

2

β2=1

ydA2M??v2?A2??v2ycA2?21422?d2?v2yc

=

14×3.14×0.22×1000×102×1=3140N-m

§3-13 液体微团的运动

前面讨论了一元流动总流的连续性方程(§3-3)、伯诺里方程(§3-10)、动量方程(§3-11)及动量矩方程(§3-12)，它们是描述一元水动力学问题的四个基本方程，是可应用于一般管流与明渠流水动力学问题水力计算的四个基本方程，但是，自然界与工程中广泛存在的是二元流动及三元流动，有必要进一步研究流速与压强等参数在平面与空间的分布规律(例如渗流流场)。以下介绍二元流动与三元流动的分析方法。

从理论力学知道，一般情况下刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分所组成。液体的运动比较复杂，因为液体微团(质点)的运动，一般除了平移和转动以外还要发生变形(包括线变形与角变形)。现在通过分析微团上邻近两点的速度关系来说明液体质点运动与变形之间的关系。

如图3-13-1所示，若已知时刻t流场中任一液体微团的点A(x,y,z)的速度分量为ux(x，y，z)，uy(x,y,z)与uz(x,y,z)，则相邻点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度分量可按泰勒级数展开得到，若略去二阶以上的微量，则为

uMx?ux?uMy?uy?uMz?uz??ux?x?uy?x?uz?x???y?z???uy?uy?dx?dy?dz??y?z???uz?uzdx?dy?dz??y?z??dx??dz?ux?ux (3-13-1)

图3-13-1

为显示液体微团运动的上述三个组成部分，将上式(3-13-1)中第一个式子

?1?uy2?xdy?1?uz2?xdz，并重新组织，得到

?ux??ux?xdx??uy1??ux??2??x??y??uz1??ux?dy?????2??z?x????dz?uMx

??ux1??uy??2??y??x??uz1??ux?dy?????2?x??z????dz?

类似地将式(3-13-1)中第二个与第三个式子变成

uMy?uy??uy?ydy??uz1??uy??2??y??z??ux1??uy?dz????2??y???x??dx????dx??

??uy1??uz??2??z??y?uz?zdz???ux1??uy?dz????2??y???x

??dy??uMz?uz??ux1??uz???2??x?z?uy1??uz??dx????2??z???y??dy??

??uz1??ux???2??z?x?uy1??uz??dx????2??z???x

进一步引入符号：θ为质点的线变形速度，ε为角度变形速度，ω为质点的旋转角度速度，则

?????x?,?x??x????uy?uz??1??ux?y?,?y???????y2??z?x????u?uz?uz??1?y????z?,?z????z2??x?y????

?uy?1??uz???x????2??z???y????uz?1??ux??y??????2??z?x????ux?1??uy???z????2??y???x???ux?uy1??uz???2??y?z? (3-13-2)

则上述确定uM、uM与uM的式子成为

xyzuMuMuMxyz?ux??xdx??zdy??ydz??zdy??ydz????uy??ydy??xdz??zdx??xdz??zdx???uz??zdz??ydx??xdy??ydx??xdy?? (3-13-3)

图3-13-2

现在说明式(3-13-2)及(3-13-3)的物理意义。为简单起见，先分析六面体微团的一个面在其所在的xOy平面上的运动(图3-13-2)，然后，再将其结果推广到yOz与zOx平面上去，得到液体微团的三元流动情况。设在t时刻的矩形平面ABCD上A点的分速为ux与uy，则B点的速度分量为

uB?ux?x?ux?xdxuB?uy?y?uy?xdx

D点的速度分量为

uD?ux?x?ux?ydyuD?uy?y?uy?ydy

经dt时间矩形平面ABCD变形运动到A′B′C′D′，点A′，B′，D′的移动距离如图所示，现对液体微团的运动分析如下：

1．ux、uy与uz分别是液体微团在x,y,z方向的平移速度，这是显而易见的，如A点移至A′，B点移至B″等等。

2．θx，θy及θz分别是液体微团在x,y,z方向的线变形速度。 因沿x方向的绝对变形(伸长或缩短)为A?B???沿x方向单位时间单位长度线段的线变形是速度。同理，?y??uy?y?ux?ux??AB??u?dxdt?udt?dxdt?x?x??x?x??故

?ux?x，即θx=

?ux?x为x方向的线变形

，?z??uz?z分别是y方向与z方向的线变形速度。

根据材料力学所述，体积变形速度θ应等于三个方向线变形速度之和。再利用不可压缩液体的连续性微分方程(3-4-3)，可得

???x??y??z??ux?x??uy?y??uz?z?0

用不可压缩液体的连续性微分方程描述了不可压缩液体的体积变形速度为零这一事实。

3．ε

z及εx,εy分别是液体微团在xOy

及yOz,zOx平面上的角变形速度之半。

因角变形

d??tgd???uy?x?ydxdt?dt?uy?xdt

同理

d???ux

故液体微团在xOy平面上的角变形速度之半为

?x?1d??d?2dt?ux1??uy???2??y??x????

同理，液体微团在yOz及zOx平面上的角变形速度之半分别为

?x????uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x????????

y4．ωz及ωx,ωy分别是液体微团绕z及x，y轴的旋转角速度：

定义矩形平面中∠BAD之平分线绕z轴的旋转角速度为液体微团绕z轴的旋转角速度ωz，根据几何关系，ωz应等于直角边AB与AD的旋转角速度的平均值，即

?z?1d??d?2dt?ux1??uy???2??y??x????

类似地，液体微团绕x,y轴的旋转角速度分别为

?x????uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x????????

y综上所述，式(3-13-3)中第一项是平移速度分量，第二项与第三、四项是角变形运动引起的速度分量，第五项与第六项是旋转运动所引起的速度分量，由此说明了液体微团运动是由平动、转动和变形运动(包括线变形与角变形)三部分所组成。

§3-14 有旋流动与无旋流动

液体的流动可分为无旋流(Irrotational Flow)与有旋流(Rotational Flow)两种类型。若运动液体微团的旋转角速度矢量

???xi??yj??zk?0

?x?uy1??ux???2??y?z???uz1??ux???2??z?x?ux1??uy??2??y??x???0??????0????0??或?uy??uz????y?z?????????即

?y或?z?或?????????ux?uz???????z?x????uy?ux??????x?y???(3-14-1)

这种流动就称为无旋流或有势流(Potential Flow)，否则就叫做有旋流或旋涡流。

无旋流与有旋流决定于液本微团是否绕自身轴旋转，而与其运动轨迹无关。如图3-14-1所示，在图a中液体运动轨迹虽是个圆，但可证明这是无旋流；在图b中液体运动虽是一条直线，但是有旋流。

图3-14-1

一般无旋流存在于无粘性的理想液体中，而实际液体多为有旋流动。但是，实际液体的层状渗流却是无旋有势流(见第九章)。本节及后面几节主要介绍理想液体无旋流动的一些运动规律。

过去曾指出，理想液体恒定流动的伯诺里积分常数对于不同的流线一般是不同的(§3-6)，实际上是指有旋流的情况，而无旋流的伯诺里积分常数在全流场都相同，现证明如下：

将理想液体的运动微分方程(3-5-2)的三个式子分别乘以dx,dy与dz然后相加，对于恒定流动，得

(Xdx?Ydy?Zdz)?1??p?p1??p?? dx?dy?dz?????x?y?z??dW??ux?ux?ux???dx?dp??u?u?uyz?x?x???y?z??

?uy?uy?uy????uz?uz?uz??ux?dy??ux?dz?uy?uz?u?uyz????x?y?z??x?y?z????这里dx,dy,dz分别是空间任意微元长度(可不在一条流线上)在x,y,z轴上的投影。利用无旋流的条件：

?ux?y??uy?z,?uy?z??uz?y,?uz?x??ux?z

得

dW??uy?uy?uy???ux?ux?ux????dy??dp??u?u?udx?u?u?uyzyz?x?x??x?x???y?z?y?z????1

22?2uy??uz?uz?uz?uz???ux?dx?ux?dz??uy?uz??????x?y?z??x222????2222?2?u2uyuuz?uz???xx?yx???dz???dy????y?222??z?222?????

2??u???x??22???u?dx????y???22???u?dy????z???2??u2??dz?d????2????对于不可压缩的液体，应

2?pu????0 dw????2???积分得

W?p???uu222?C

(3-14-2)

重力场中即

z?p?2g?C (3-14-3)

该式称为理想恒定势流的欧拉积分。显然该式适用于整个势流场。

例3-8 已知液体流动的流速场为

?ux?ax??uy?by??uz?0

问该流动是无旋流还是有旋流?

??????????????x??uy1??uz??2??z??y?uz1??ux???2??z?x?ux1??uy??2??y??x???0??????0 ????0??解 因

y?z?故流动是无旋流。

§3-15 流速势与流函数、流网

本节讨论恒定无旋流动。

1．流速势(Velocity Potential) 从数学分析知道，对于无旋流，式(3-14-1)是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数φ(x,y,z)的全微分的充分与必要条件，则

uxdx?uydy?uzdz?d? (3-15-1) 函数φ(x,y,z)的全微分可写成

d?????xdx????ydy????zdz

比较以上两式得

ux????xuy????yuz????z (3-15-2)

可把这个函数?称为无旋流动的流速势。所以，无旋流必为有势流，反之亦然。

从式(3-15-2)知道，对于无旋(势)流，只要能确定流速势?一个未知数，便可方便地求得ux,uy,uz三个未知数，再利用势流的欧拉积分式(3-14-3)进一步可求得压强分布。所以，无旋(有势)流的关键在于确定流速势?。

对于不可压缩的液体，利用连续性微分方程(3-4-3)

?ux?x??uy?y??uz?z?0

将式(3-15-2)代入得

???x222????y22????z22?0 (3-15-3)

或 式中?2 ???0

??22??22??22?x?y?z是拉普拉斯算子符。在数学上，式(3-15-3)称为拉普拉斯

(Laplace)方程。满足该方程的函数称为调和函数(Harmonic Function)。所以，流速势?满足拉普拉斯方程，是一个调和函数。对于不可压缩液体的无旋流，问题归结为在特定的边界条件下求解流速势所满足的拉普拉斯方程。求解这一线性方程要比求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程确定ux,uy,uz,p方便得多。

对于xOy平面上的不可压缩液体的平面(二元)势流，式(3-15-2)与式(3-15-3)分别成为

ux????xuy????y (3-15-4)

与

???x22????y22?0 (3-15-5)

2．流函数(Stream Function) 根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有

?ux?x???uy?y

它是使-uydx+uxdy成为某一函数ψ(x,y)的全微分的充分与必要的条件，则有

d???uydx?uxdy????xdx???dydy (3-15-6)

得到

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